拉格朗日插值法理論及誤差分析

1、淺析拉格朗日插值法目錄：一、引言二、插值及多項(xiàng)式插值的介紹三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式五、參考文獻(xiàn)一、引言插值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是個(gè)古老問(wèn)題。插值是和拉格朗日(Lagrange)、牛頓 (Newton)、高斯(Gaus§等著名數(shù)學(xué)家的名字連在一起的。在科學(xué)研究和日常生活中，常常會(huì)遇到計(jì)算函數(shù)值等一類問(wèn)題。插值法有很豐富的歷史淵源，它 最初來(lái)源人們對(duì)天體研究一一有若干觀測(cè)點(diǎn)(我們稱為節(jié)點(diǎn))計(jì)算任意時(shí)刻星球 的位置(插值點(diǎn)和插值)?，F(xiàn)在，人們?cè)谥T如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等 科研都有很好的應(yīng)用，最常見(jiàn)的應(yīng)用就是氣象預(yù)報(bào)。插值理論和方法能解決在實(shí)

2、 際中當(dāng)許多函數(shù)表達(dá)式未知或形式復(fù)雜，如何去構(gòu)造近似表達(dá)式及求得在其他節(jié) 點(diǎn)處的值的問(wèn)題。二、插值及多項(xiàng)式插值1、插值問(wèn)題的描述設(shè)已知某函數(shù)關(guān)系y = f (x)在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：X)xiXn i X nyn1 Vn插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù) y = f (x)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式, 以便丁計(jì)算點(diǎn)；尹為=0,1，n的函數(shù)值f(x),或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù) 值。2、插值的幾何意義插值的幾何意義如圖1所示:yk° -XQ 工 1工 HH圖13、多項(xiàng)式插值3.1基本概念假設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間a,b上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但一直該函數(shù)在點(diǎn)ax°<xi

3、<后壬b處的函數(shù)值y0,yi,yn。找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如函數(shù)P(x),使之滿足條件P(x)= y ,豐 0, 1,2, n ,(3.1)通常把上述x0<x1<xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，把P(x)稱為f (x)的插值多項(xiàng) 式，條件(3.1 )稱為插值條件，并把求P(x)的過(guò)程稱為插值法3.2插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性 如果插值函數(shù)是如下m次的多項(xiàng)式:mm_J .Pm(x)=a°xaxam4x - am那么插值函數(shù)的構(gòu)造就是要確定Pm(x)表達(dá)式中的m+1個(gè)系數(shù)a0，a1"am-1am。由丁插值條件包含n+1獨(dú)立式，只要m=n就可證明插值函數(shù)多 項(xiàng)式是唯一存在。實(shí)際

4、上，由n+1個(gè)插值條件可得=y。=y1=Vnnn Ja0Xo司冷一an/annn Ja。aiX1.anjx1a。nn Ja°XnaXnanjXnan這是一個(gè)關(guān)丁 a。,*為的n+1階線性方程組，且其系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式是線性代數(shù)中著名的范德蒙（Vandemonde行列式。該行列式得值為n iVJX。,*，X。=口 口(X -Xj) i=1 j=0因?yàn)閕#j時(shí)，Xi,Xj，所以Vn（Xo,Xi，Xn） #0。從而證明了上述線性方程組的階是唯一存在的。既滿足插值條件的多項(xiàng)式唯一存在。三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)1、拉格朗日插值的理論拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把PJx

5、）的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)"（X）（i =0,1，n）。首先我們利用節(jié)點(diǎn)直接構(gòu)造如下多項(xiàng)式："（x）In（X）=:（X-x）"（Xi）其中%書（X）=（XX0）（X X）（XXn）, '兀 n +（X） =（Xi X0）（XiX）（X 一 X*）（XiXn）容易驗(yàn)證該多項(xiàng)式具有性質(zhì)因此，n次多項(xiàng)式nLn(X) =l0(X)y0 L(X)y1 In(X)yn =、. Ik(X)Vkk =0定具有性質(zhì)nLn(Xi) r ?, lk(x)yk =li(Xi)yi,i =0,1, n,k =0既滿足插值條件。我們稱Ln(x)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，li(x

6、)稱為拉格朗日插值及函數(shù)。一次拉格朗日插值多項(xiàng)式乂叫做線性插值多項(xiàng)式。二次拉格朗日插值多項(xiàng)式乂叫做拋物線插值多項(xiàng)式。2、拉格朗日插值實(shí)驗(yàn)經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)掌握拉格朗日插值的理論，學(xué)以致用，使學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，并運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)解決我們?cè)趯W(xué)習(xí)中遇到的一些問(wèn)題。以下為運(yùn)用MATLAB軟件平臺(tái)上計(jì)行拉格朗日插值問(wèn)題：x0246810 1214 16 18 20 22 24 26 2830y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30內(nèi)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)x以及函數(shù)值y如表所示，利

7、用拉格朗日 插值多項(xiàng)式求在區(qū)間x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在已知數(shù)表函數(shù)的條件下，拉格朗日插值多項(xiàng)式可用來(lái)計(jì)算復(fù)雜函數(shù)或未 知函數(shù)的函數(shù)值，為此我們首先編寫如下利用拉格朗日插值多項(xiàng)式方法計(jì)算函數(shù) 值的程序：function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循環(huán)給出

8、了拉格朗日插值計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算任何點(diǎn)x處的函數(shù)值的過(guò)程,我們把它標(biāo)記為lagrange.m文件，接下來(lái)我們?cè)贛ATLABP臺(tái)上進(jìn)行上述例子中的數(shù)值試驗(yàn)。在Command WindoW輸入的命令及結(jié)果如下所示：>> x=0:2:30;>> y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.858.45 8.97;>> lagrange(x,y,2.035)ans =0.3290>> lagrange(x,y,9.771)ans =3.2975>> lag

9、range(x,y,17.815)ans =5.4483>> lagrange(x,y,26.907)ans =8.6519最后，我們根據(jù)拉格朗日插值結(jié)果，利用 plot命令畫出未知函數(shù)的圖像，命令程序如下：>> x0=0:2:30;>> y0=lagrange(x,y,x0);>> plot(x0,y0)得到的未知函數(shù)圖像為：四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式1、截?cái)嗾`差在a,b區(qū)間上用Ln(x)近似未知或復(fù)雜函數(shù)f(x),其截?cái)嗾`差是指Rn(X)= f (X)-Ln(X)(4.1)通常稱Rn (x )為拉格朗日插值余額。注意到利用公

10、式(4.1)估計(jì)截?cái)嗾`差實(shí)際上非常困難。一是因?yàn)樗?jì)算函數(shù)f (x)的高階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f (x)很復(fù)雜時(shí)，計(jì)算量很大，而當(dāng)f (x)沒(méi)有可用來(lái)計(jì)算的表達(dá)式時(shí)，導(dǎo)數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算；二是因?yàn)榧词鼓艿玫礁唠A導(dǎo)數(shù)的解析式，但由丁 E的具體位置不知道，所以要估計(jì)高階導(dǎo)數(shù)在插值區(qū)間上的界一般是非常困難的事情。因此，公式(4.1)并不實(shí)用。2、截?cái)嗾`差的實(shí)用估計(jì)式既然公式(4.1)估計(jì)誤差時(shí)不實(shí)用，那么實(shí)際中如何估計(jì)截?cái)嗾`差呢？假設(shè)插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù)f(x ) = y , i =0, T, n, n； 1那么利用n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x),利用后n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造

11、另一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式L*n(x)。利用公 式(4.1)知，他們各自的插值余項(xiàng)為-1- (n 1) f(x)-Ln(x)= f ( )(x -xo)(x -用(x fn),(n 1)!f(x)-Ln(x)=f(f(D(x-x1)(xx2 )(”用),兩式相減得*1小5、1)!f n 1( )(x-x)(x -xn)(xn 1 -乂°),并可寫成3(n1)()(xf)*(4.2)注意到上式中利用f n*(t) & f "(t ).該條件在很多情況下是成立的*Ln(x) - Ln(x)x。一 xn .1*Ln(x) -Ln(x)xn 1 x。(4.2)利用式(4.2)可得R(x)=f(x)-Ln(x)* *R(x)=f(x) Ln(x)式(4.3)給出了用Ln(x)或L；(x)作近似計(jì)算時(shí)的實(shí)用誤差估計(jì)式，它不需要計(jì) 算高階導(dǎo)數(shù)，也不用估計(jì)插值區(qū)間上高階導(dǎo)數(shù)的界?？傊?，拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì) 算中，但插值點(diǎn)增加或減少時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就得重新計(jì)算而且圖像發(fā)生 很大變化。像逐次線性插值法、牛頓插值法等都是在拉格朗日插值多項(xiàng)