彈性力學(xué)試題及答案

1、彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正,縮短時(shí)為負(fù),與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正,變大時(shí)為負(fù),與坦應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力的集度稱為應(yīng)力。與物體 的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和 切線方向的分量,也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。 應(yīng)力及其分量的量綱是 12 o5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問(wèn)題分為平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。7、已

2、知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量 仃x=i00, j=50, %=10v無(wú)，則主應(yīng)力仃1=150,02 = 0, ： 1 = 35 16。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，、=200嚴(yán)y=o , %=-400，則主應(yīng)力仃產(chǎn)512 ,r=-312 , % =-37 ° 57'。9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，仃x=-2000 , 、=1000,隈=-400 ,則主應(yīng)力%=1052 ,。2=-2052 , 口1=-82° 32'。10、在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示

3、邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。 分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式

4、必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的 單值連續(xù)函數(shù),為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí), 也能在整個(gè)公共邊界上具有相 同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)在i結(jié)點(diǎn)1;在其他結(jié)點(diǎn)0及工；1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是爰用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題（請(qǐng)?jiān)谡_命題后的括號(hào)內(nèi)打，在錯(cuò)誤命題后的括號(hào) 內(nèi)打“X”）1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物

5、體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（，）5、如果某一問(wèn)題中，Qz=Tzx=fzy =0 ,只存在平面應(yīng)力分量 外，CTy, Txy, 且它們不沿z方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn) 題。（，）6、如果某一問(wèn)題中Ez=¥zx=¥zy =0 ,只存在平面應(yīng)變分量 名x , Ey, ?xy, 且它們不沿z方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)變問(wèn) 題。（，）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（，）10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。（，）14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。（，）15、

6、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（V ）三、分析計(jì)算題1、試寫出無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量存在的必要條件，弁考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1）=Ax+By , 4 =Cx+Dy , % =Ex+Fy ；（2）仃 x=A（x2+y2）,仃 y=B（x2+y2）, %y=Cxy;其中，A, B, C, D, E, F為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的3 / 18平衡微分方程血漢小yyy - - yx二0y'賓 x 一-=0.x;(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程T(3)在邊界上的應(yīng)力邊界條件Jsx+myxbfXs)；

7、(4)對(duì)于多連體的位 m； l xy s=f y s移單值條件。(1 )此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須， 此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足0;為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足 2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不 可能存在。2、已知應(yīng)力分量 仃x=-Qxy2+Gx3, Qy=3C2xy2, 1=-Czy3-C3X、，體力不 計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù) Ci, G, G。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程J :y：x得-Qy2 +3C1 x2 -3C2 y2 -C3x2 =0 -3C2xy-2C3xy=0即R3cl-C3

8、x2-(Q43C2 卜2=03c2 2C3 xy=0由x, y的任意性，得3C1-C3=0Q 3C2=0 3C2 2c3=0由此解得，Ci =Q , C2 = .Q , C3 =Q 6323、已知應(yīng)力分量3=_q, %=_q,加田，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡 微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量Qx=.q, Qy=.q,、=0,代入平衡微分方程C<IX 67 yxx+y-+X=0Fx：:y三二 y x .xyy 一y Y=0.y ；x可知，已知應(yīng)力分量 3=-q,%=。一般不滿足平衡微分方程, 只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足O按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程:-2. 2匕，x C（二:1）.

9、2 x y 2y:x. .2 .& Txy(一»(1f將已知應(yīng)力分量3q, Qy=-q, %=0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程:222（- 一；二） （- 一；二）=-2（ xy）. 2（ yx）:y 1-:x 1-2 8、xy1 - -x .y將已知應(yīng)力分量 =-q, %=-q, 4=0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件, 的應(yīng)變分量是否可能存在。(1) % *xy , % =By3 ,。=C-Dy2 ；(2) % =Ay2 , % =Bx2 y ,。=Cxy ;弁考慮下列平面問(wèn)題3 3）舐=0 , &

10、;y 0 ,&y =Cxy ；其中，A, B, C, D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即21 ；y ；x222 / 18將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知:(1)相容。(2) 2A+2By=C ( 1分)；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：0, 2。(3) 0；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：0,則%=0,如=0, 1=0 (1 分)。5、證明應(yīng)力函數(shù)中4y2能滿足相容方程，弁考察在如圖所示的矩形板 和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題(體力不計(jì)，b#0)。解：將應(yīng)力函數(shù)中巾y2代入相容方程.X4=0可知，所給應(yīng)力函數(shù) 中4y2能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量

11、為?2 二=2b, ay0jx；:y對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為:上邊,hy = _T ,1 =0,m=-1 ,fX =-(7y)h=0 ,fy =-9y)h =0；2y=ry=-222下邊,y=2,1 旬，m=1 , fX=«Xy) h 4，fy=(<5y) h =。； y=2y=2左邊,1X-T ,l=-1,m=0 ,fX _(° X)1-2b,fy=-(%y)1 -0；2XX_222右邊,fx=9x) l=2b,X f y xy ) l =0 °X zs-可見,上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分

12、別受有向左和向右的均 布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù) 中山y(tǒng)2能解決矩形板在 X方向受均布拉力（b>0）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)中wxy能滿足相容方程，弁考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，a#0）。解：將應(yīng)力函數(shù)中=axy代入相容方程9：4：44 2224 =0x4：x2二y2 ：y4可知，所給應(yīng)力函數(shù)中=axy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為葭;三旬,仃y=r下一 °,"xy二y:x二一 a二 xcy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為:上邊,hy =

13、_T ,1=0 ,m=-1,fx =_( vxy)h=a ,fy =(° y)h=0；yy=_222下邊,hy=7 , 1 4 , m=1 ,fx=(xy) h =a ,fy =(P y )23h=0； y=2左邊,ix=l=T, m=0, fx=-(ax) i=0,2 個(gè)fy=Cxy) l =a ；x =_2右邊,1x ,1 =1,m=0,fx =(。x) 1=0, fyX"xy)1 =aOOxx=-222可見,在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)9=axy能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題。7、如圖所示的矩形截面

14、的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為 P,在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。OPg解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定|q縱向纖維互不擠壓，即設(shè) 外=0。由此可知將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式'y:x,y =fi(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得ya5:0dx dx這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即dig。dx4'd4f2(x) 0,4 一 dx這兩個(gè)方程要求f1(x)=Ax3+Bx2+Cx+I ,f2(x)=Dx3 Ex2 Jx K代人應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，弁略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響

15、的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后, 便得： 二 y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為_ F2：、x =2 =02二 y；=y =r=y(6Ax 2B) 6Dx 2E-gy 一 x2，xy =- =-3Ax2 -2Bx-C jx；:y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x=0, l=1, m=0,沿y方向無(wú)面力，所以有_( xy )x z0 C =0右邊，x力，1=1, m=0,沿y方向的面力為q,所以有2(xy)x=b =-3Ab -2Bb=q上邊，y=0, 1=0, m=.1,沒(méi)有水平面力，這就要求 在這部分邊 界上合成的主矢量和主矩均為零，即 b0 ( xy ) y 30 dx =。

16、將7y的表達(dá)式代入，弁考慮到0,則有2 _3_ 2b 3_.2-(-3Ax -2Bx)dx=-Ax -Bx °=-Ab -Bb 0而()y3 0dx田自然滿足。又由于在這部分邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求、在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bbBy)yedx=0 ,J0(Oy)ymxdx=0將。y的表達(dá)式代入，則有j(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex b=3Db2+2Eb=0f(6DxE)xdx=2Dx3 + Ex2 0 =2Db3 +Eb2 =0由此可得A=-4, B-q, C=0, D=0 , E=0b2 b應(yīng)力分量為“Q <iy=2qj'l4；-Pgy,

17、%=493；2 ；b< bJb1b J雖然上述結(jié)果弁不嚴(yán)格滿足上端面處（0）的邊界條件，但按照圣維南 原理，在稍遠(yuǎn)離0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為fx=_M, fy=fV，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用 二 x二 y應(yīng)力函數(shù)表示為，QxV+V,1=金，試導(dǎo)出相應(yīng)的zx2fxfy相容方程。證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力 分量仃x, %應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程（1分）還應(yīng)滿足相容方程（對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題）（對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題）弁在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮 位移單值條件。

18、首先考察平衡微分方程。將其改寫為y。丁 yx£(Ox> 廣一0 excy二 “V，二0I: y：x這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為L(zhǎng)iL|c ,c一:-x -V=.x二 y根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A (x, y),使得-TAyx =一 ex一二 y -V =-y沁)(1分)A x x -V =：:y同樣，將第二個(gè)方程改寫為可見也一定存在某一函數(shù) B (x, y),使得汨一 yx 二一二 y汨-y -V =-J:x由此得因而又一定存在某一函數(shù)中(x,y),使得A=-二 yB二二 x代入以上各式，得應(yīng)力分量xy二；:x：y：'、-x =

19、2Vx 2二 y為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)中(x,y)必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程，得2 S2 / Y/9E2中、/ 62、片/BrV/+V尸%hi7 Vf2?2:12。/。2 '2'2- '2x二 y,1 y 二 x2二二 V簡(jiǎn)寫為二_(i一2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程，得,I-V Jc J in r-L J.1-. Jy 人£yex)1：,2 1 V2 2 V1-' x Z簡(jiǎn)寫為-2-2I CC2 2excyY62cp 22cp、 (a22,2 1 f d2 d2 y! 2+2 -

20、2 2+2 V +T77 2+2 V人詡ex ；(fx的 J1-N«x例) 4 =_1z?Ja 2V1-J9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為P,次的應(yīng)力函數(shù)求解。試用純?nèi)?gt;x2y解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為.3.22.3:ax bx y cxy dy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為二2；二2：二2；二x =-xfx =2cx 6dy,二 y = -yfy =6ax 2by-：gy ,爾=-=-2bx-2cyN；:xjx；:y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來(lái)考察，如果 適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y/，l=0, m=_1,沒(méi)有水平面力，所以有

21、-(xy) yg=2bx=0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見b=0同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有-(二 y ) y Z0 =6ax =0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見a=0因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為仃x=2cx與dy , Oy=Pgy , Exy=2cy斜面，y=xtanc(l=cos|-¥=-sinam=cosf7 )=coB , 沒(méi)有面力，所：【2力，以有1cmyx y.0m；y 1 xy y,tan0由第一個(gè)方程，得T2cx 6dxtan 二 sin- -2cxtan： cos- -4cxsin ： -6dxtan： sin - -0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求一4c

22、 一6dtan： -0由第二個(gè)方程，得2cxtan： sin" Pgxtan 二 cos： =2cxtan-isin二一二gxsin： =0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctana -Fg =0 （1 分）由此解得從而應(yīng)力分量為c=1 Pgcota （ 1 分），d =-1 Pgcot2a2ox = ：gxcot 二一2gycot :, ；=y-：gy, xy-gycot:設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l ,高為h,則tana。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿 x方向的分量為0,沿y方向的分量為Pglh2因此，所求、在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零，1應(yīng)當(dāng)合成為反力1 一、-Pglh

23、o0 二 x x”0 2l cot”- -21gycot2 工 dy = ;?glh cot：，Pgh2 cot2 1=0hh1210 xy x土dy=0 -!?gycot： dy = - ;gh cot：:?glh可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角a ,下端作為無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為匕，液體的密度為P2 ,試求應(yīng)力分量。解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來(lái)假設(shè)應(yīng)力分量的 函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與 Pig成正 比（g是重力加速度）；

24、另一部分 由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與 p2g成 正比。此外，每一部分還與a , x, y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是12,Pig 和p2g的量綱是22, «是量綱一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答， 那么它們的表達(dá)式只可能是 ARgx, BPigy, Cgx ? 口°2變四項(xiàng)的組合， 而其中的A, B, C, D是量綱一的量，只與0f有關(guān)。這就是說(shuō)，各應(yīng)力 分量的表達(dá)式只可能是 x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分 量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是 x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè):ax3 bx2 y cxy2 dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為二2 ；二2 ：,2 ；：二x 二-xfx =2cx 6dy,0 y =-yfy =6ax 2by- Wgy , xy =- =-2bx-2cyZ：