控制系統(tǒng)時域與頻域性能指標(biāo)的聯(lián)系

1、控制系統(tǒng)時域與頻域性能指標(biāo)的聯(lián)系經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)分析與校正方法一般有時域法、復(fù)域法、頻域法。時域響應(yīng)法是一種直接法，它以傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具，直接可以求出變量的解析解。這種方法雖然直觀，分析時域性能十分有用，但是方法的應(yīng)用需要兩個前提，一 是必須已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，另外系統(tǒng)的階次不能很高。如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)未知，或者系統(tǒng)的階次較高，就需采用頻域分析法。 頻域分析法不僅是一種通過開環(huán)傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)性能的分析方法，而且當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未知時，還可以通過實驗的方法建立。此外，大量豐富的圖形方法使得頻域分析法分析高階系統(tǒng)時，分析的復(fù)雜性并不隨階次

2、的增加而顯著增加。在進行控制系統(tǒng)分析時，可以根據(jù)實際情況，針對不同數(shù)學(xué)模型選用最簡潔、最合適 的方法，從而使用相應(yīng)的分析方法，達到預(yù)期的實驗?zāi)康摹Ｏ到y(tǒng)的時域性能指標(biāo)與頻域性能指標(biāo)有著很大的關(guān)系，研究其內(nèi)在聯(lián)系在工程中有著 很大的意義。一、系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)延退時間td階躍響應(yīng)第一次達到終值 h(°°)的50%所需的時間上升時間 卜 階躍響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從 0到第一次達到終值所需的時間峰值時間tp階躍響應(yīng)越過終值 h(*)達到第一個峰值所需的時間調(diào)節(jié)時間 仁 階躍響應(yīng)到達并保持在終值 h(8)的±5%誤差帶內(nèi)

3、所需的最短時間 超調(diào)量。 峰值h(tp)超出終值h(°° )的百分比，即h tP f 二二 % = 100%h 二二、系統(tǒng)頻率特性的性能指標(biāo)采用頻域方法進行線性控制系統(tǒng)設(shè)計時，時域內(nèi)采用的諸如超調(diào)量，調(diào)整時間等描述系統(tǒng)性能的指標(biāo)不能直接使用，需要在頻域內(nèi)定義頻域性能指標(biāo)。1、零頻振幅比 M(0):即為0時閉環(huán)幅頻特性值。它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，M(0)越接近于1,系統(tǒng)的精度越高。M(0)豐1時，表明系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。2、 諧振峰值 Mr：為幅頻特性曲線的 A()的最大值。一般說來，Mr的大小表明閉環(huán)控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。Mr越大，表明系統(tǒng)對某個頻率的正弦信號反映強烈，有共

4、振傾向,系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差，相應(yīng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量越大。對應(yīng)的與為諧振頻率。3、諧振頻率 您r ：出現(xiàn)最大值 Mmax時對應(yīng)的頻率。- b4、市苑幅頻特性下降至零頻幅比的70.7%，或下降3dB時對應(yīng)的頻率稱為帶寬(也成為閉環(huán)截止頻率)。帶寬用于衡量控制系統(tǒng)的快速性，帶寬越寬，表明系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號的能 力越強，階躍響應(yīng)的上升時間和調(diào)節(jié)時間就越短。帶寬是控制系統(tǒng)及控制元件的重要性能指標(biāo)。三、閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系1、二階系統(tǒng)的相互聯(lián)系對于二階系統(tǒng)，其頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)之間有著嚴格的數(shù)學(xué)關(guān)系(1) 、諧振峰值 Mr和時域超調(diào)量5之間的關(guān)系幅頻特性的諧振峰值 Mr22nS2+2

5、% s% 2 '"十、0基2)2+(2言32 s n n令dM (釧=0 ,得諧振頻率與r=3嗇1-2,2。 d 1求得幅頻特性峰值Mr= 2 一 1-2-/刀 二階系統(tǒng)的超調(diào)量% =e'10 0%由此可看出，諧振峰值 Mr僅與阻尼比總有關(guān)，超調(diào)量。也僅取決于阻尼比 匕。£越小，Mr增加的越快，這時超調(diào)量 。也很大，超過40%, 一般這樣的系統(tǒng)不符和瞬態(tài) 響應(yīng)指標(biāo)的要求。當(dāng)0.4< £<0.707時，Mr與5 %的變化趨勢基本一致，此時諧振峰值Mr=1.2 1.5，超調(diào)量。% =20% 30% ,系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果較滿意。當(dāng)>0.707

6、時，無諧振峰值，Mr與ci%的對應(yīng)關(guān)系不再存在，通常設(shè)計時， 匚取在0.4至0.7之間(2) 、諧振頻率 與r與峰值時間tp的關(guān)系tp=；-： n 1- "2與切r之積為由此可看出，當(dāng)匕為常數(shù)時，諧振頻率切r與峰值時間 tp成反比，切r值愈大，tp 愈小，表示系統(tǒng)時間響應(yīng)愈快(3) 、閉環(huán)諧振峰值 Mr和相角裕度Y的關(guān)系(j )=M( )ej()G(j )=A( )ej()G(j c)=A( c)ej (c) =A( c)e (180 一) =A( c)(-cos -j sin )= 1800+ ( c)( c) = 1 80 -M(如)=旦也=AM1+G瞠)|1-A3c)cosy-

7、jA(s)sinY|-般Mr極大值發(fā)生在加附近。dM(，)11=0= A( ): Mr dA(')sinsin1故Mr sin在開環(huán)截止頻率 切c附近，上述近似程度就越高。(4) 、和七的關(guān)系；.-? n二' nc 】；.-； c. 2G(j “)= =1 G(j，c)=222= 11 =，2 +4j c(j .c+2，n)，c.； ，c'+4 -n，n ，n1/2二廠3-2 22 n ,c二n00f' : c0二 c= 180 +(-90 -arctg)=90 -arctg=arctg2，n2'，n得出 頃-+1-2匕對于二階系統(tǒng)，一般要求：300&l

8、t; <70° ：= 0.27< <0.82、帶寬切b與時域性能的關(guān)系(1 )、一階系統(tǒng) 1一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)二1+TS系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為(j )= 11+Tj 系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為M 3)=憐(仲)=11+T2 21,即零頻振幅比0可知，缶=0時幅值為則 L(0) = 20LgM(0)=閉環(huán)截止頻率«b :由 饑 的定義知 L(<Db)= L(0)-3=-3M(0) = 1,20LgM ( b)=20 Lg1=-3 M.1+T2 b21(十.1+丁2 二之=0.707可解得：b=1/T階系統(tǒng)中調(diào)節(jié)時間、上升時間與帶寬的關(guān)系tr=2.2

9、T ts=3T t 比=2.2/孫，ts=3/s(2)、二階系統(tǒng)2 -n標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)= 廿S(S + 2n)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)=2. ，nS2 +2 nS+ n22.，n2閉環(huán)頻率特性為(j 0=222(j ) +j2'.Wn，+，n ，n +j2'.，.海，-，2n系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為M C )= (j )=、(，-，2)2 +(2 M V可知，CO = 0時幅值為1,即零頻振幅比 M(0) = 1,則 L(0) = 20LgM(0) = _0閉環(huán)截止頻率 土由C0b的定義知 L(副)=L(0)-3=-3 2可解得：M (Mb)= 一 .，

10、.如，/0.7072222. (-，b ) +(2 -)b= n . 1-2 2 + . (1-2 2 )2 +1阻尼比不變，自然振蕩頻率越大，帶寬越大；自然振蕩頻率不變，阻尼比越小，帶寬越大; 可知帶寬與系統(tǒng)響應(yīng)速度成正比！(3)、帶寬切b與調(diào)節(jié)時間tS的關(guān)系調(diào)整時間 ts=3-5b=，nj122 + ,J(1-2'2)2 + 1LXn° b 與 tS 之積為 0Ms=¥J1-2：2+VR2+偵4由此可看出，當(dāng)阻尼比 -給定后，閉環(huán)截止頻率 s b與過渡過程時間ts成反比關(guān)系。換言之，° b愈大(頻帶寬度0 -® b愈寬)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度愈快。

11、(4) 、系統(tǒng)帶寬的選擇帶寬頻率是一項重要指標(biāo)。其選擇要求要既能以所需精度跟蹤輸入信號，又能擬制噪聲擾動信號。在控制系統(tǒng)實際運行中，輸入信號一般是低頻信號，而噪聲信號是高頻信號。(5) 、帶寬指標(biāo)取決于下列因素：a)對輸入信號的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說,帶寬與響應(yīng)速度成正比。b）對高頻噪聲必要的濾波特性。為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。 但是，從噪聲的觀點來看，帶寬不應(yīng)當(dāng)太大。因此，對帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計通常需要折衷考慮。具 有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大。3、典型二階系統(tǒng)頻域

12、指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系閉環(huán)頻域指標(biāo)：Mr =:cor =1 - 2-,伊 b=切 J(1-2：2)+ J2-4偵 +4頊2 . 1- 22- .c 1 / 2= arctg .= . 4 2 +1-2 2,4 2+1-2 2'閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標(biāo)：；=e /-* 100% t p = /d = /n( - tr =(二-：)/ ”(：-： )/(，n , 1- 2)ts= 3.5 ( ：=0.05,0< <0.9)-n因此，若知道頻域指標(biāo)中的任兩個，就可解算出 E , «n,從而求出時域指標(biāo)。反之，給出時域指標(biāo)的任兩個，就可確定閉環(huán)頻域指標(biāo)。-% =e100%Mr,。）,ts】，相對穩(wěn)定性