北大隨機過程課件：第4章第7講窄帶實平穩(wěn)隨機過程

1、窄帶實平穩(wěn)隨機過程1概述6 確定性窄帶信號 窄帶信號的數(shù)學(xué)表達式 同相分量、正交分量 包絡(luò)和相位分量6 窄帶實平穩(wěn)信號的 Hilbert 變換Hilbert 變換(沖擊響應(yīng)、頻率響應(yīng))和等效的線性系統(tǒng) 窄帶實平穩(wěn)信號和它的 Hilbert 變換，它們的自相關(guān)函數(shù)和功率譜 窄帶實平穩(wěn)信號和它的 Hilbert 變換，它們的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜 2線性調(diào)制過程( 1)6由兩個均值為零實寬平穩(wěn)過程a(t)、b(t)，常數(shù)，構(gòu)造線性調(diào)制過程6 線性調(diào)制過程的廣義平穩(wěn)的條件6 構(gòu)造線性調(diào)制過程的對偶過程6 線性調(diào)制過程的復(fù)數(shù)表示6 線性調(diào)制過程相關(guān)函數(shù)和功率譜6 單邊帶調(diào)制過程 3線性調(diào)制過程( 2)6

2、由線性調(diào)制過程 E(t)構(gòu)造對偶過程，解析信號6 等效低通信號 定義、頻譜、功率譜，數(shù)學(xué)表達式 時域表示，等效低通信號，它的同相分量、正交分量 窄帶實平穩(wěn)信號和它的 Hilbert 變換，它們的同相分量、正交分量 4計算調(diào)制過程分量的相關(guān)函數(shù)和功率譜6 自相關(guān)函數(shù)和功率譜xc(t)、 xs (t )的自相關(guān)函數(shù)和自功率譜6 互相關(guān)函數(shù)和功率譜xc(t),xs(t) ； xs (t ), xc (t )的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜6 相關(guān)函數(shù)和相關(guān)矩陣進一步討論 定理：窄帶實平穩(wěn)的隨機過程的功率譜、 時域的同相分量和正交分量表示、 同相分量 和正交分量的自功率譜、同相分量和正交分量的互功率譜、6 相關(guān)

3、函數(shù)和功率譜密度的小結(jié) 5窄帶實平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)和相關(guān)矩陣：6 相關(guān)函數(shù)6 相關(guān)矩陣1概述1.1確定性窄帶信號窄帶信號，信號的頻譜分量僅僅集中在載波頻率附近。窄帶信號的數(shù)學(xué)表達式是：x(t)二 V(t)C0S(2nfct-椒)二 V(t)cos(Xt)cos2 nfct +V(t)sin(Xt)sin 2 nfct=xc (t )cos2 nfct + xs(t)sin 2 n fct同相分量、正交分量分別是：Xc(t)=V(t) ?D0s (Kt)Xs(t) = V(t) ?sin K(t)包洛和相位分量分別是：V(t)= .(Xc(t)2+(Xs(t)2-1 ?xs(t) ? K(t

4、) = tan ?Xc(t)?1.2窄帶實平穩(wěn)信號的Hilbert變換Hilbert變換和等效的線性系統(tǒng)如果把變換看作一個線性系統(tǒng)，Hilbert變換的頻率響應(yīng)和沖擊響應(yīng)分別是H (jf) = - j ?sgn fh(t) =1Tit隨機過程E(t)的Hilbert變換記作?(t)?(t)=總?cè)缱叹沤~回窄帶實平穩(wěn)信號和它的 Hilbert變換的自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜和互功率譜: 它們的相關(guān)函數(shù)和功率譜是P?(f) = |H(f)|2P,(f)= P(f)R?(T = R'T它們的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜是P?f)二H(f)Pf)二-j?sg n(f)?P"f)P 無(f)

5、二 H*(f)P(f)二 jsg n(f )?P'f)R?e( T = - R/( T2線性調(diào)制過程(1)2.1構(gòu)造線性調(diào)制過程線性調(diào)制過程：給定兩個均值為零實寬平穩(wěn)過程a(t)、b(t)，常數(shù)5，構(gòu)造過程x(t),x(t) = a(t)cos gt - b(t)sin gt=r(t)cosgt +?(t)其中振幅過程r(t)、相位過程？(t)r(t)-.a2(t) + b2(t)tg?(t)=b(t)/a(t)該過程是具有振幅調(diào)制 r(t)和相位調(diào)制的調(diào)制過程。2.2線性調(diào)制過程的廣義平穩(wěn)的條件線性調(diào)制過程是廣義平穩(wěn)充分必要條件定理：當(dāng)且僅當(dāng)過程 a(t),b(t)滿足下列條件：Ra

6、a ( T = Rbb ( TRab ( TRba ( T時，X(t)才是廣義平穩(wěn)的。證明：Ex(t)二 E a(t)cos gt - b(t)sin gt二 E a(t)cosgt - E b(t)sin gt = 0x(t + Tx(t) = ?a(t + Tcos cto (t + T - b(t + Tsin g (t + r)?a(t)cos gt- b(t)sin gt=a(t + ©a(t)cos g (t + i)cosgt+b(t + T b(t)sin g(t+ r)sin gt-a(t + ©b(t)cos g (t + r)sin gt-b(t +

7、Ta(t)sin g (t + "cosgt1=2 a(t + T a(t) (cos g (2t + r) + cos g T) 1sin g (2tsin gi+sin g(2tcos g (2t + T + coscos g T- cos g (2t + Tsinsincos g t1+ 2【Raa(T- &b( Tcosg (2t + T1-Rab() + 氐(力卜巾 g (2t + T+ b(t + Tb(t) (COSgT- COSg(2t+ r)1：如果 a(t),b(t)滿足 Raa(T = Rb(T，Rab(T=-Rba(T，則有Rxx(T = Ex(t+

8、Tx(t)= Raa(Tcos gr+Rab(Tsin grx(t)是廣義平穩(wěn)的。2:如果x(t)是廣義平穩(wěn)的，上式后邊兩項必須與t無關(guān)，則條件 RjTrRbbT，Rab(T = -Rba(T 滿足。2.3 構(gòu)造線性調(diào)制過程的對偶過程線性調(diào)制過程 x(t) 的對偶過程y(t) = b(t) cos gt + a(t)sin gt它也是廣義平穩(wěn)的，且有，Ryy ( T = Rxx ( T)Rxy ( T = - Ryx ( T)Rxy(T 二 Rab(TCOS gT- Raa ( T)S in g T其中 x(t) = a(t)cos g0t - b(t)sing0tx(t+T)y(t) = ?

9、a(t + T)cos g0 (t +T)- b(t +T)sin g0(t +T)?b(t)cos g0t +a(t)sin g0t= a(t +T)b(t)cosg0(t + T)cos g0t- b(t + T)a(t)sin g0(t+T)sing0t+a(t +T)a(t)cosg0(t +T)sing0t- b( t +T)b( t)sin g0 (t + T)cos g0tRxy(T) = Rab( T)cos g0 (t + T)cos g0t- Rba(T)sin g0 (t +T)sing0t+ Raa ( T)cos g0 (t + T)sin g0t- Rbb( T)s

10、in g0 (t + T)cos g0t= Rab( T)cos g0T- Raa (T)sin g0T2.4 線性調(diào)制過程的復(fù)數(shù)表示線性調(diào)制過程的復(fù)數(shù)表示w(t) = a(t) + jb(t)z(t) = x(t) + jy(t) = w(t)ejg0tx(t) = Rez(t) = Re?w(t)ejg0t ?從而求得a(t) = x(t)cosg0t + y(t)sin g0tb(t) = y(t)cosg0t - x(t)sin g0t2.5線性調(diào)制過程相關(guān)函數(shù)和功率譜線性調(diào)制過程相關(guān)函數(shù)和功率譜線性調(diào)制過程和它的對偶過程的相關(guān)函數(shù)和功率譜Rxx(T = Ryy(T=Raa (Tcos

11、 g t+ Rb( Tsin g tRxy ( T = - Ryx ( T= Rab(TcosgT- Raa(Tsin gTSxx( g = Syy( g=Saa(g- g) + Saa( W+ 0)2-j Sab( g- g)- Sab( g + g) 2Sxy( g =- Syx( g=S3b( g- g) + Sab(g+ g)/2+ jSaa(g- g)-Saa(g+ g)/2復(fù)過程w(t)的自相關(guān)函數(shù)為Rww ( T = Ea(t+ T+jb(t + Ta(t)- jb(t)Rww( T = 2Raa ( T - 2 jRab ( T同樣可以得到Rzz(T = 2Rxx( T - 2

12、 jRxy(r)進而注意到Rzz(T = ej gRw(T由此可以得到Sww(g) =2Saa(g)- 2jSab(g)Szz ( g = 2Sxx ( g) - 2 jSxy ( g)SZZ ( g = sww ( g- g )2.6單邊帶信號的線性調(diào)制如果b(t)=欲t)是a(t)的希爾伯特變換，注意到x(t) = a(t) cosgt - b(t)sin gt則有,w(t) = a(t) + jb(t)Sww(3 =4Saa(3)U(3)這是因為Sa?(3)= j4Saa(3)Sg n(3)3線性調(diào)制過程(2)3.1線性調(diào)制過程構(gòu)造對偶信號和解析信號對于窄帶實平穩(wěn)信號，構(gòu)造它的對偶信號、

13、以及解析信號窄帶實平穩(wěn)信號：E(t)窄帶實平穩(wěn)信號的對偶信號：?(t)窄帶實平穩(wěn)信號的解析信號、頻譜、功率譜：解析信號的定義，它的時域表示nt)=迪 + j ?(t)解析信號的頻譜和功率譜Sn(f) = S“)+jS?(f)=&(f)1+sg n(f)Pn(f) = P (f)1 + sg n(f)2=4p (f)?J(f)在正頻率部分，解析信號等于窄帶實平穩(wěn)信號的兩倍，在負頻率部分，解析信號等于零。窄帶實平穩(wěn)信號的解析信號的數(shù)學(xué)表示：注意到，E(t) = xc (t )cos 2 n fct + xs (t)sin 2 n fct= xc(t)ej2nfct 2 + xJt)e j2

14、nfct 2+Xs(t)ej2nfct. 2 j - Xs(t)e j2nfct. 2 j?(t) = - jxc(t)ej2nfct 2+jxc(t)e-j2nfct.2- jxs(t)ej2叭七 2j- jXs(t)e-j2nfct 2j j ?(t) = xc(t)ej2nfct 2- jxc(t)e- j2nfct 2+xs(t)ej2nfc 2 j + xs(t) e- j2nfc 2 jn(t)= E(t)+j ?(t) = xc(t)ej2nfctjXs(t)ej2n fct3.2 等效低通信號窄帶實平穩(wěn)信號的等效低通信號、同相分量、正交分量對解析信號進行頻率搬移， 將它的正頻率

15、載波分量搬移到直流附近的低通分量。 相 應(yīng)的時域表示：訊t)e-j2叫=?血住)叫-jxs(t)ej2nfct?5-j2nfct= xc(t)- jxs(t)訊 t)e-j2n口二? E(t) +j ?(t)?qcos2 nfct- j si n2nfct = ?E(t)cos2 nfct+ ?(t)si n2n fct?+ j ? E(t)sin 2 nfct + ?(t) cos2 n fct?相應(yīng)的實部和虛部對應(yīng)相等，可以得到等效低通信號的同相分量、正交分量表示：xc(t) = E(t)cos2n fct + ?(t)sin2n fctxs (t) = E(t)sin2nfct - ?(

16、t)cos2n fct同樣可以得到實平穩(wěn)窄帶隨機信號的同相分量、正交分量表示：E (t) = xc(t) cos2 n fct + xs(t) sin 2 n fct?(t) = xc(t) sin 2 n fct - xs(t) cos 2 n fct4 計算調(diào)制過程分量的相關(guān)函數(shù)和功率譜4.1 xc (t), Xs(t)的自相關(guān)函數(shù)和它們的自功率譜(1) xc (t) 的自相關(guān)函數(shù)Rxcxc(t1,t2) = Exc (t1) xc (t2 )= E“ti)cos2 n fcti + ?(ti)sin2n fcti?E(t2)cos2nfct? + ?(t2)sin2n fct?=R e

17、e (t1,t2) ?cos2 n fct1 ?cos2 n fct2+ R ? ?(t1,t2) ?sin 2 冗 fct1 ?sin 2 冗 fct2+ R E ?(t1,t2)?cos2n fct1 朗n 2n fct：+ R ? E (t1,t2)?sin2n fct1 ?cos2n fct2=R眼(ti,t2)?cos2n fc(ti - t2)-R?(ti,t2) ?sin2n fc(ti - t2)= Ree(T?cos2 n fc(T- R?(t) ?si n2n fc(T)Xs(t)的自相關(guān)函數(shù)Rxsxs (tl,t2)= EXs(ti)Xs(t2)= E?E(tJsi n2

18、nfcti- ?E(t2)sin 2 nfct2 -致t2)cos2 nfct2?=(t1,t2)?sin2 nfct1 ?sin2 nfct2 + R垐(t1,t2) ?cos2 nfct| ?sos2 n fct2-R三?(t|,t2)?sin2 nfct| ?sos2 nfct2-R? (t1,t2)?cos2nfct1 ?sin2nfct2§ti)cos2nfcti?=R眼(tj2)?cos2n fc(ti - t2)-R ?(ti,t2) ?sin 2 n fc(ti - t2)=R 眼(T?cos2 n fc(T- R?(r) ?si n2n fc(TRXcXc ( T

19、= RXsXs ( T= Ree(T?30s2n fc(T- Rw?(T?sin2n fc(TXc(t),Xs(t)的自功率譜Pxc(f) = P>.(f)E(T?cos2n fc( r) - Re?(TQ n2n fc( r)?e-j2n f Td T=舟戶 E (Te j2"fc)T + ej2n(f+fc)予T -才菲 E ?(rei2n(fT-ej2n(f+fc)申工=步 E ( f - fc) + P E (f + = 3【P E E ( f - fc) + Pe E (f +1-石jsgn(f - fc)P E E (ffc)-才 P E?fc)(f - fc)-巳

20、?(f + fc)-fc) - jsgn( f + fc)P( f + fc)Pxc(f)二 Pxs(f)二P狙 f- fc)+P 箕(f + fc)|f|< fdPxc(f) = Pxs(f)4.2 xc(t),xs(t)的互相關(guān)函數(shù)和它們的互功率譜(1) Xc (t),Xs (t)的互相關(guān)函數(shù)RxcXs (tl,t2) = EXc(tJXs(t2)= E“ti)cos2 nfct| + ?(tjsin2 n fct訂 ?E(t2)sin2n fct? - ?(t2) cos2 n 粗？=R(t1,t2) ?cos2n fct1 ?sin 2n fct2-R ? ?(t1,t2)?si

21、n2n fct1 ?cos2n fct2-R 三?(t1,t2) ?cos2 n fct1 ?cos2 n ft+ R ?匕(t1,t2)?sin2nfch ?sin2n fct2=-R ee (h,t2)?sin 2 冗 fc (t1 - t2)-R e ?(t1,t2) ?cos2 n fc (t1 - t2)=-R e e (T?sin2n fc(T - Re ?(r)?cos2n fc(T=RXcXs (T(2) Xs(t),Xc(t)的互相關(guān)函數(shù)RxsXc (卯2)= EXs(tXc(t2)=Egt1)sin 2 n fch - ?(tjcos2 n fctj?E(t2)cos2 n

22、fct2 + ?(t2)sin2n Q? =R e e (t1,t2)?sin2 n fct1 ?cos2n fct2-R e e (t1,t2)?cos2n fct1 ?sin2n fct2+ R e ?(t1,t2)?sin 2n fct1 ?sin2n fct2+ R e ?(t1,t2)?cos2n fct1 ?cos2nfct2=R応(h,t2)?sin2n 仁魚-t?)+ R?(ti,t2)?cos2n fc (ti - t?)=R蛙(T ?sin2 n fc (t) + R?(t)?cos2n fc(T=RXsXc(T=-RXcXs( T因此有，RXcXs ( T = - RXs

23、 兀(TXc(t),Xs (t)的互功率譜P"f) = PxsXc(f)=屆Xs(©?ej2n fTdT=-JR蛙(©?sin2n fc(© + Re?(T?cos2n fc()J" jd t-1 尺(T|e-j2n(f-fc)T - e"j2n(f+fc)T Jt-2 "©Ej2n(f-fc) t +ej2n(f+fc予=-fc)- PMf + fc)-2|P?(f- fc)+P,?(f + fc)1=-亓比(仁)-比(f+仁)1-j sgn(f - fc)P応(f - fc)- j sgn(f + fc)P応(

24、f + fc)?j?P(f- fc)- P(f+ fc)?， |f|< fd 二？.?0|f|> fd4.3 相關(guān)函數(shù)和功率譜密度進一步討論RxcXc (T = RxsXs ( Too=啟4)ej2 nf Tdf-ofd=Jp(f - fc) + PEE(f + fc)ej2nf Tdf- f dfd - fc=JP忍f- fc)ej2n(f-fc)Td(f - fc)?ej2- fd - fcj2nfcTfd+ fc+JP款(f+ fc)ej2n(f+fc) Td(f+ fJQ- f + fdcfd+fc巳打-f )e j2nf Td(- f )空j2"fcTfd+fc

25、+JPy(f )ej2nf Tdf)?e-j2nfcT- fd + fcfd+fc=JR”f)e j2nf-fc)Tdf- fd + fcfd+fc+JP(f)ej2%(f'fc)Tdf- fd + fcfd+f=2JPe 心)？cos2冗(f - fc)r?df- fd + fc=2 Jy(f)cos2 n (f - fc)T df0RxcXs ( T = - RxsXs ( Too=啟 xs(f)ej2 nf Tdf-oofd=j JP淞(f- fc) - P阮(f+ fc)F2nf Tdf -fdfd - fc=j J(f - fc)ej2n(f-fc)Td(f - fc)?ej-fd- fcfd+fc-j P箕(f + fc)ej2nf+fc)T-fd + fc-fd+fcc=j尸期-f')e j2nf Tfd+ fcfd+fc-j P襄(f )ej2八df '?e-j2nfc T-fd + fcj2 nfc td(f + fc)?e"j2n fc Td(- f)右2叭Tfd +f=j-fd+fd + f=2fd+oo=2 戶")sin2n(f- fJTdfP(f )e-j2n(f- fc)rdf - jfd + fcP鼻 f)ej2”(f-fc)d-fd+fcCcE(f)?sin2(f- fC)Tdf總結(jié)以上的結(jié)