2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習必備精品：空間向量及應(yīng)用(精)

1、七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載20092010 學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A 版）第一輪復(fù)習資料第36講空間向量及其應(yīng)用一. 【課標要求】（1）空間向量及其運算1經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；2了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分 解及其坐標表示；3掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；4掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應(yīng)用1理解直線的方向向量與平面的法向量；2能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；3能用向量方

2、法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；4能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何 問題中的作用二. 【命題走向】本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離預(yù)測 2010 年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教 材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度三. 【要點精講】1空間向

3、量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置， 仍與原來的向量相 等，用同向且等長的有向線段表示； 平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移， 而空間向量 研究的是空間的平移。2.向量運算和運算率OS= a+bBA = oA -OB = a -b06 =丸O(丸R)加法交換率：a +b =b + a.加法結(jié)合率：(a +b) +c = a +(b +c).七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)

4、資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載數(shù)乘分配率：九(a + b)=陽+入b.七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立3平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合， 則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于 b 記作a/ b。注意：當我們說a、b 共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平 行直線；當我們說a、b平行時，也具有同樣的意義。共線向量定

5、理：對空間任意兩個向量a（a 0）、b,a/ b 的充要條件是存在實數(shù)h使 b = a注：上述定理包含兩個方面： 性質(zhì)定理：若a/ b （a工0,則有 b= ka,其中h是唯一確定的實數(shù)。判斷定理：若存在唯一實數(shù) 九，使 b = &a（a工0,則有a/ b （若 用此結(jié)論判斷a、b 所在直線平行，還需a（或 b ）上有一點不在 b （或a）上）。對于確定的，和a, b = a 表示空間與a平行或共線，長度為 a|,當 o 時 與a同向，當 0 時與a反向的所有向量若直線 I /a,A 丨,P 為 I 上任一點，O 為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)OP的表達式。推論：如果 I 為經(jīng)過

6、已知點 A 且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點 O,點 P 在直線 I上的充要條件是存在實數(shù) t，滿足等式OP = OAta其中向量a叫做直線 I 的方向向量或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB 的中點公式。注意：表示式（* ）、（* ）既是表示式，的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示 形式；推論的用途：解決三點共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在直線與平面 、丄平行或a在用平面 內(nèi)，我們就說向量a平行于平面：，記作a/ ：。注意：向量a/ ：與直線 a/ ：的聯(lián)系與 區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理

7、 如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b 共面的充要條件是存在實數(shù)對 x、y,使p = xa yb.注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。推論：空間一點 P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 x、y，使MP = xMA yMB,或?qū)臻g任一定點 O,有OP =0M xMA yMB.在平面 MAB 內(nèi)，點 P 對應(yīng)的實數(shù)對（x, y）是唯一的。式叫做平面 MAB 的向量表示在 I 上取AB = a，則式可化為OP=(1-t)OA tOB.當t二1時，點 P 是線段 AB 的中點，則2- 1LOP (OA OB ).七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七

8、彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載aO(2 )aa說明：規(guī)定0 y、z：=R，這個集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我們把a, b,c叫做空間的一個基底，a, b ,c都叫做基向量；空間任意三個不 共面向量都可以作為空間向量的一個基底；一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于0 可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是0。推論：設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點，則對空間任一點 P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使OP = xOA yOB zOC.6數(shù)量積（1）夾

9、角：已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點則角/ AOB 叫做向量a與 b 的夾角，記作 a, b說明：由上述定理知，如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的O,作 OA = a , OB = b ,Aba合,a(4)七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載從而有-OA, OB=OA,-OB=二-OA,OB.(2)向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。a b cos a,b叫做向量a、b 的數(shù)量積，記作a b。即a b=a b cos a, b，向量AB 在 e 方向上的正射影a e AB |cos

10、 a,e二A B(4)性質(zhì)與運算率(a) b =?；.(a b) a b = b a a (b c) = a b a c四【典例解析】題型 1 空間向量的概念及性質(zhì)例仁有以下命題：如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么a,b的關(guān)系是不共線；O,A,B,C為空間四點，且向量OAOBOC不構(gòu)成空間的一個基底，那 么點O,代B, C一定共面；已知向量a, b,c是空間的一個基底，則向量a b, a-b,c，也 是空間的一個(3)向量的數(shù)量積:a e =cos a,e。a_L b：= a b =0|a | = a a.七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中

11、、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載基底。其中正確的命題是()(A)(B)(C)(D)解析：對于如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么a, b的關(guān)系一定共線”；所以錯誤。正確。點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系例 2.下列命題正確的是()(A)若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；(B)向量a,b, c共面就是它們所在的直線共面；(C)零向量沒有確定的方向；(D)若a/b，則存在唯一的實數(shù) ，使得a二 b；解析：A 中向量b為零向量時要注意，B 中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一 樣，D 中

12、需保證b不為零向量答案 C。七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載點評：零向量是一個特殊的向量， 時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧 題型 2:空間向量的基本運算例 3如圖：在平行六面體ABCD _ABJGDJ中,M為AG與B1D1的交點。若AB = a,AD二b,AA1= c，則下列向量中與BM相等的向量是()(D)1ab c2 2BM =BBB1M J(AD - AB) AA12答案為 A。點評：類比平面向量表達平面位置關(guān)系過程， 掌握好空間向量的用途。 用向量的方法處 理

13、立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化， 本題考查的是基本的向量相等， 與向量的 加法考查學(xué)生的空間想象能力例 4.已知：a = 3m - 2n - 4p = 0,b二(x 1)m 8n 2yp,且m,n, p不共面.若a/b,求x, y的值.解：a/b,且a屮0,. b = a,即(x 1)m 8n 2yp = 3m 2 - n - 4 p.一一-x亠182 y又m,n,p不共面，.x = -13, y = 8.3- 2- 4點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。題型 3:空間向量的坐標例 5. (1)已知兩個非零向量a= (a1, a2, a3),b= ( b1, b2

14、, b3),它們平行的充要條 件是()rfe- wfA.a: |a|=b: |b|B.a1 S=a2 b2=a3 b3FFC.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數(shù) k,使a=kb(2)已知向量a= ( 2, 4, x) ,b= (2, y, 2),若|a|=6,a丄b,則 x+y 的值是()A. - 3 或 1B.3 或1C. - 3D.1(3)下列各組向量共面的是( )A.a=(1,2 ,3),b：=(3, 0 , 2),c：=(4,2 ,5)B.a=(1 ,0 , 0),b：=(0,1 ,0),c=(0,0 ,1)C.a=(1 ,1, 0),b：=(1, 0, 1),c=(0,

15、1, 1)(B)2a解析：C1七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載D.*a=(1,1, 1),b=(1,1, 0),*=(1, 0 ,1)七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載解析：（1） D ;點撥：由共線向量定線易知;4+16+x2=36x = 4,x = 4,(2) A點撥: 由題知總+幼+“二0二“或P =1.;(3) A點撥: 由共面向量基本定理可得點評:空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況例 6.已知空間三點 A (-

16、 2, 0, 2), B (- 1 ,1,2), C ( 3, 0, 4)。設(shè)a=AB,b= AC ,(1)求a和b的夾角 v；(2)若向量 ka+b與 ka 2b互相垂直，求 k 的值.思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要 求的結(jié)果.解： A( 2, 0, 2), B ( 1 , 1, 2), C( 3 , 0 , 4) ,=AB,b=AC,a=(1,1,0),b= (一1,0,2).1+0+0710(1) cos 寸=a. b =、2,5- 10,|a|b| a 和 b 的夾角為一10。(2) / ka+b=k (1 , 1 , 0) + ( 1, 0

17、 , 2) = ( k 1, k , 2),ka 2b= (k+2 , k, 4),且(ka+b)( ka 2b),( k 1 , k , 2) (k+2, k, 4) =(k 1)(k+2)+k2 8=2k2+k 10=0。5則 k= 2 或 k=2。點撥：第(2)問在解答時也可以按運算律做。(a+b) (ka 2b)=k2a2 kab5* _2b2=2k2+k 10=0 ,解得 k= 2 ,或 k=2。題型 4:數(shù)量積例 72009 江西卷文)如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，貝恠下列命題中， 錯誤的為A.AC _ BD B.AC/截面PQMNC.AC =BDD.異面直線PM

18、與BD所成的角為45答案：C【解析】由PQ/AC,QM/BD,PQ丄QM可得AC丄BD,故A正確；由PQ/AC可得AC/截面PQMN,故B正確;1七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確;七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源1七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載綜上C是錯誤的，故選C.點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律1 12222x1+y1=(x1+y1) -2x1y1=1 , 2x1y1=( 2 ) 1= 2 . /. X1y1=

19、 4 X1.6 24fJ.6-、2.6 -246 .2 y1 :4X1同理可得.6 24y2 :X2U6 72X2 =-_46-2y2 -4X1 a劊,X2寸6 +V2=y2：4 6 -；24二y1二-V2X1 = y 2 :46+込X2二y1二4 cos=4.6 -i2414 = 2. 0 n = 3例 8 (1)設(shè)向量a與b的夾角為二，a =(3,3)，2b -a =(-1,1)，.解：設(shè)向量a與b的夾角為二 且a =(3,3),2b-a =(-1,1) b=(1,2),cos斗 同b3壓3、.2 ,510(2)設(shè)空間兩個不同的單位向量a=(x1, y1, 0),b=(x2, y2, 0)

20、與向量c=(1, 1,1)的夾角都等于 4 (1) 求 X 什 y1和 X1y1的值；求的大小(其中 OV n解析(2)2 2 2解：(1)TIa|=|b1=1，二 x1+y1=1 x1 22=y2=1.、又6a與c的夾角為 4 ,ac=|a|c|cos 4 = 2121212= 2 .又aC=x1+y1,x1+y1= 2 另外- a b(2)cos=-=X1X2+y1y2,|a|b|由(1)知，X 計 y1= 2 ,丄X1y1= 4 . X1, y1是方程x2七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源1七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載七彩教育網(wǎng) 免費提供 Wo

21、rd 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載評述：本題考查向量數(shù)量積的運算法則題型 5:空間向量的應(yīng)用例 9. (1)已知 a、b、c 為正數(shù)，且 a+b+c=1 ,求證： 13a 1 + , 13b 1+ . 13c 1 ab的應(yīng)用，解題 時要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量a,b，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進行運算。空間向量的數(shù)量積對 應(yīng)做功問題例 10如圖，直三棱柱ABC-ABIG中，BG _ ABBG _ A,C,求證：AB,= AQ.證明：；AC=AQ VQ,BC BC CC1, A1C BC1二(A1C1C1C) (BC CCJ = A1C1BC - CQ2二0,

22、 GC2= A1C1BC.同理AB1= AB BB1,BC BB1BQ,AB1BCAB BC CC；=0( BB1CCJ. AB BC A1C1B0,又AG二AC, BC (AB AC) =0.設(shè)D為BC中點，則AB AC=2AD.2BC AD=0,. BC _ AD,AB = AC,又A A = B1B,AC = AB1.點評：從上述例子可以看出，利用空間向量來解決位置關(guān)系問題，要用到空間多邊形法 則，向量的運算，數(shù)量積以及平行，相等和垂直的條件1.過厶ABC的重心任作一直線分別交AB AC于點D E.若AD =xAB,AE =yAC,1 1xy丄0，貝 U的值為()x y(A) 4( B)

23、 3( C) 2( D) 1七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載1 1解析：取厶 ABC 為正三角形易得:：-=3 .選 B.x y評析：本題考查向量的有關(guān)知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問題的能力.2如圖，設(shè) P、Q ABC 內(nèi)的兩點,A . 2B .- 3C.- 2D.3- - ”- - - 1 = &ABD =CD CB2q，又 A、B、D 三點共線，則AB=AD即丿廠k = -2& k = 2，故選 A .【總結(jié)點評】本題主要考查共線向量的定義和平面

24、向量基本定理的運用.要求我們熟記公式，掌握常見變形技巧與方法J-J1.3已知平面向量a=(3, -1),b=(,).2 2(1 )求a b；- b-*由(2)設(shè)c = a +(x 3)b,d = ya + xb(其中x式0)，若c丄d，試求函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = f(x)并解不等式f (x)7. (1)a b=0;(2)由c - d得，4y x(x -3) =0,1所以y二一x(x -3)；-2一一. _AQ=2AB31A.-+ -AC，則 ABP-C.的面積與厶 ABQ 的面積之比為1D.3如下圖，設(shè)AM AB,5- - -1ANAC，貝V AP = AM AN.5由平行四邊形法則，知A ABPN

25、P / AB，所以- - 二占ABCANAC同理可得二AB21ABC -ABPABQ4-，選 B.53.e1, e2是平面 * -線兩向量-b-出AB =e ke2, CB =2e+僉，CD =3ei-僉,若A, B, D三點共線，則k的值是,已七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載12x(x-3)7變形得：x -3x-280，解得x - 7或x -4.-七彩教育網(wǎng) 免費提供 Word 版教學(xué)資源七彩教育網(wǎng) 全國最新初中、高中試卷、課件、教案等教學(xué)資源免費下載5.已知 a=(COSt,si no), b=(cosP,si n0

26、), a 與 b 之間有關(guān)系式 |ka+ b|=d3a-kb|.其中 k 0.(1)用 k 表示 a、b;五.【思維總結(jié)】本講內(nèi)容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示， 空間向量的坐標運算， 平行向量，垂直向量坐標之間的關(guān)系以及中點公式.空間直角坐標系是選取空間任意一點O 和一個單位正交基底 i，j，k建立坐標系，對于 O 點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點 的坐標，直線的坐標表示簡化， 要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則一個向量在不同空間的表達方式不一樣，(2)求 a b 的最小值，并求此時,a 與 b 的夾角 r 的大小.由已知| a |=| b | =1.| ka b|=| a|ka