電磁場與電磁波 矢量分析(11-13)

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11.1 矢量代數矢量代數1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波21. 1. 標量和矢量標量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：

2、標量標量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數表示矢量的代數表示：AeAeAAA1.1 矢量代數矢量代數矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析

3、電磁場與電磁波電磁場與電磁波3zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波4（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律矢量的加減符合交換律和結合律2

4、. 矢量的代數運算矢量的代數運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律結合律()()ABCABCABBA交換律交換律第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波5（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA

5、B A B 0BA/A BAB第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波6（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波7CBAanaBaAOC ABBA(a

6、)(b)矢量積的圖示及右手螺旋矢量積的圖示及右手螺旋 ( (a) ) 矢量積矢量積 ( (b) ) 右手螺旋右手螺旋,xyzyzxzxyaa = a aaa aaa0 xxyyzzaa = aaaa第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波8（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波9第一章第一

7、章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波10 例題例題:給定三矢量給定三矢量C23xyz zA eee4xz zB ee52xz zC ee求求:(1)(2)B (3)(4)ABA在在C方向上的分量方向上的分量(6)A C(5)解解:(1)22212( 3)14A (2)1 ( 4)(2 0)( 3) 1xyzA Beee 524xyzeee22252( 4)35AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11(3)1 ( 4)20( 3) 17A B (4)根據公式根據公式cosABA BAB 77c

8、os14 17238ABA BAB 7cos117238ABarc第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波12(5)CAA先求矢量先求矢量A的大小的大小,即即11cos29ACACACAAACAC 再求矢量再求矢量A的方向的方向,即即015229xzCCCCeeCC故故矢量矢量A為為0115229xzAA Cee(6)利用行列式求利用行列式求解解12341310502 xyzxyzeeeACeee第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波13 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三

9、維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：三種常用的正交曲線坐標系為：直角直角坐坐標系、圓柱坐標系和球坐標系標系、圓柱坐標系和球坐標系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量坐標變量。第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電

10、磁場與電磁波141. 直角坐標系直角坐標系zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標變量坐標變量zyx,坐標單位矢量坐標單位矢量zyxeee, 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSz

11、zdddzxeSyyddd第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波152. 圓柱坐標系圓柱坐標系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標變量坐標變量zeee,坐標單位矢量坐標單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系圓柱坐標系0（半平面半平面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場

12、與電磁波電磁場與電磁波16ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標系球坐標系, r坐標變量坐標變量eeer,坐標單位矢量坐標單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系球坐標系0（半平面半平面）0（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000rP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波174、坐標單位矢量之間的關系、坐標單位

13、矢量之間的關系第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波181.3 標量場的梯度標量場的梯度標量場標量場：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。矢量場：矢量場：流速場、重力場、電場、磁場等：流速場、重力場、電場、磁場等。 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。標量場和矢量場標量場和矢量場第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波19第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量

14、分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波201.1. 標量場的等值面標量場的等值面等值面等值面: : 標量場取得同一數值的點在空標量場取得同一數值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數常數C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標量

15、場的等值線標量場的等值線( (面面) )第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波212. 方向導數方向導數意義意義：方向導數表示場沿某方向的空間變化率：方向導數表示場沿某方向的空間變化率。00coscoscos|limMluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向導數的概念方向導數的概念 l特點特點：方向導數既與點：方向導數既與點M0有關，也與有關，也與 方向有關方向有關。問題問題：在什么方向上變化

16、率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波22梯度的表達式梯度的表達式：zueueueuz1圓柱坐標系圓柱坐標系 ureurerueursin11球坐標系球坐標系zueyuexueuzyx直角坐標系直角坐標系 3. 標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最

17、大值的方向max|luuel luel第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波23標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數值表示變化最大方向上的方向，其數值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數，是標量場在某個方向上的方向導數，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質梯度的性質：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標量場的梯

18、度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波24 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 設一標量函數設一標量函數 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標量描述了空間標量場。試求：場。試求： (1) 該函數該函數 在點在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數求該函數 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向導數，并以點方向的方向導數，并以點 P(1,1,1) 處的方向導數值與該點的梯度處的方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應