利用勾股定理求解幾何體的最短路線長(zhǎng)

1、利用勾股定理求解幾何體的最短路線長(zhǎng)勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)重要定理，它在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想是從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建直角三角形數(shù)學(xué)模型下面介紹幾例，希望能起到拋磚引玉的作用一、正方體中的最值問(wèn)題 例1.如圖，邊長(zhǎng)為 的1的正方體中,一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B(C) 2(D)1分析：本題以正方體位載體， 行的，故需把正方體相鄰的兩個(gè)面展開成平面圖形，根據(jù)勾股定理求出解： AC = 1 , BC = 2在Rt ABC中 AB 2= AC2+ BC2=12+22=5 AB=5應(yīng)選（B）二、臺(tái)階中的最值問(wèn)題例2.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，

2、它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于 和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到我們知道兩點(diǎn)之間線段最段，由于螞蟻是沿正方體的外表面爬AB的長(zhǎng)即可.5cm， 3cm 和 1cm， AB點(diǎn)去吃可口的食物？故需把三個(gè)請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少分析：此題直接難以計(jì)算，由于螞蟻是沿臺(tái)階的表面由A爬行到臺(tái)階的右下腳，臺(tái)階展開轉(zhuǎn)化成平面圖形來(lái)解決如圖 解：把三個(gè)臺(tái)階展開成平面圖形后，可知在Rt ABC中AB2=AC 2+bc2即 AB2=52+122=169, AB=13.故螞蟻爬到B點(diǎn)的最短線路是三、圓柱（錐）中的最值問(wèn)題 例3.有一圓柱形油罐，底面圓的周長(zhǎng)

3、為13 cm24m，高為 6m,B一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少？ 分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形1m處和長(zhǎng)最短，可以發(fā)現(xiàn) A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬 為最短路線.（如圖）解： AC= 6 - =5 ,B根據(jù)兩點(diǎn)之間線段24m的中點(diǎn)處，即AB長(zhǎng)1 BC=24 乂 =122在Rt ABC中AB2=AC2+ BC2=52+122=169, AB=13(m).Ai第5頁(yè)共3頁(yè)四、長(zhǎng)方體中的最值問(wèn)題例4.如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn) A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？DiCiA4B分析：螞蟻由 A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面 爬行到Ci點(diǎn)，有三種方式沿 ABBiAi和Ai B1C1D1ABBiAi和BC Ci BiAA i DiD和Ai BiCi Di把三種方式分別展成平面圖行如下：i解：在Rt ABCi中AC2= AB 2+ BC2= 42+ 32=25AC= 25在Rt ACCi中ACi2= AC 2+ CCi2= 62+ i2=37在Rt ABiCi中ACi2= AB i2+ BiCi2 = 52+ 22=29 ACi=2925V 29 V 37沿圖的方式爬行最短，最短的路線是5利用“兩小結(jié)