積分變換第1講

1、1傅立葉積分變換傅立葉積分變換 （傅氏變換）（傅氏變換）拉普拉斯積分變換拉普拉斯積分變換 （拉氏變換）（拉氏變換）21、何為積分變換？、何為積分變換？).()(),(Fdttftkba記記為為 所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分算子，把所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分算子，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換. .：變變量量，具具體體形形式式可可寫寫為為這這類類積積分分一一般般要要含含有有參參原原像像函函數(shù)數(shù)；是是要要變變換換的的函函數(shù)數(shù)，這這里里 )(tf像像函函數(shù)數(shù)；是是變變換換后后的的函函數(shù)數(shù)， )(F.),(積積分分變變換換核核是是一一個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)，

2、 tK32、積分變換的產(chǎn)生、積分變換的產(chǎn)生 數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)閿?shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得比較簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問題的解到原問題的解. .原原 問問 題題直接求解困難直接求解困難變換變換較簡(jiǎn)單問題較簡(jiǎn)單問題變換后問題的解變換后問題的解求求 解解逆變換逆變換原問題的解原問題的解4 如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算；商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算； 再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐

3、標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況思路都屬于這種情況. . 基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換. .其主要體現(xiàn)在：其主要體現(xiàn)在： 數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能實(shí)現(xiàn)卷能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化. . 工程上：工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具分析的重要工具. .51. 傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉積分傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉積分第七章第七章 傅立葉積分變換傅立葉積分變換2. 傅傅 立立 葉葉 積積 分分

4、變變 換換 3. 單單 位位 脈脈 沖沖 函函 數(shù)數(shù) 4.傅立葉積分變換的性質(zhì)傅立葉積分變換的性質(zhì),卷積卷積61 1 傅立葉級(jí)數(shù)與積分傅立葉級(jí)數(shù)與積分1 1、傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式、傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式在在高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)中有下列定理：中有下列定理：定理定理1 1一一個(gè)個(gè)周周期期上上滿滿足足：上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件，即即在在為為周周期期的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，且且在在是是以以設(shè)設(shè)2,2)(TTTtfT （1 1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2 2）只有有限個(gè)極值點(diǎn)）只有有限個(gè)極值點(diǎn). . 則在則在連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)處，有處，有7)1(. )sincos(2)(10

5、nnnTtnbtnaatf).,2,1(sin)(2),2,1(cos)(2,2,d)(22222220 ndttntfTbndttntfTaTttfTaTTTTTTTnTnT其其中中).0()0(21)1(000 tftftTT式式右右端端級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于處處，在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)8注意：注意：.2sin,2cosiiiieeiee )(”寫寫為為“也也有有的的課課本本上上把把“ji于是于是.222222)(1010 ntninntninnntnitnintnitninTeibaeibaaeeibeeaatf9,3,2,1,2,2,200 nbiacbiacacnnnnnn令令則則（2 2）

6、式稱為傅立葉級(jí)數(shù)的）式稱為傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，復(fù)指數(shù)形式，具有明顯具有明顯的物理意義的物理意義( (書上書上P117).P117).)3().,2,1,0()(122 ndtetfTccTTtinTnn可可以以合合寫寫成成一一個(gè)個(gè)式式子子容容易易證證明明)2()( ntinnTectf 102 2、傅立葉積分、傅立葉積分 任何一個(gè)非周期函數(shù)任何一個(gè)非周期函數(shù) f (t), 都可看成是由某個(gè)周都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)期函數(shù) fT (t) 當(dāng)當(dāng)T T+時(shí)轉(zhuǎn)化而來的時(shí)轉(zhuǎn)化而來的. .).()(limtftfTT .)(1lim)(,)(1)()3()2(2222 ntinniTTntininTT

7、edefTtfedefTtfTTTT可可知知，得得、由由公公式式11.,2),(,1nnnnnTTn 或或則則令令 nntiiTntiiTTnTTnnnTTneefedefTtf2222d)(21lim)(1lim)(0T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2于是于是12.)(21)(22tiiTnTnTTnedef 令令)4(.)(lim)(0 nnnTntf故故.)(21)()(,0tiinnTnnnedefT 時(shí)時(shí)即即注注意意到到當(dāng)當(dāng)從而按照積分的定義，（從而按照積分的定義，（4 4）可以寫為：）可以寫為：,)()( dtf或者或者13)5(.)(21)( dedeftftii公式（公式

8、（5 5）稱為函數(shù)）稱為函數(shù) f(t) 的的傅氏積分公式傅氏積分公式. .定理定理2 2 若若 f(t) 在在(-(- , +, + ) )上滿足條件上滿足條件: : (1) f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; ; (2) f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(-(- , +, + ) )上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積, ,即即.|)(|收收斂斂 dttf則（則（5 5）在）在 f(t) 的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)成立成立. .2)0()0(,)(000來來代代替替應(yīng)應(yīng)以以處處的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)而而在在 tftfttf上述定理稱為上述定理稱為傅氏積分定理傅氏積分定理. .14可可以以寫寫為為

9、三三角角形形式式，即即公公式式時(shí)時(shí)，滿滿足足傅傅氏氏積積分分定定理理?xiàng)l條件件可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng))5()(tf)6(.2)0()0()(),()(cos)(10 其其它它，連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處，在在tftftftfddtf事實(shí)上事實(shí)上, ,根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式, ,有有12172()( )( )( ) cos()( )( ) sin().itftfeddftdiftdd 15.)(sin)()(cos)(的的偶偶函函數(shù)數(shù)和和奇奇函函數(shù)數(shù)分分別別是是和和因因?yàn)闉?dtfdtf所以由所以由(7),(7),得到得到 0.)(cos)(1)(ddtftf于是于是(6)成立成立.162 2 傅立葉積分

10、變換傅立葉積分變換1、傅立葉變換的概念傅立葉變換的概念 上一節(jié)介紹了：當(dāng)上一節(jié)介紹了：當(dāng) f(t) 滿足一定條件時(shí)，在滿足一定條件時(shí)，在 f(t) 的連續(xù)點(diǎn)處有：的連續(xù)點(diǎn)處有：.)(21)( dedeftftii)2(.)(21)()1(,)()( deFtfdtetfFtiti則則從從上上式式出出發(fā)發(fā)，設(shè)設(shè)17的的傅傅立立葉葉變變換換為為式式，即即稱稱)()()()1(tfdtetfFti 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱傅氏變換傅氏變換, ,記為記為F F )(F);(tf為為傅傅立立葉葉逆逆變變換換式式，即即稱稱 deFtfti)(21)()2(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱傅氏逆變換傅氏逆變換, ,記為記為F F )(tf).(1

11、 F ).()()2()1(tfF和和式式，定定義義了了一一個(gè)個(gè)變變換換對(duì)對(duì)式式和和.)()()()(的的原原像像函函數(shù)數(shù)為為的的像像函函數(shù)數(shù)；為為也也稱稱FtftfF還可以將還可以將 f (t) 和和 F( )用箭頭連接用箭頭連接: : f (t) F( ) .18.0,0,0,0)(1 其其中中其其積積分分表表達(dá)達(dá)式式的的傅傅氏氏變變換換及及求求函函數(shù)數(shù)例例tettfttf (t)o這個(gè)函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù)這個(gè)函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù),在工程中常遇到在工程中常遇到.19解解: :根據(jù)定義根據(jù)定義, , 有有 0)()(tdeetdetfFtitti這就是指數(shù)衰減函數(shù)的這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變

12、換傅氏變換. 0)(tdeti.122 ii20 deideFtftiti2221)(21)(根據(jù)積分表達(dá)式的定義根據(jù)積分表達(dá)式的定義,有有注意到注意到.sincostiteti 2212( )(cossin)if ttit d 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)整理整理2201cossin.ttd 為所求積分表達(dá)式為所求積分表達(dá)式21 .0,0,2,0,0sincos022tettdttt 因因此此.0,e)(22 AAtft其其中中的的傅傅氏氏變變換換求求例例-鐘形脈沖函數(shù)鐘形脈沖函數(shù). tdeAetdetfFtitti2)()(解解: :根據(jù)定義根據(jù)定義, , 有有22.)(4242222 AetdeAetdeA

13、eFittit化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)整理整理如何如何計(jì)算？計(jì)算？這里利用了以下這里利用了以下 結(jié)果：結(jié)果：).0(2 dxex232 2、傅立葉變換的物理意義、傅立葉變換的物理意義 如果仔細(xì)分析如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式表達(dá)式,)( ntinnTectf,)(21)( deFtfti的的表表達(dá)達(dá)式式和和以以及及)(Fcn,)(122 TTtdetfTctinTn.)()( tdetfFti24由此引出以下術(shù)語：由此引出以下術(shù)語： 在頻譜分析中在頻譜分析中, , 傅氏變換傅氏變換F( )又稱為又稱為 f (t) 的的頻譜頻譜函函數(shù)數(shù), , 而它的模而它的模|

14、F( )|稱為稱為f (t)的的振幅頻譜振幅頻譜( (亦簡(jiǎn)稱為譜亦簡(jiǎn)稱為譜).). 由于由于 是連續(xù)變化的是連續(xù)變化的, , 我們稱之為連續(xù)頻譜我們稱之為連續(xù)頻譜, , 對(duì)一個(gè)對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換時(shí)間函數(shù)作傅氏變換, , 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜. .可證，振幅函數(shù)可證，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率是角頻率w的的偶函數(shù)偶函數(shù), 即即. | )(| )(| FF,sin)(cos)(e)()( ttdtfittdtftdtfFti這這是是因因?yàn)闉?5. | )(| )(|,sin)(cos)(| )(|22 FFtdttftdttfF顯顯然然有有所所以以.)()(arg)(相相角角頻頻譜譜稱稱為為的的輻輻角角tfFF顯然顯然,dcos)(dsin)(arct)(arg tttftttfanF 相角頻譜相角頻譜argF( )是是 的的奇函數(shù)奇函數(shù).26 ,2| , 0,2| ,)(atatEtf例例3 3 求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖的頻譜圖. .2sin2)()(2222aEeiEdtEedtetfFaatititiaa 解：解：27請(qǐng)畫出其