《高等數(shù)學(xué)》第三章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的習(xí)題庫(201511)

1、班級姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第1頁若f(x)若在(a,b)內(nèi)f(x)，g(x)都可導(dǎo)， 且f(x) g(x)， 則在(a,b)內(nèi)必有f(x)函數(shù)f(x) arctanxx 在 R 上是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。因為函數(shù) f (x) x 在 x 0 處不可導(dǎo)，所以 x 0 不是f (x)的極值點 函數(shù)0則f (x)0。g(x)函數(shù)f (x) x在 x 0的領(lǐng)域內(nèi)有f (x) f (0)， 所以f (x)在 x 0處取得極小值x sinx在0,2 嚴(yán)格單調(diào)增加。函數(shù)方程exx 1在(，0嚴(yán)格單調(diào)增加。x22x 10在0,1內(nèi)只有一個實數(shù)根3x2在0,)嚴(yán)格單調(diào)增加。3x2在(,0嚴(yán)

2、格單調(diào)減少。函數(shù) y 函數(shù) y 若f(x) 0則x必為f(x)的極值點。若X。為f(x)極值點則必有f(0)0o第二草微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、判斷題若f(x)定義在a,b上，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必存在(a,b)使f()0若f(x)在a,b上連續(xù)且f(a) f(b)，則必存在(a,b)使f()0若函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)可導(dǎo)且比f(x)肥f(x)，則必存在(a,b)使f(a,b)，使f(b) f (a) f( )(b a)f(x) x 在1,1上連續(xù)，且f( 1)f(1)， 所以至少存在一點1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.2

3、1.22.23.24.25.若f(x)在a,b內(nèi)可導(dǎo)， 則必存在 因為函數(shù))1,1 使f ( )0若對任意若對任意x (a,b)，都有f(x)x (a,b)，都有f(x)0，則在(a,b)內(nèi)f (x)恒為常數(shù)。g(x)，則在(a,b)內(nèi)f (x) g(x)arcs inxarccosx ,x21,1arcta nx若f(x)若f(x)arcta n x, x2x(x 1)(x 2)(x(x21)(x24)，3)， 貝U導(dǎo)函數(shù)f(x)有 3 個不同的實根 則導(dǎo)函數(shù)f(x)有 3 個不同的實根。limx 22x 1lim(2x)x 2(2x 1)2xe 1limx0sin xe2x1卿石)班級姓名

4、學(xué)號16.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第2頁1.若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，Xi,X2是(a,b)內(nèi)任意兩點，且x?，則至少存在一點A.f(b)f (a)f ( )(ba)，其中abB.f(b)f (X1)f( )(bX1)，其中xbC.f(xjf(X2)f( )(X2X1)，其中X1X2D.f(X2)f (a)f( )(X2a)，其中aX22. 函數(shù)f (x)x在0,滿足羅爾定理條件的 等于3.4.A.-1B.0C.1函數(shù)f (x)x22xB.0C.1函數(shù)y1,2 滿足拉格朗日中值定理條件的D.-2x(1 x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)滿足羅爾定理的等于B.limXx使()()()()

5、26.f(x)x3在 x 0 處有f (0)0,所以 x 0 是f(x)的極值點。()27. 若(X, f(Xo)為曲線y f(x)的拐點，則必有f(XQ) 0。()28. 若f (XQ) 0,則(X0,f(x。)必為函數(shù)曲線y f (x)的拐點。()29. 若在 1 上，曲線總在它每一點的切線上方，則曲線在 1 上是凹的。()30. 曲線yx46x23x在區(qū)間(0,1 )內(nèi)是凸的。()31. 曲線yln(x21)的圖形處處是凹的。()32. 曲線yxe3x的拐點 x 0。()33. 曲線yx3在(，0內(nèi)是凸的，在0,)內(nèi)是凹的。()34. 曲線yln x有水平漸近線y oo()、選擇題3班級

6、姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第3頁8.函數(shù)f (x)x2exA.沒有極值 B.既有極大值也有極小值C.只有極大值D.只有極小值A(chǔ).在 R 上單調(diào)減少C.在(1,1)上單調(diào)減少7.f(x) xln x，貝UA.在(0,-)內(nèi)單調(diào)增加C.在(0,)內(nèi)單調(diào)減少B.在 R 上單調(diào)增加D.在(1,1)上單調(diào)增加1B.在(-,)內(nèi)單調(diào)增加eD.在(0,)內(nèi)單調(diào)增加9.若在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f (0)0，f(0)0則f(x)在(a,b)內(nèi)班級姓名學(xué)號16.第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第4頁10.若f x f x，x(,)，在(,0)內(nèi)f(x)(0，f (x) 0，則f (x

7、)在(0,內(nèi)有()A.f (x)0，f (x)0B.f(x) 0，f(x)0C.f (x) 0，f (x)0D.f(x) 0，f(x)011.要使點(1,3)為曲線y3ax bx2的拐點則a,b值應(yīng)為()A.a9,b3B.a2232,b9C.2a 3,b6D.a 2, b112.點(1,2)是曲線y ax2bx3的拐點， 貝U()A.a 0, b 2B.a 1,b1C.a 2,b 0D.a3,b113.曲線f(x) 3x2x3在()A.在(，1)內(nèi)是凸的，(1,)內(nèi)是凹的B.在(1,)內(nèi)是凸的，(,1)內(nèi)是凹的C.在(，0)內(nèi)是凸的,(0,)內(nèi)是凹的D.在(0,)內(nèi)是凸的,(,0)內(nèi)是凹的14

8、.2 是函數(shù)yx33x26x 2在1,1上的()A.極大值B.極小值C.最大值D.最小值15.函數(shù)y 2x39x212x 1在 0,2上的最大值點與最小值點分別是()A.1，0B.1，2C.2， 0D.2，116.設(shè)f(x)(1x)(2x 1),x(,1)則在(，,1)內(nèi)曲線f (x)單調(diào)()A.遞增凹的B.遞減凹的C.遞增凸的D.遞減凸的17.1當(dāng) x 0，則曲線y xsin ()xA.僅有水平漸近線B.僅有垂直漸近線C.既有水平又有垂直漸近線D.既沒有水平又沒有垂直漸近線A.單調(diào)遞減且凹的C.單調(diào)增加且凹B.單調(diào)增加且凸的D.單調(diào)遞減且凸班級姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁

9、第5頁三、填空題1. 若函數(shù)f(x)在a,b上可導(dǎo)，則至少存在一點(a,b)使得f()_。2. 函數(shù)f(x)3T在(1,1)內(nèi)滿足羅爾中值定理的點是 _ 。1 x3. 函數(shù)f(x) x、,亍在(0,3)內(nèi)滿足羅爾中值定理的點是 _ 。4. 函數(shù)f (x) 2x3在(1,1)內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的點是 _。5. 函數(shù)f(x) x35x2x 2在(1,0)內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的點是 _ 。6. 函數(shù)f(x) sinx,g(x) cosx,在x (0,)內(nèi)滿足柯西中值定理的點是 _ 27. 函數(shù)f(x) x,g(x) , x,在x (0,1)內(nèi)滿足柯西中值定理的點是 _。8. 函數(shù)f(x) px

10、2qx r在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的點是 _9. 函數(shù)f (x) x3x22x，g(x) 2x 1在區(qū)間(0,1)內(nèi)滿足柯西中值定理的點是10. 函數(shù)f(x) arctanx x在(，)上嚴(yán)格單調(diào)_。11. 函數(shù)f (x) x 2cosx在0,內(nèi)的最大值點是 _ 。2112. 函數(shù)f (x) x 1的極大值點是_ ，極小值點是_x 113. 曲線 y ex在區(qū)間_上是凸的。14. 曲線y 1 (x 2)3的拐點是_ 。15. 曲線y 1務(wù)的水平漸近線為_。1 x16. 曲線y 4x2丄的垂直漸近線為 _ 。x17. 曲線 y ex的水平漸近線為_ 。18.曲線yA.僅有水平漸近線

11、C.既有水平又有垂直漸近線119.曲線y ex1的漸近線B.僅有垂直漸近線D.既沒有水平又沒有垂直漸近線()A. x 1 為垂直漸近線,y 0為水平漸近線B. x 1 為垂直漸近線,y 1為水平漸近線C. x 0 為垂直漸近線,y 0為水平漸近線D. x 0 為垂直漸近線,y 1為水平漸近線班級姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第6頁18._ 曲線y 1J 的水平漸近線為1 x班級姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第7頁19. 曲線2的斜漸近線為20. 曲線x3(x 3)(x 1)的垂直漸近線為21. 曲線x3(x 3)(x 1)的斜漸近線為四、求解題1.limx

12、13x3xx23x 2x 12.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.xesin xxlimx 1nx 12xln(x1)sin x sin axa212x1 x 1111In(x1)x00limx a011lim x(exlimxlimxlimx -21)x(2arcta nx)x ln(x 2) lnxln sin x2x)3lnlim xarctan x班級姓名學(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第8頁lim xtan xx 01lim x1xx 11li叫1 si nx)求函數(shù)y 2x39x212x 3的單調(diào)性和極值。2求函數(shù) y (x 2) (x 1)3的單調(diào)性

13、和極值。2求函數(shù)y1 (x 2)?的單調(diào)性和極值。求函數(shù)f(x) exx 1的單調(diào)性。求函數(shù)f (x) x3(1 x)的單調(diào)區(qū)間并求極值。求函數(shù)f(x)匕的單調(diào)區(qū)間并求極值。1 x求函數(shù)f(x) 2x33x212x14在3,4上的最值。求函數(shù)y x33x29x 2在4,4上的最大值和最小值。求f (x) 2x33x2在1,4上的最值。求f (x) 2x33x212x 14在3,4的最值。求曲線y xex的凸凹性及其拐點。14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.班級姓名學(xué)號2第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第9頁五、證明題2. 設(shè) x 0,丄也

14、兇1.1 x x3.證明 sina sinba b。4. 設(shè) a b 0 證明：-bIn a In b a6. 當(dāng) x 0 時，ex1 x。1 ,_7. 當(dāng) x 0 時，1 x x。28. 當(dāng) x 0 時，1 xln(x 1 x2)-1 x29. 證明f(x) x32x 1在(，)內(nèi)只有一個零點。1nnx yn10.-(xnyn)() (x 0, y 0,x y, n 1)。22x y11.xl nx ylnx (x y)ln ,(x 0, y 0, x y)。5.證明當(dāng) 0 ab時,a1 b2arcta nb arcta na1 a21.設(shè)a b 0,n1證明：nbn 1n 1na班級姓名學(xué)

15、號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第10頁六、應(yīng)用題1. 一個房產(chǎn)公司有 50 套公寓需要出租，當(dāng)租金每套每月為 1000 元時，公寓會全部租 出，當(dāng)租金每月增加 50 元時，就會有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套 花費 100元的維護(hù)費。問房租定為多少可獲得最大收入？2.有一塊邊長為 6a 的正方形鐵片，在每個角剪去一個邊長同樣的小正方形， 然后將四 角折起來，做成無蓋的方盒。問為了使盒子體積最大，剪去小正方形的邊長為多少 的？3.已知若每英畝種植 20 棵核桃樹，則每年每棵樹可以平均收獲堅果 60 磅。據(jù)此估算 核桃樹的種植，若每英畝增加種植一棵樹（最多增種15 棵），則平均每棵樹年減產(chǎn)量減少 2 磅。問每英畝種植多少棵樹會使畝產(chǎn)最大？最大畝產(chǎn)是多少？34.某工廠要建造一個容積為2 a立方米的帶蓋圓柱體，問半徑 r 和高 h 如何確定，則所用的材料最?。?5.某工廠要建造一個容積為a立方米的無蓋圓柱體，問半徑 r 和高 h 如何確定，則所用的材料最?。堪嗉壭彰麑W(xué)號第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用共 9 頁第11頁6. 要建一個體積為 5立方米的無蓋圓柱形的桶，底面用銅制，側(cè)壁用鐵制，已知每平 方米鐵片造價是a元，每平方米銅片造價是 5a元，問該桶的底面半徑 r 多大時總造 價最低，最低總造價是多少元