電磁波48學(xué)時(shí)總復(fù)習(xí)

1、2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)12005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3要求： 1、掌握三種坐標(biāo)的建立 2、能寫出三種坐標(biāo)的梯度、散度和旋度，以及三度的性質(zhì)。 3、掌握散度定理和斯托克斯定理。2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)41 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量線元

2、矢量線元矢量zeyexelzyxdddd體積元體積元zyxVdddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee,點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeye 1 1 1321hhh，拉梅系數(shù)：2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)5 2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系z(mì),坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0（半平面半平

3、面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP 1 1321hhh，拉梅系數(shù)：2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)63. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000rP sin 1321 rhrhh，拉梅系數(shù)：2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)7梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)

4、系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 1. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luel2311 321 231 231231h hehhehhehh huuu2 三種坐標(biāo)系的三度三種坐標(biāo)系的三度2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)8圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系

5、球坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系2 2、散度的表、散度的表 達(dá)式達(dá)式：了解散度的有關(guān)公式了解散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(03213231213213211FhhuFhhuFhhuhhhF2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)9yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx3 3、旋度的計(jì)算公式、旋度的計(jì)算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)yxzyxFFFzyxeee2005-1-25第

6、一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)10了解旋度的有關(guān)公式了解旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u332211321332211321 1FhFhFhuuuehehehhhhF旋度的通式：2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)111. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲

7、合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。3 兩定理兩定理2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)12SCSFlFdd2. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消

8、相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)13 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)14要求掌握：要求掌握： 1 1、電流密度矢量、電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）的積、電流密度矢量、電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）的積分和微分形式。分和微分形式。 2 2、靜電場的高斯定理和環(huán)路定理的積分和微分形式（散度、靜電場的高斯定理和環(huán)路定理的積分和微分形式（散度和旋度）和旋度）.

9、. 3 3、靜磁場的高斯定理和環(huán)路定理的積分和微分形式（散度、靜磁場的高斯定理和環(huán)路定理的積分和微分形式（散度和旋度）和旋度）. . 4 4、媒質(zhì)的電磁特性：極化、磁化和導(dǎo)電的物理量。、媒質(zhì)的電磁特性：極化、磁化和導(dǎo)電的物理量。 5 5、電磁感應(yīng)定律和位移電流。電磁感應(yīng)定律和位移電流。 6 6、麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系 7、電磁場的邊界條件、電磁場的邊界條件注：注： 例例2.4.1 例例2.4.2 例例2.4.3 例例2.5.3 例例2.5.4 例例2.6.2 例例2.7.1 及相應(yīng)的作業(yè)要求掌握及相應(yīng)的作業(yè)要求掌握.2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)152

10、.1 電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體 的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移 到另一個(gè)物體。到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程積分形式積分形式微分形式微分形式流出閉曲面流出閉曲面S 的電流的電流等于體積等于體積V 內(nèi)單位時(shí)內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流的連續(xù)性方程0t恒定電流是無源場，電恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點(diǎn)也無終點(diǎn)

11、既無起點(diǎn)也無終點(diǎn)電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。VSVttqSJddddddtJ0dSSJ、0 J2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)162.2 靜電場的散度與旋度靜電場的散度與旋度 VSVrSrE)d(1d)(0高斯定理表明高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止 于負(fù)電荷。于負(fù)電荷。靜電場的散度靜電場的散度（微分形式）（微分形式）1. 靜電場散度與高斯定理靜電場散度與高斯定理靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理（積分形式）（積分形式）( )0E r 環(huán)路定理表明環(huán)路定理表明：靜電場是

12、無旋場，是保守場，電場力做功與路徑靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑 無關(guān)。無關(guān)。靜電場的旋度靜電場的旋度（微分形式）（微分形式）2. 靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理（積分形式）（積分形式）0d)(ClrE0)()(rrE 不要求推導(dǎo)過程，不要求推導(dǎo)過程，要求掌握性質(zhì)和應(yīng)用要求掌握性質(zhì)和應(yīng)用2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)172.3 恒定磁場的散度和旋度恒定磁場的散度和旋度 )()(0rJrBISrJlrBSC00d)(d)(1.1. 恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明表明

13、：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點(diǎn)和恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點(diǎn)和 終點(diǎn)的閉合曲線。終點(diǎn)的閉合曲線。恒定場的散度恒定場的散度（微分形式）（微分形式）磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理（積分形式）（積分形式）安培環(huán)路定理表明安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁 場的旋渦源。場的旋渦源。恒定磁場的旋度恒定磁場的旋度（微分形式）（微分形式）2. 恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）（積分形式）0d)(SSrB0)(rB 不要求推導(dǎo)過程，不要求推導(dǎo)過程，性質(zhì)和應(yīng)用要掌握性質(zhì)和應(yīng)用要掌握2

14、005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)182.4 媒質(zhì)的電磁特性媒質(zhì)的電磁特性 媒質(zhì)對(duì)電磁場的響應(yīng)可分為三種情況：媒質(zhì)對(duì)電磁場的響應(yīng)可分為三種情況：極化極化、磁化磁化和和傳導(dǎo)傳導(dǎo)。 描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：電容率（介電常數(shù)）電容率（介電常數(shù)）、磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率 和和電導(dǎo)率電導(dǎo)率。一、一、 電介質(zhì)的極化及其極化的物理量電介質(zhì)的極化及其極化的物理量1、極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量)mC(2P2. 極化電荷體密度極化電荷體密度3. 電位移矢量電位移矢量 介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理4. 電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系PP 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

15、19PED0任意閉合曲面電位移矢任意閉合曲面電位移矢量量 D 的通量等于該曲面的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和包含自由電荷的代數(shù)和 小結(jié)小結(jié)：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為 0EP引入電位移矢量（單位：引入電位移矢量（單位：C/m2 ) )pP 將極化電荷體密度表達(dá)式將極化電荷體密度表達(dá)式 代入代入 ，有，有0PED則有則有 VSVSDdd其積分形式為其積分形式為 0DE （微分形式），（微分形式）， （積分形式）（積分形式） 0dddCVSlEVSD2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)20二、二、 磁介質(zhì)的磁化及其磁化的物理量

16、磁介質(zhì)的磁化及其磁化的物理量1、磁化強(qiáng)度矢量、磁化強(qiáng)度矢量2. 磁化電流密度矢量磁化電流密度矢量3. 磁場強(qiáng)度矢量磁場強(qiáng)度矢量 介質(zhì)中的安培環(huán)路定理介質(zhì)中的安培環(huán)路定理4. 磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系HMmmm0limVpMnpVMJMMBH0定義磁場強(qiáng)度定義磁場強(qiáng)度 為：為：H（積分形式）（積分形式） （微分形式）（微分形式）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrH2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)21三、媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性三、媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性 對(duì)于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢對(duì)于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量

17、量 J 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度 E 成正比，表示為成正比，表示為EJ這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù) 稱為媒質(zhì)的電稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是導(dǎo)率，單位是S/m（西門子（西門子/米米=1/歐姆歐姆米）。米）。晶格晶格帶電粒子帶電粒子 存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場作。在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)222.6 麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式VSVSJddSVS

18、CSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(dDBtBEtDJH0tJ2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)231n2nSDD1n2nBB1t2tSHHJ1t2tEEn12n12n12n12()()0()0()SSeHHJeEEeBBeDD2.7 邊界條件一般表達(dá)式邊界條件一般表達(dá)式 在兩種理想介質(zhì)在兩種理想介質(zhì)分界面上，通常沒有分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即電荷和電流分布，即JS0、S0，故，故n12n12n12n12()0()0()0()0eeeeDDBBEEHH 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)D 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)B 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)E 的

19、切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)H2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)24nnnn00SSeDeBeEeHJ理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于 的法向分量的法向分量D理想導(dǎo)體表面上理想導(dǎo)體表面上 的法向分量為的法向分量為0 0B理想導(dǎo)體表面上理想導(dǎo)體表面上 的切向分量為的切向分量為0 0E理想導(dǎo)體表面的面電流密度等于理想導(dǎo)體表面的面電流密度等于 的切向分量的切向分量H 理想導(dǎo)體表面上的邊界條件理想導(dǎo)體表面上的邊界條件 設(shè)媒質(zhì)設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，則為理想導(dǎo)體，則E2、D2、H2、B2均為零，故均為零，故2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)252005-1-25

20、第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)26要求掌握：要求掌握： 1 1、靜電場分析靜電場分析:電位及其微分方程、邊界條件和求解微分電位及其微分方程、邊界條件和求解微分方程；靜電場的能量。方程；靜電場的能量。 2 2、掌握、掌握恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位，恒定磁場的能量。恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位，恒定磁場的能量。 3 3、鏡像法的基本原理及掌握幾種類型求解。、鏡像法的基本原理及掌握幾種類型求解。 3.112005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)272. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0ddlESDCSq積分形式：積分形式：02t1tn2

21、n1EEDDS2t1tn2n1EEDD3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)28介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 0tnEDS 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)290E由由即即

22、靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 2. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場力做電場力做的功的功2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)30在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有3

23、. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)31 4. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí) 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數(shù)，常數(shù)

24、，SnSnn1122212005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)323.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶龇e分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)33 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球

25、形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)343.3 恒定磁場分析恒定磁場分析0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條

26、件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHBBt2t12n1n0若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)35 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可

27、以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)362. 恒定磁場的標(biāo)量磁位恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來

28、描述，但一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)在無傳導(dǎo)電流（電流（J0）的單連通空間）的單連通空間 中，則有中，則有即即在無傳導(dǎo)電流（在無傳導(dǎo)電流（J0）的單連通空間）的單連通空間中，可以引入一個(gè)中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。函數(shù)來描述磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位的引入0HmH 標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 磁標(biāo)位的微分方程磁標(biāo)位的微分方程00,()BBHM將將 代入代入mH m0H2mm0 m0HM m0M 等效磁荷體密度等效磁荷體密度I磁殼磁殼通）除去磁殼的區(qū)域（單連 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)373.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能

29、量 磁場能量密度磁場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。磁場能量密度：磁場能量密度：磁場的總能量：磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶龇e分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)383.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 在場域在場域V 的邊界面的邊界面S上給定上給定 或或 的

30、的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具具有惟一值。有惟一值。 n惟一性定理的重要意義惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述惟一性定理的表述2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)39 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場會(huì)出

31、現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出問題的提出幾個(gè)實(shí)例幾個(gè)實(shí)例q q3.5.1 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體板附近有接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。示。qq非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷等效電荷等效電荷3.5 鏡像法鏡像法2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)40 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用電

32、位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論結(jié)論：所謂鏡像法是：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用或線電荷的作用。問題問題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)412. 鏡像法的原理鏡像法的原理 用位于用位于場域邊界外場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡

33、像電荷分布來等效替代虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種得以明顯簡化的一種間接求解法間接求解法。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題

34、的解答，并且泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ) 解的解的惟一性定理惟一性定理2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)42 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素三要素” ” 。4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5. 確定鏡像電荷的兩條原則確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的等

35、效求解的“有效場域有效場域”。鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域區(qū)域 的邊界條件來確定。的邊界條件來確定。2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)431. 點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷鏡像電

36、荷電位函數(shù)電位函數(shù)因因 z = 0 時(shí)，時(shí)，有效區(qū)域有效區(qū)域RR q qhhq q qh2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)44上半空間上半空間( ( z0 ）的電位函數(shù)）的電位函數(shù)q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)453. 點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體

37、平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷電荷q 位于位于(d1, d2 )處。處。 顯然，顯然，q1 對(duì)平面對(duì)平面 2 以及以及 q2 對(duì)平對(duì)平面面 1 均不能滿足邊界條件。均不能滿足邊界條件。1231111()4qRRRR對(duì)于平面對(duì)于平面1，有鏡像電荷，有鏡像電荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )對(duì)于平面對(duì)于平面2，有鏡像電荷，有鏡像電荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )處處再設(shè)置一再設(shè)置一鏡像電荷鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才

38、能，所有邊界條件才能得到滿足。得到滿足。電位函數(shù)電位函數(shù) d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d12005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)463.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像1. 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷 q來等效。來等效。 q 應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（因?yàn)橐驗(yàn)椴豢捎绊懺匠滩豢捎绊懺匠蹋?，且在點(diǎn)電荷），且在點(diǎn)電荷q與球與球心的連線上，距球心為心的連線上，距球心為d。則有。則有 01()4qqRR 如圖所示，點(diǎn)電荷如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑位于半徑為為a 的接

39、地導(dǎo)體球外，距球心為的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。方法方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和和 q。d dq?問題問題： PqarRdqPaqrRRdd2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)47 令令 ra，由球面上電位為零，由球面上電位為零，即即 0，得，得=0qqRRRqRq 常數(shù)此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。OqPOq P 2add 0RaqqqRdqqRR 條件條件：若：若像電荷的位置像電荷的位置像電荷的電量像電荷的電量1adqq RdaRad常數(shù)常數(shù)qPqaRRddO由于由于2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)4822

40、22221()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad球外的電位函數(shù)為球外的電位函數(shù)為2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)49點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,aqqd 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為、外半徑為b，點(diǎn)電，點(diǎn)電荷荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d |q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)（無關(guān)（為什么為什么？）？）aqdobqrRRa

41、qdOd 與點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外與點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到同樣的分析，可得到2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)50球殼內(nèi)的電位球殼內(nèi)的電位22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)512 . 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)的感應(yīng)電荷分布，則電荷分布，則 2,aaqq ddd 導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；導(dǎo)體球面是電位

42、不為零的等位面； 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零。電荷為零。采用疊加原理來確定鏡像電荷采用疊加原理來確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為位于一個(gè)半徑為a 的不的不接地導(dǎo)體球外，距球心為接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。PqarRdO2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)52 然后斷開接地線，并將電荷然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個(gè)位可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷于球

43、心的鏡像電荷q來替代，即來替代，即01()4qqqRRr球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddqO0d qdaqq2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)533.5.5 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖圖1 1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面分界平面zx12qh特點(diǎn)：特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。與極化電荷共同產(chǎn)生。圖圖2 2 介質(zhì)介質(zhì)1

44、 1的鏡像電荷的鏡像電荷Pqhh11xzqRR問題：問題：如圖如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為所示，介電常數(shù)分別為 和和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷中有一個(gè)點(diǎn)電荷q ，距分界平面為距分界平面為h 。12分析方法：分析方法：計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖2所示。所示。12005-1-25第一章 電磁場

45、的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)54介質(zhì)介質(zhì)1中的電位為中的電位為222221( , , )4()qqx y zxyzh(0)z 2 計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)所示。介質(zhì)2中的電位為中的電位為圖圖3 3 介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷22qqPxzhR122222211( , , )4()()qqx y zxyzhxyzh(0)z +2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理

46、基礎(chǔ)55可得到可得到1211()()qqqqqqqq12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用電位滿足的邊界條件利用電位滿足的邊界條件2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)562005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)574.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無源區(qū)的波動(dòng)方程無源區(qū)的波動(dòng)方程0222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)584.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的

47、位函數(shù)引入位函數(shù)來描述時(shí)變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數(shù)來描述時(shí)變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義0)(tA0 BABtBtAE0tA在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)59222t 說明說明JtAA222 問題問題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱 的，且比較簡單，易求解的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁

48、場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標(biāo)，標(biāo) 量位只決定于量位只決定于，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數(shù)只是簡化時(shí)變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡化時(shí)變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。 若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足

49、什么樣的方程? 具有什么特點(diǎn)具有什么特點(diǎn)?2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)60其中其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電磁能量。的電磁能量。 單位時(shí)間內(nèi)電場對(duì)體積單位時(shí)間內(nèi)電場對(duì)體積V中的電流所做的功；中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。內(nèi)總的損耗功率。 通過曲面通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率。的電磁功率。積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)( 坡坡印廷定理印廷定理 物理意義：物理意義：單位時(shí)間內(nèi)，通過曲面單

50、位時(shí)間內(nèi)，通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)61 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 坡印廷矢量（坡印廷矢量（電磁能流密度矢量電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O 描述時(shí)變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊?/p>

51、個(gè)重要物理量描述時(shí)變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)62 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電，導(dǎo)體中流過的電流為流為I 。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)模┰趯?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；（功率；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面為有限值時(shí)，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。進(jìn)入每單位長度

52、內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)63 解：解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a 內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上

53、的坡印廷矢量內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量 2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)64電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。負(fù)載，如圖所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)65 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場向

54、的電場內(nèi)內(nèi)2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場則仍為磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)6622122320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e

55、外21Ra式中式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如分量，也有徑向分量，如圖所示。圖所示。進(jìn)入每單位長度進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為內(nèi)導(dǎo)體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的

56、功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)674. 4 惟一性定理惟一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域?yàn)檫吔绲挠薪鐓^(qū)域V 內(nèi)，內(nèi)，如果如果給定給定t0 時(shí)刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度時(shí)刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，的初始值，并且在并且在 t 0 時(shí)，給定邊界面時(shí)，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在，那么，在 t

57、 0 時(shí)，區(qū)域時(shí)，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場問題時(shí)，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場問題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一性問題?？怂鬼f方程的解的惟一性問題。VS 惟一性問題惟一性問題 惟一性定理的表述惟一性定理的表述2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)68 設(shè)設(shè)

58、 是一個(gè)以角頻率是一個(gè)以角頻率 隨時(shí)間隨時(shí)間t t 作正弦變化的場量，它作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場和磁場的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj( )j0( , )ReeRe ( )etrtA r tAA r其中其中j ( )0( )erA rA時(shí)間因子時(shí)間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。( )r 實(shí)數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示

59、法或瞬時(shí)表示法瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅4. 5 時(shí)諧電磁場時(shí)諧電磁場 4.5.1 時(shí)諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場的復(fù)數(shù)表示2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)69 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式將下列場矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz解：解：由于由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjj

60、mm(eje)eyxkzxxyye Ee E所以所以2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)704.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就可以把時(shí)諧電磁代替，就可以把時(shí)諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程jtjt 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)m2005-1-25第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)714.5.3 了解了解復(fù)電容率和復(fù)