剛體角動(dòng)量守恒

1、例、設(shè)有一均勻圓盤，質(zhì)量為例、設(shè)有一均勻圓盤，質(zhì)量為m m，半徑為，半徑為R R，可繞過盤心，可繞過盤心的光滑豎直軸在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與桌面間的滑動(dòng)摩的光滑豎直軸在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為 。若用外力推動(dòng)，使其具有角速試為。若用外力推動(dòng)，使其具有角速試為 0 0，撤，撤去外力，求：去外力，求：此圓盤還能轉(zhuǎn)動(dòng)多少時(shí)間？此圓盤還能轉(zhuǎn)動(dòng)多少時(shí)間？rdrZ+解：規(guī)定軸的正向解：規(guī)定軸的正向Zdf分割成許多細(xì)圓環(huán)分割成許多細(xì)圓環(huán)rdrdsdm2drrggrdmdM22gRmMgRm32JM221/32mRgRmdrrgMR202Rg34t0/0tgR430M四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

2、四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則應(yīng)無限分割niiinrmJ12limMdmr2注意注意：dm為質(zhì)元質(zhì)量，為質(zhì)元質(zhì)量，r為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。的垂直距離。imri例例2 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m,長為長為L的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：慣量：轉(zhuǎn)軸通過棒的中心轉(zhuǎn)軸通過棒的中心o并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端轉(zhuǎn)軸通過棒的一端B并與棒垂直并與棒垂直O(jiān)BXdxxdm解解:以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX,將棒分割將棒分割 成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dmdxdmLm/（線密度）（線密度）dmrJo22312

3、112mLLdmx22022LdxxdrrdmrJLB02223313mLLBr例例3 半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量為的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量為m，試，試求通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。求通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。R解：細(xì)圓環(huán)解：細(xì)圓環(huán)dldmRJ22mR解解:薄圓盤薄圓盤rdrds2drrdmrdJ322rdrdsdm2R例例4 半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的薄圓盤，質(zhì)量為的質(zhì)量均勻分布的薄圓盤，質(zhì)量為m，試求通過盤心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量試求通過盤心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2Rm面密度面密度drrdJJRm302424R221mRRrdrm

4、討論：決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素因素OB3）：）：剛體轉(zhuǎn)軸的位置。剛體轉(zhuǎn)軸的位置。 （如例（如例1中長細(xì)棒對(duì)不中長細(xì)棒對(duì)不 同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）1）：剛體的質(zhì)量；）：剛體的質(zhì)量；2）：）：剛體的質(zhì)量分布；剛體的質(zhì)量分布； （如例（如例2中的圓中的圓 環(huán)環(huán) 與圓盤的不同）；與圓盤的不同）；竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？一）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式一）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式3-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒Theorem of Angu

5、lar Momentum. Law of Conservation of Angular Momentum1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量OirimiviiiiiiirmrmL)(2vJL ) 1 (JddtMZ設(shè)設(shè) 時(shí)間內(nèi)，剛體角時(shí)間內(nèi)，剛體角速度由速度由21tt 21（1）式兩邊積分：）式兩邊積分：)2(1221JJtdMttZ （2）式稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量定理積分形式式稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量定理積分形式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)軸的角動(dòng)量的增量等于對(duì)同一轉(zhuǎn)軸合力定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)軸的角動(dòng)量的增量等于對(duì)同一轉(zhuǎn)軸合力矩的沖量矩的沖量dtdJJMZ2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分

6、形式二）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒二）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒若：若：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定理：若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩恒為零，則剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變。恒為零，則剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變。) 0(ZMcJ0zM21JJ則則:1 1）角動(dòng)量守恒定理不僅對(duì)剛體成立而且對(duì)非剛）角動(dòng)量守恒定理不僅對(duì)剛體成立而且對(duì)非剛體也成立。體也成立。一般有三種情況：一般有三種情況：A A：J J不變，不變， 也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。B B：J J發(fā)生變化，但發(fā)生變化，但J J 不變，則不變，則 要發(fā)生改要發(fā)生改變。變。FFC

7、 C：開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。D:D:實(shí)際中的一些現(xiàn)象實(shí)際中的一些現(xiàn)象、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作芭蕾舞演員的高難動(dòng)作藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合四四季季 星云具有盤形結(jié)構(gòu)：星云具有盤形結(jié)構(gòu)： pc 秒差距，秒差距，1pc = 3.086 1016m旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的星星云云時(shí)間間隔時(shí)間間隔 ：1s脈沖星的精確周期性信號(hào)脈沖星的精確周期性信號(hào)周期約周期約1.19 s 脈沖星脈沖星星體不被慣性離心力甩散，必須滿足條件：星體不被慣性離心力甩散，必須滿足條件：)34(3

8、22 RMRRGM , G 432 如此推算，脈沖星的如此推算，脈沖星的 超過了白矮星密度。超過了白矮星密度。這說明，脈沖星是高速旋轉(zhuǎn)的中子星。這說明，脈沖星是高速旋轉(zhuǎn)的中子星。 被被 中中 香香 爐爐滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)貓的下落（貓的下落（A）貓的下落（貓的下落（B）例例）質(zhì)量為）質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)邊緣奔跑一周邊緣奔跑一周，求對(duì)，求對(duì)地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)

9、了多少角度？已知已知：0,RmM求求：臺(tái)人,解解：以：以M。m為研究對(duì)象為研究對(duì)象 0外力矩M故角動(dòng)量守恒故角動(dòng)量守恒以地面為參照，建立軸以地面為參照，建立軸的正方向如圖：的正方向如圖：+MXm) 1 (0臺(tái)臺(tái)人人JJ02122臺(tái)人MRmR)2(2臺(tái)人mMttdtmMdt002臺(tái)人因人和臺(tái)原來都靜止故因人和臺(tái)原來都靜止故角動(dòng)量角動(dòng)量臺(tái)人,（2）式）式dt積分：積分：+MXm若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為人臺(tái)ttdtmMdt002臺(tái)人) 3(2臺(tái)人mM)4(2 臺(tái)人mMm4臺(tái)mMM2人+MX人臺(tái)mAAm人臺(tái)子彈射入之前子彈射入之前子彈射入之后子彈射入之后MmvMM+mgNOM+

10、NOmg已知已知：vmlM,求求：?解解：例題例題2 2）一木桿長）一木桿長 可繞光滑端軸可繞光滑端軸O O旋轉(zhuǎn)。設(shè)旋轉(zhuǎn)。設(shè)這時(shí)有一質(zhì)量為這時(shí)有一質(zhì)量為m m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入桿射入桿端并箝端并箝 入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角速度。入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角速度。vl射入前后的過程射入前后的過程角角 動(dòng)動(dòng) 量量 守守 恒！恒！在此過程中在此過程中N和和mg的力矩的沖量矩可視為零的力矩的沖量矩可視為零m1ZL2ZL動(dòng)量動(dòng)量是否是否守恒守恒mlvL 1)31(222mlMlJL系統(tǒng)在子彈射入之后的角動(dòng)量系統(tǒng)在子彈射入之后的角動(dòng)量：系統(tǒng)在子彈射入之前的角動(dòng)量系統(tǒng)在子彈射入之前的角動(dòng)量：) 1

11、()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角動(dòng)量守恒定理：依角動(dòng)量守恒定理：子彈射入之前子彈射入之前mvMM+O1ZL以以M、m為研究對(duì)象，建立軸的正方向。為研究對(duì)象，建立軸的正方向。子彈射入之后子彈射入之后O2ZL22)(31lmMJL 例例3 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿,可繞過其中心可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)位置時(shí), 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿

12、的質(zhì)量均為設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲應(yīng)以多大速率小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒l0712 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考慮到考慮到t旋進(jìn)：旋進(jìn)： 旋進(jìn)旋進(jìn)（進(jìn)動(dòng)，（進(jìn)動(dòng)，precession）如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng)：如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng)：軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。

13、高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩：回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩： 輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。左轉(zhuǎn)左轉(zhuǎn)dLMM dt =dL附加力附加力附加力附加力軸承軸承 附加力可能附加力可能造成軸承的損造成軸承的損壞，附加力矩壞，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左轉(zhuǎn)彎的力矩左轉(zhuǎn)彎的力矩 三輪車拐彎時(shí)易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。三輪車拐彎時(shí)易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。L 地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，歲差地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，歲差 隨著地球自轉(zhuǎn)軸隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，北天極方的旋進(jìn)，北天極方向不斷改變。向不斷改變。北極星

14、北極星3000年前年前 小熊座小熊座 現(xiàn)在現(xiàn)在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （織女）（織女）T = 25800年年 C1C2F1F2太陽太陽赤道平面赤道平面黃道平面黃道平面7223o 地球地球北北天天極極地軸地軸L地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量（F1F2 ） M地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)地軸地軸旋進(jìn)旋進(jìn)旋進(jìn)周期旋進(jìn)周期25800年年 秋分點(diǎn)秋分點(diǎn)春分點(diǎn)春分點(diǎn)西西分點(diǎn)每年在黃分點(diǎn)每年在黃道上道上西移西移50.2 太陽年（回歸年）：太陽年（回歸年）：太陽由春分太陽由春分秋分秋分春分春分恒星年（時(shí)間長）：恒星年（時(shí)間長）： 地球繞太陽一周的時(shí)間地球繞太陽一周的時(shí)間歲差歲差（precession）歲差歲差 = 恒星年恒星年 太陽年太陽年 = 20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球