幾種典型帶電體場強(qiáng)和電勢公式

1、幾種電荷分布所產(chǎn)生的場強(qiáng)和電勢1、均勻分布的球面電荷（球面半徑為R,帶電量為q）fJ.aE（r） _ 1 qr電場強(qiáng)度矢量：（）_4 二；oE(r) =0（球面外，即r . R）（球面內(nèi)，即r : R）電勢分布為：! U（r）=1U r 4兀呂0 r1 qR， （球外）4二；o。（球內(nèi)）2、均勻分布的球體電荷（球體的半徑為R,帶電量為q）電場強(qiáng)度矢量：qr4二 0 R31 qrE(r)34兀名o r” 1 U （r ）=電勢分布為：彳Ur =亠曽R（球體內(nèi)，即r :：: R）（球體外，即r - R），（r R即球外）8二；o3、均勻分布的無限大平面電荷（電荷面密度為 （T ）-。（r : R即

2、球內(nèi)）電場強(qiáng)度矢量:E（x）五）（平板兩側(cè)的場強(qiáng)與距離無關(guān)。）電勢分布為:其中假設(shè)ro處為零電勢參考點。若選取原點（即帶電平面）為零電勢參考點即 U0=O那么其余處的電勢表達(dá)式為:x -0x<0U xx2%U xx2®4、均勻分布的無限長圓柱柱面電荷（圓柱面的半徑為R,單位長度的帶電量為入。）電場強(qiáng)度矢量E（r"k （-R，即在柱面外） E（r） =0。（r c R，即在柱面內(nèi)）電勢分布為:（r . R即柱體外）（r :：: R即柱體內(nèi)）其中假設(shè)ra處為零電勢參考點。且ra處位于圓柱柱面外部。（即ra >F）。若選電場強(qiáng)度矢量:E r 二E r 二P -r2 ；

3、o工2 ；°r20 _ r _ R 圓柱體內(nèi)r - R 圓柱體外電勢:Pr2U r 4名oU rR -2坯4 ；o圓柱體內(nèi)其中假圓柱體外取帶電圓柱柱面處為零電勢參考點。（即U（R）=O ）。那么，其余各處的電勢表達(dá)式為：Ur =00_r_R 即在圓柱面內(nèi)U rIn rr - R即在圓柱面外2 二；0 R5、均勻分布的無限長帶電圓柱體（體電荷密度為 p、半徑為Ro）設(shè)圓柱體軸線處為零電勢參考點。即 U r = 0 =06、均勻分布的帶電圓環(huán)（帶電量為q ;圓環(huán)的半徑為R。）在其軸線上x處的 電場強(qiáng)度和電勢電場強(qiáng)度矢量：E（x）=1qX一 x0。其中x0為軸線方向的單位4 兀 % （x2

4、 + R2 務(wù) 矢量。討論:(a)當(dāng) x n R 或 X -時此時帶電圓環(huán)可視為點電荷進(jìn)行處理。（b）當(dāng)x：R或x > 0時 Ep（0）=0 。即,帶電圓環(huán)在其圓心處的電場強(qiáng)度為零。電勢：U x二1q一.。其中電勢的零參考點位于無窮遠(yuǎn)處。亦 % （x2+R2 尸帶電圓環(huán)在其圓心處的電勢為:U(x) xq4二；0R7、均勻分布的帶電直線(其中，線電荷密度 入，直線長為I )丄一丄id I d(1) 在直線的延長線上，與直線的端點距離為 d的P點處：電場強(qiáng)度矢量:E p di4兀 ® d(l +d )4?！?2) 在直線的中垂線上，與直線的距離為 d的Q點處: 電場強(qiáng)度矢量為：2I

5、HF4二；jj 。 o d、12 4d2電勢:h 2In 4 二；oI_ +2心2In 4 :(3) 在直線外的空間中任意點處：電場強(qiáng)度矢量： E r =Exi Eyj其中：廣九Ex =(Sin日2 Sind )4兀 > 0EyCost -Cosp4二；。或者改寫為另一種表示式：即:Ep(r,z) = Ej0 +Ezk其中：2 l 2r （z ）- r2-+（z_!）22l 2 l 22 l 2（z 2）r（z 2）r（z 2）4 二；oLV電勢:UpIn4 二；or2 +（z -丄）22（4）若帶電直線為無限長時,（z 2）2l 2（z 2）2那么，與無限長帶電直線的距離為d的P點處:

6、電場強(qiáng)度矢量：EPdJodd0 或-飛昇。電勢：UpdIn屯 或Upr ' In 。其中假設(shè)do或（r。）2兀呂0 d2兀Sq r為電勢的零參考點。（5）半無限長帶電直線在其端點處：（端點與帶電直線的垂直距離為d）電場強(qiáng)度矢量：E= Exi+Eyj。其中Ex=Ey=-一。4兀8、電偶極子P的電場強(qiáng)度和電勢（1）在電偶極子的延長線上x處：其中（X >>1）電場強(qiáng)度矢量：EW或爲(wèi)。電勢：U x2或 Ur2 。4兀軌x4兀名0 r（2）在電偶極子的中垂線上y處：其中（丫 >>1 ）電場強(qiáng)度矢量:EyF y3電勢：u（yq+丸=04兀® Jr丿（3）在空間中任

7、意點r處：其中（r >> l） 電場強(qiáng)度矢量：（采用平面極坐標(biāo)系）-q 0 +9Er=d其大小為E： P2、3Cos爲(wèi)1 ，!4兀 s0r方向為 二arctg旦二tg 'ErEr。其中為E與r0之間的夾角。電勢：U r = 1 PCos=1 P“3 ；o r電場強(qiáng)度矢量的另一種表達(dá)式為:E =一1 1- Pe 3 ? Pe ?4二；0r式中:? r0為矢徑r方向的單位矢量。上式電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式就是將電場強(qiáng)度E矢量分解在電偶極矩Pe和矢徑r的方向上。可以證明：該表達(dá)式與電場強(qiáng)度的平面極坐標(biāo)表達(dá)式是相等的。 若采用二維笛卡爾坐標(biāo)系（平面直角坐標(biāo)系）：因為各物理量之間的關(guān)系為

8、：r2=x2 y2 ，Costrx2y2所以電勢的表達(dá)式為:Px34x2 y2 2而電場強(qiáng)度的表達(dá)式為:E =Exi Eyj其中:Ex.:U 1P 2x2 - y2:x4沢 (x2+y2，Ey;:U3Pxy矽4"0仗2+2$2其大小為：E = . E； E；=1 P14x2 y22 04二x2y2若采用三維笛卡爾坐標(biāo)系（即三維直角坐標(biāo)系）則有如下關(guān)系式:r2 =x2 y2 T，x2 y2 z2那么，電勢的表達(dá)式為:Pz4x2 y2而電場強(qiáng)度的表達(dá)式為:E 二 ExiEyjEzk其中:Ex:U P3x z&5 忌 °2 +y2 +z2 >2；Ey-:U勺 4兀

9、% (x2 +y2 +z2 f20Ez：U P 2z2 一 x2 一 y25-'z4二；0 x2 y2z2 29、帶電圓盤在其軸線上距離圓心為 x點處:教育之通病是教用腦的人不用手，不教用手的人用腦，所以一無所能)教育革命的對策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議)電場強(qiáng)度矢量:對上式結(jié)果進(jìn)行討論：Ep(x)(a)當(dāng) x R 或 x 時 Ep(x)q2 i 或 Ep(r)q 2 r°4兀名ox4兀名°r此時帶電圓盤可視為點電荷進(jìn)行處理(b)當(dāng)x ；： R或x > 0時，則E(x)i 。即此時帶電圓盤可視為無限2大帶電平板進(jìn)行處理電勢：U p(x)R2 x2 _ x )2 5帶電圓盤在其圓心處附近處的電勢為：U(x)|x=4 。2名010、均勻分布的帶電半球面在其