初二數(shù)學.秋.直升班.教師版.第2講幾何變換之旋轉(zhuǎn)(二)

1、第二講幾何變換之旋轉(zhuǎn)（二）一、“ Y ”字型旋轉(zhuǎn)：模型 I：等邊三角形的“Y”字型旋轉(zhuǎn)因為在旋轉(zhuǎn)角為 60 的旋轉(zhuǎn)變換下， 任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個正三角形的三個頂點，這樣，對于條件中含有正三角形的平面幾何問題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為 60 的旋轉(zhuǎn)變換處理旋轉(zhuǎn)中心可以選取正三角形的某個頂點AAABPP'P 'CBCBPP'CP模型 II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋轉(zhuǎn)因為在旋轉(zhuǎn)角為 90 的旋轉(zhuǎn)變換下， 任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個等腰直角角形的三個頂點，這樣，對于條件中含有等腰直角三角形的平面幾何問題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為 90 的旋轉(zhuǎn)變

2、換處理 旋轉(zhuǎn)中心通常選取等腰直角三角形的直角頂點二、三角形中的費馬點：1定義： 在一個四邊形內(nèi)找一個點，使得這個點到四邊形四個點的距離和最小，這個點即為四邊形兩條對角線的交點在一個三角形內(nèi)找一個點，使得這個點到三角形三個點的距離和最小，這個點我們稱為三角形中的費馬點AAC 'AC 'PPP'P 'PBCBCBC2性質(zhì)：（ 1）費馬點到三角形的三個頂點的距離和最??；（ 2）費馬點對應三邊的三個張角都相等，且為120 模塊一“ Y”字型旋轉(zhuǎn)例 1AAAPPPBCBCBC內(nèi)“ Y”AAAPPPBCBCBCAA等邊三角形的“ Y”線“ Y”字型旋轉(zhuǎn)BPCBPCAAABC

3、BCBCPPP外“ Y”AAABCBCBCPPPAA內(nèi)“ Y”PCPCBBAA線“ Y”PP等腰直角BCBC三角形的“Y”字型AA旋轉(zhuǎn)PPBCBC外“ Y”ABCP例2（ 1）如圖2-1，P 是等邊 ABC 內(nèi)部一點， PC3， PA4，PB5，求 ABC 的邊長（ 2）如圖2-2，在等邊 ABC 中， P 為 BC 邊上一點，則以AP、 BP、 CP 為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為，則為多少度？（ 3）如圖 2-3， ABD 是等邊三角形，在 ABC 中， BCa ， CAb ，問：當 ACB為何值時， C、 D 兩點的距離最大？最大值是多少？BCAABPACBPCD圖 2-1圖 2-2圖

4、2-3（ 1）將 APC 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 AQB 連接 PQ，則AQBAPC ，PAQ60 ，AQ AP 4 ， QB PC 3 ，故 APQ 是等邊三角形，從而 AQP 60 ， PQ AP 4在PQB中， PQ4，QB3，PB5，B故 PQB 90，APCAQBAQPPQB150 Q過點 C作CDAP ，交 AP 的延長線于點D ，則 CPD 30， CD1 PC3 ，DP22PDPC2CD2 33 AC2因此，在 Rt ACD 中， ACAD2CD 2(433) 2(3)225 12 322（ 2） 120 ；（ 3）我們通過旋轉(zhuǎn)設(shè)法將 a、b、 CD 集中到一個三角

5、形中將 BCD 繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 AED C連接 EC，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CDED ，f CDE 60 ，故 CDE 是等邊三角形，則 CEDECD EB而 ACb ，AEBCa ，A故 CE ACAEab 當且僅當 A、 C、 E 三點共線時等號成立，即 EADCAD180 D此時CADCBD180 ，ACB180ADB120 因此，當ACB 120 時， CD 最大，最大值為 a b 例 3（ 1）如圖 3-1，在正方形 ABCD 內(nèi)有一點 P，且 PA 5 ，PB 2 ，PC 1求 BPC 度數(shù)的大小和正方形 ABCD 的邊長（ 2）如圖 3-2，已知在 ABC 中，

6、AB AC ， BAC 90 ，點 D 是 BC 上的任意一點，探究： BD， CD 與 AD 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（ 3）如圖 3-3，四邊形 ABCD 被對角線BD 分為等腰直角ABD 和直角 CBD ，其中A 和C 都是直角，另一條對角線AC 的長度為2，求四邊形ABCD 的面積AADABDPBCBDCC圖 3-1圖 3-2圖 3-3（ 1）如圖，將 BPC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)，得BP A，則 BPC90° APPC 1， BPBP2 ，P'BP90 連接PP，在 Rt BP P 中， BPBP2 ，PBP 90°PP2，BP P45°在APP中

7、， AP1， PP2， AP5 ，A 1222( 5)2，即 AP 2PP 2AP2 P'APP是直角三角形，即AP P 90°AP BE135°BP ADP BPCAP B 135°過點 B 作 BE AP 交 AP 的延長線于點 EEP BAE245°EPBE1在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AB5 BPC，正方形邊長為5 135°BC（ 2）探究得到的關(guān)系為：BD 2CD 22AD2 證明：以 AC 為邊向三角形外作EAC DAB ，且 AEAD ，連接 DE、 CEABAC在 ABD 和 ACE 中 BAD CAEAADA

8、E ABD ACE ， BDCE ， ABC ACEE BADCAD90，又 BADCAEBDC CAECAD90即 DAE 90 ，同理 DCE 90 ED2AD2AE2， ED2CD2CE 2 ， AD2AE2CD 2CE 2 AEAD ，CEBD ， AD2AD2CD2BD2，即 2AD2CD2BD2 （ 3）將三角形ABC 繞 A 點逆時針旋轉(zhuǎn)90，使 B 與 D 重合， C 到 C'點則有CDC 'ADCADC 'ADCABC 180 ，所A以 C， D， C ' 在同一條直線上，又因為ACAC' 所以 ACC ' 是等腰直角三角形 又

9、四邊形 ABCD 的面C'積等于等腰直角 ACC ' BD的面積 S四邊形 ABCDS ACC '2222 C例 4如圖，正方形連接 OE， DEABCD 的對角線交于點6，OE8 2 ，求O，以 ADAE 的長為邊向外作Rt ADE，AED90，EEADADOOFBCBC將 AOE 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 90，使 OA 和 OD 重合，得到 DOF ，則可得 OFOE8 2， EOF90，點 E、O、F 三點共線，EF 16， DF10， AE DF10例 5如圖，以 Rt ABC 的斜邊BC 為一邊在 ABC 同側(cè)作正方形BCEF ，設(shè)正方形的中心為 O，連接 AO

10、，如果 AB4，AO 62 ，求 AC 的長BCBMCAAOOFEFE在 AC 上截取 CMAB ，連接 OM，可證 ABO MCO ， COMBOA，AOMBOC90 ， AO MO 62， AM 12，AC AM MC 12 4 16模塊二三角形中的費馬點例6若 P 為 ABC 所在平面上一點， 且 APB BPC 的費馬點 如圖，在銳角 ABC 外側(cè)作等邊 ACB 費馬點 P，且 BB' PA PB PC CPA 120 ，則點 P 叫做 ABC 連接 BB 求證： BB 過 ABC 的B'B'AAEPBCBC在BB 上取點 P，使BPC120 ，連接 AP，再在

11、 PB 上截取 PEPC ，連接 CE BPC 120 ，EPC60 ， PCE 為正三角形，PC CE ， PCE60，CEB 120 ， ACB 為正三角形，AC BC，ACB60 ，PCAACEACEECB 60PCAECB ，ACPBCE APCBEC 120 ， PA EB ，APBAPCBPC120 ， P 為 ABC 的費馬點， BB 過 ABC 的費馬點 P，且BB EBPB PE PAPB PC例7如圖，四邊形ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形，M 為對角線BD （不含 B 點）上任意一點，將BM 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)60 得到 BN，連接 EN、 AM、 CM （

12、1）求證： AMB ENB ；（ 2）當 M 點在何處時， AM CM 的值最?。划?M 點在何處時，AM BMCM 的值最小，并說明理由；（ 3）當 AMBM CM 的最小值為3 1 時，求正方形的邊長ADADENENMMBCFBC（ 1）證明： ABE 是等邊三角形，BABE ， ABE60 MBN 60，MBNABNABEABN 即MBANBE 又 MBNB ， AMB ENB（ SAS）（ 2）當 M 點落在 BD 的中點時， A、M 、C 三點共線， AMCM 的值最小如圖，連接 CE ，當 M 點位于 BD 與 CE 的交點處時，AMBMCM 的值最小理由如下：連接MN ，由（ 1

13、）知， AMB ENB ， AMEN ， MBN60 ，MBNB ， BMN 是等邊三角形BM MN AMBMCMENMNCM 根據(jù)“兩點之間線段最短”，得 ENMNCMEC 最短當 M 點位于 BD 與 CE 的交點處時，AMBMCM 的值最小，即等于EC 的長（3）過 E 點作 EFBC 交 CB 的延長線于 F ，EBFABFABE906030設(shè)正方形的邊長為 x ，則BF3xx ， EF222x23 x2在 Rt EFC 中， EF 2FC 2EC2，x=3122解得， x1 = 2 ， x2 =2（舍去負值）正方形的邊長為2例 8（金牛區(qū)期末）如圖，矩形紙片ABCD ( ADAB)

14、中，將它折疊，使點A 與C 重合，在矩形確定點ABCD 中， AB600， BCP、 Q 的位置，使得PAPD1000 ，P 是內(nèi)部一點， Q 是 BCPQ 最小，并求出這個最小值邊上任意一點，試EP'ADADPPBQCBHQC點 Q 是 BC 邊的中點，點最小值為 600500 3 P 在AD的中垂線上且滿足ADP120復習鞏固模塊一“Y”字型旋轉(zhuǎn)演練 1如圖， ABC 為等邊三角形，以AB 為對角線作矩形接 EC，若 BEC 150 ， EC 1，則 ABC 的邊長為 _ADBE ，點 E 在 ABC 內(nèi)部，連AD7 E演練 2BC已知： PA2，PB4 ，以 AB 為一邊作正方形

15、ABCD ，使 P、 D 兩點落在直線 AB的兩側(cè)當APB 45時，求 AB 及 PD 的長DDDCCCP'AAAPBPEBPB圖 1圖 2如圖 1，過點A作 AEPB于點 E APB45， APE 是等腰直角三角形 PA2 ，PB 4， AEPE 1， BE3 ， ABAE 2BE 210 .如圖 2，將 APD 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90 至 APB' ，連接 P' P ，則 APP 是等腰直角三角形 PA2， PP2 ， APB 45， BPP90 ， BPP 是直角三角形 BPPP 2BP 222422 5顯然， APD AP B ， PDBP25 模塊二三角形中

16、的費馬點演練 3如圖所示，在四邊形ABCD 中， ABAD ，BAD 60 ，BCD 120 ，證明：BC DC ACA（思想：以D 為旋轉(zhuǎn)中心將 ACD 旋轉(zhuǎn) 60如圖所示，延長BC 至 E，使 CE CD連接 DE，由BCD 120 可知DCE60又由 CECD可知 CDE 為等邊三角形，即有 DECDCE ，CDE60 又因 ABAD，BAD60 ，連接BD ，可知 ABD 為等邊三角形，即到 BED ），ABADBD，BDCABDA60 在 ACD 和 BED 中，由ADBCDE 可得：ADCADBBDCCDEBDCBDE 而 ADBD，CDDE，故ACDBED 于是 ACBEBCCE

17、BCCD ，即 BCDCAC演練 4BDCE已知 O 是 ABC 內(nèi)一點，AOB BOCCOA 120； P 是 ABC 內(nèi)任一點，求證： PA PB PC OAOB OC （O 為費馬點）C'O'CCP'OOPPABAB以 B 為旋轉(zhuǎn)中心， 60 為旋轉(zhuǎn)角， 將點 P、O、C 分別旋轉(zhuǎn)到點 P 、O 、C ，連接 OO' 、 PP '則 BOO ' 、 BPP' 都是正三角形 OO'OB ， PP'PB顯然 BO C BOC ， BP 'C 'BPC 由于BO 'C 'BOC120180BO 'O ， A ，O ，O '、 C ' 四點共線 APPP'P'C'AC'AOOO'O'C'，即 PAPBPCOAOBOC演練 5已知正方形 ABCD 內(nèi)一動點 E 到 A、 B、C 三點的距離之和的最小值為26，求此正方形的邊長如圖，連接 AC，把