工程力學第四講

1、第第6 6章章 拉壓桿的應力變形分析與強度設(shè)計拉壓桿的應力變形分析與強度設(shè)計第第1節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮桿件的應力與變形拉伸與壓縮桿件的應力與變形第第2節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮桿件的強度設(shè)計拉伸與壓縮桿件的強度設(shè)計第第3節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮時材料的力學性能拉伸與壓縮時材料的力學性能第第4節(jié)節(jié) 結(jié)論與討論結(jié)論與討論下一頁上一頁返回mmFP2FP1mmFP2FP1K點F微內(nèi)力A微面積第第1 1節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮桿件的應力與變形拉伸與壓縮桿件的應力與變形一、應力一、應力p)0(AAFp應力應力 設(shè)在受力構(gòu)件的mm截面上，圍繞K點取微面積A，并設(shè)作用在該面積上的微內(nèi)力F，當微面積趨于無窮小時，則F與A的比值趨于一個極限值

2、，這個極限值稱為截面上一點的應力應力。應力實際上是內(nèi)力在截面上某一點處的集度，用p表示，即KAFAFpAddlim0下一頁上一頁返回 內(nèi)力是構(gòu)件內(nèi)部某截面上相連兩部分之間的相互作用力，是該截面上連續(xù)分布內(nèi)力的合成結(jié)果，構(gòu)件的失效或破壞，不僅與截面上的總內(nèi)力有關(guān)，而且與截面上內(nèi)力分布的密集程度有關(guān)。截面上內(nèi)力分布的密集程度簡稱集度集度。mmFP2FP1mmFP2FP1K點F微內(nèi)力A微面積一、應力一、應力p應力應力K 應力的單位為Pa（帕），1Pa=1N/m2。兆帕（MPa）和吉帕（GPa），其關(guān)系為1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。 應力p的方向即F的方向。通常將應力分解成垂直于截面的

3、法向分量和與截面平行的切向分量。稱為K點處的正應力正應力，稱為K點處的切應力切應力。 正應力正應力切應力切應力下一頁上一頁返回二、應變二、應變 相鄰棱邊的夾角一般也發(fā)生變化。微體相鄰邊所夾直角的改變量，稱為切應變切應變，并用表示。稱為K點沿x軸方向的正應變正應變，也稱線應變線應變，簡稱應變應變，并用表示。 圍繞構(gòu)件內(nèi)K點取一微小的正六面體，設(shè)其沿x軸方向的棱邊長為x，變形后邊長為x+u，u稱為x的線變形線變形。比值xu 正應變和切應變是度量構(gòu)件內(nèi)一點變形程度的兩個基本量，它們都是無量綱的量。的單位通常使用的是rad（弧度）。xyz xu 下一頁上一頁返回三、胡克定律三、胡克定律 =E （5-1

4、） 實驗表明，當正應力小于一定數(shù)值時，即在線彈性范圍內(nèi)加當正應力小于一定數(shù)值時，即在線彈性范圍內(nèi)加載時，正應力載時，正應力 與其相應的正應變與其相應的正應變 成正比成正比。引入比例常數(shù)E，則可得。對于確定的材料，應力與應變之間存在一定的關(guān)系。 上式稱為胡克定律胡克定律。式中的比例系數(shù)E稱為彈性模量彈性模量。它是材料的力學性質(zhì)之一，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標，對同一材料，彈性模量E為常數(shù)。E的數(shù)值隨材料而異，由試驗測定。彈性模量E的單位與應力的單位相同。ux下一頁上一頁返回三、胡克定律三、胡克定律 =E （5-1） 上式稱為剪切胡克定律剪切胡克定律。式中的比例系數(shù)G稱為切變模量切變模量

5、。它是材料的又一力學性質(zhì)。對同一材料，切變模量G為常數(shù)。G的單位與應力的單位相同。 胡克定律是工程力學中非常重要的基本原理，它揭示了力和變形的內(nèi)在對應關(guān)系。在工程中通常先測量到是構(gòu)件的變形及應變，再由胡克定律計算出構(gòu)件的應力的大小和分布等情況。實驗還表明， 當切應力當切應力 在一定范圍內(nèi)，在一定范圍內(nèi)，切應力切應力 與其相應的切應變與其相應的切應變 成正比成正比。 =G （5-2） 下一頁上一頁返回 受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，如圖，且與截面上是否存在正應力無關(guān)，即 = （5-3）四、切應力互等定理四、切應力互等定

6、理 下一頁上一頁返回第第2 2節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮桿件的強度設(shè)計拉伸與壓縮桿件的強度設(shè)計一、極限應力和安全儲備一、極限應力和安全儲備 通過實驗我們知道，一承受簡單拉伸和壓縮的桿件。在截面上的應力到達某一數(shù)值時就會發(fā)生斷裂和過大的變形，這在工程上是不容許的。為了保證桿件的安全性，適用性，耐久性。必須控制最大的應力，使其小于等于某個容許值。 實驗結(jié)果表明，如果應力達到材料的強度極限，構(gòu)件就會破壞或稱強度失效；而到達屈服點，就會產(chǎn)生較大的塑性變形；為了保證結(jié)構(gòu)的安全和耐久，結(jié)構(gòu)中的實際應力必須低于這些應力值和s。但在結(jié)構(gòu)的設(shè)計中有很多的因素是難以估計的。比如： 下一頁上一頁返回 （1）在荷載方面，對處于

7、復雜應力狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，我們無法全部的進行精確的計算； （2）在制造工藝方面，難以確保同一種材料具有完全相同的性質(zhì)； （3）在內(nèi)力計算方面，土木工程力學的理論是建筑在一系列的基本假定之上的，與實際的結(jié)果很難精確的完全的一致，等等。 所以，在-圖中的特性點是不能直接作為最大應力的界限值。工程中，稱材料到達危險狀態(tài)時的應力值為極限應力極限應力，記作0。 為了保證構(gòu)件的正常使用，即各構(gòu)件不發(fā)生斷裂以及不產(chǎn)生過大的變形，就要求工作應力要小于極限應力0。 下一頁上一頁返回 通過材料的力學試驗,我們已經(jīng)知道脆性材料沒有屈服階段，并且從加載到破壞變形很小，因此可用強度極限b作為極限應力0，即 0 =b 。 而塑

8、性材料在其屈服階段將產(chǎn)生較大的塑性變形，為了保證構(gòu)件的正常使用，應取它的屈服點s 作為材料的極限應力0，亦即0 =s 。 對于屈服階段不十分明確而塑性變形又較大的材料，我們?nèi)∶x屈服應力名義屈服應力0.2 作為材料的極限應力0。名義屈服應力是指材料產(chǎn)生0.2的塑性變形所對應的應力值。下一頁上一頁返回 為了保證安全，我們給材料以必要的強度儲備，將0 除以一個大于1的安全因數(shù)n，得到材料的許用許用應力應力，即 =0/n （n1）對于脆性材料 0 =b 對于塑性材料 0 = s 或 0 = 0.2 在常溫靜載下，塑性材料的安全因數(shù)一般取1.41.8，脆性材料的安全因數(shù)取23 下一頁上一頁返回二、二、

9、強度條件強度條件 為了保證構(gòu)件正常、安全使用，必須使工作應力滿足下列不等式，即： （5-7） 該不等式稱為構(gòu)件的強度條件強度條件。式中，是工作應力，是許用應力。在該強度條件下，可進行以下三方面的計算： 1）強度校核 即。 2）進行截面設(shè)計。在滿足以上的強度條件下進行截面的設(shè)計。由于桿的受力不同則應力的計算公式不相同：詳細計算將在本 章后面各節(jié)討論。即給出其計算公式。 3）進行荷載設(shè)計。在滿足以上的強度條件下進行荷載的設(shè)計。 下一頁上一頁返回一、低碳鋼在拉伸時的力學性能一、低碳鋼在拉伸時的力學性能 為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，必須將試驗材料按照國家標推制成。中部工作段的直徑為d0，工作段的長

10、度為l0(稱為標距)，且l0=10d0或l0=5d0的標準試樣標準試樣。.l0d00PAF0ll（5-5）（5-6）第第3 3節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮時材料的力學性能拉伸與壓縮時材料的力學性能下一頁上一頁返回 工程中使用的材料種類很多，通常根據(jù)試件在拉斷時塑性變形的大小而分為塑性材料和脆性材料兩類。塑性材料拉斷時具有較大的塑性變形，如低碳鋼、合金鋼、銅等；脆性材料拉斷時塑性變形很小，如鑄鐵、混凝土、石料等。這兩類材料的力學性能具有顯著的差異。低碳鋼是典型的塑性材料，而鑄鐵是典型的脆性材料，因此它們的試驗及其所反映出的力學性能對這兩類材料具有代表性。第第3 3節(jié)節(jié) 拉伸與壓縮時材料的力學性能拉伸與壓縮時

11、材料的力學性能下一頁上一頁返回一、低碳鋼在拉伸時的力學性能一、低碳鋼在拉伸時的力學性能 為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，必須將試驗材料按照國家標推制成。 對圓形截面，中部工作段的直徑為d0，工作段的長度為l0(稱為標距)，且l0=10d0或l0=5d0。對矩形截面，中部工作段的截面面積A，且 或 的標準試樣標準試樣。.l0d0003 .11Al 0065. 5Al .l0A0下一頁上一頁返回1. 拉伸圖與應力應變圖拉伸圖與應力應變圖 將低碳鋼的標準試件夾在萬能試驗機上，開動試驗機后，試件受到由零開始緩慢增加的拉力F作用，同時試件逐漸伸長，直至拉斷為止。以拉力F為縱坐標，以縱向伸長量l為橫坐標，

12、將F和l的關(guān)系按一定的比例繪制的曲線，稱為拉伸圖（或F-l圖）。一般試驗機上都有自動繪圖裝置，試件拉伸過程中能自動繪出拉伸圖。 為了消除試件尺寸的影響，反映材料本身的性質(zhì)，將縱坐標除以試件橫截面的原始面積A，得到應力；將橫坐標l除以原標距l(xiāng)0，得到線應變，這樣繪制的曲線稱為應力-應變圖（-圖）。 下一頁上一頁返回2. 拉伸過程的四個階段拉伸過程的四個階段 1）彈性階段彈性階段P 比例極限比例極限2）屈服階段屈服階段s 屈服極限屈服極限 是衡量材料強度是衡量材料強度的重要指標的重要指標3）強化階段階段b 強度極限強度極限 4）頸縮破壞階段頸縮破壞階段P esbe 彈性極限彈性極限下一頁上一頁返回

13、2.拉伸過程的四個階段拉伸過程的四個階段 低碳鋼的應力應變圖反映出試驗過程可分為四個階段，各階段有其不同的力學性能指標。 （1）彈性階段）彈性階段：在試件的應力不超過 b點所對應的應力時，材料的變形全部是彈性的，即緩慢卸除荷載時，試件的變形將全部消失。彈性階段最高點b相對應的應力值e稱為材料的彈彈性極限性極限。 在彈性階段內(nèi)，初始Oa一段是直線，它表明應力與應變成正比，材料服從虎克定律。過a點后，應力應變圖開始微彎，表示應力與應變不再成正比。應力與應變成正比關(guān)系的最高點a所對應的應力值p稱為材料的比例極限比例極限。建筑中最常用的Q235鋼，比例極限約為200MPa。tanE（5-4）下一頁上一

14、頁返回2.拉伸過程的四個階段拉伸過程的四個階段 （2）屈服階段）屈服階段：當應力超過b點所對應的應力后，應變增加很快，應力僅在很小范圍內(nèi)波動，在-圖上呈現(xiàn)出接近于水平的“鋸齒”形段。此階段應力基本不變.應變顯著增加，稱為屈服階段屈服階段（也稱流動階段）。屈服階段中的最低應力稱為屈服強度，用s表示。Q235鋼的屈服強度約為240MPa。 材料到達屈服階段時，如果試件表面光滑，則在試件表面上可以看到大約與試件軸線成的斜裂紋線，這種斜裂紋線稱為滑移線滑移線。這是由于在面上存在最大切應力，造成材料內(nèi)部晶粒之間相互滑移所致。下一頁上一頁返回2.拉伸過程的四個階段拉伸過程的四個階段 （3）強化階段）強化階

15、段 ：屈服階段以后，材料重新獲得抵抗變形的能力，體現(xiàn)在-圖中曲線開始向上凸，它表明若要試件繼續(xù)變形，必須增加應力，這一階段稱為強化階段。曲線最高點所對應的應力稱為強度極限，以b表示。Q235鋼的強度極限約為400MPa。下一頁上一頁返回2.拉伸過程的四個階段拉伸過程的四個階段 （4）頸縮階段）頸縮階段：當應力到達強度極限之后，在試件薄弱處將發(fā)生急劇的局部收縮，出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象。由于頸縮處截面面積迅速減小，試件繼續(xù)變形所需的拉力F也相應減少，用原始截面面積A算出的應力值也隨之下降，曲線出現(xiàn)了de段形狀。至e點試件被拉斷。 上述低碳鋼拉伸的四個階段中，有兩個有關(guān)強度性質(zhì)的指標，即屈服極限s和強度極

16、限b ， s是衡量材料強度的一個重要指標，當應力達到s時，桿件產(chǎn)生顯著的塑性變形，使得桿件無法正常使用；b是衡量材料強度的另一個重要指標，當應力達到b時，桿件出現(xiàn)頸縮并很快被拉斷。下一頁上一頁返回3. 塑性指標塑性指標 試樣拉斷后，由于彈性變形自動消失，只保留了塑性變形，試樣標距長度由原來的l0變?yōu)閘1。用百分比表示比值（5-5） 稱為伸長率伸長率。試樣的塑性變形(l1- l0)越大，也越大。因此，伸長率是衡量材料塑性的指標伸長率是衡量材料塑性的指標。 工程中將伸長率5%的材料稱為塑性材料塑性材料，如低碳鋼Q235的伸長率 20%30%，是典型的塑性材料。而把5%的材料稱為脆性材料脆性材料，如

17、鑄鐵的0.5%0.6%，屬于典型的脆性材料。%100001lll.l0d0下一頁上一頁返回3. 塑性指標塑性指標 （5-6） 原始橫截面面積為A0的試樣，拉斷后頸縮處的最小截面面積變?yōu)锳1，用百分比表示的比值稱為斷面收縮率斷面收縮率。低碳鋼Q235斷面收縮率的60%。也是衡也是衡量材料塑性的指標量材料塑性的指標。%100010AAA.l0d0下一頁上一頁返回 二、鑄鐵在拉伸時的力學性能二、鑄鐵在拉伸時的力學性能 灰鑄鐵拉伸時的-曲線。它沒有明顯的直線部分。在拉應力較低時就被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，拉斷前應變很小，延伸率也很小?；诣T鐵是典型的脆性材料。 鑄鐵拉斷時的應力為強度極限。因為沒有屈服

18、現(xiàn)象，強度極限b是衡量其強度的唯一指標。由于鑄鐵等脆性材料的抗拉強度很低，因此脆性材料的抗拉強度很低，因此不宜用于制作受拉構(gòu)件不宜用于制作受拉構(gòu)件。 /%O 0.15 0.30 0.45125100755025灰鑄鐵 -曲線 /MPa下一頁上一頁返回三、材料在壓縮時的力學性能三、材料在壓縮時的力學性能 金屬的壓縮試樣常制成短的圓柱，圓柱的高度約為直徑的1.53倍。 /%O 5 10 15 20 25500400300200100低碳鋼 -曲線 /MPapy拉伸壓縮FPFP 低碳鋼壓縮的-曲線。試驗表明，低碳鋼等塑性材料壓縮低碳鋼等塑性材料壓縮時的彈性模量時的彈性模量E和屈服應力和屈服應力s 都

19、與拉伸時基本相同都與拉伸時基本相同。屈服階段以后，試樣越壓越扁。下一頁上一頁返回FP三、材料在壓縮時的力學性能三、材料在壓縮時的力學性能 /%O 2 4 6 8 10 12600500400300200100灰鑄鐵 - 曲線 /MPa拉伸壓縮FP 鑄鐵壓縮時的-曲線類似于拉伸，但壓縮時的強度極限比拉伸時的要高45倍，斷口與軸線大約成4550角。其他脆性材料，如混凝土、石料等，壓縮強度極限也遠高于拉伸強度極限。因此，脆性材料宜用來制作承壓構(gòu)件脆性材料宜用來制作承壓構(gòu)件。下一頁上一頁返回一、軸向拉壓時橫截面上的應力一、軸向拉壓時橫截面上的應力 前面章節(jié)關(guān)于截面的內(nèi)力的討論可知，軸向拉壓時橫截面上的

20、內(nèi)力為軸力FN，下面討論截面上一點的應力。 下一頁上一頁返回第4 節(jié) 結(jié)論與討論橫截面上各點的伸長相同。 因無切向的變形，橫截面上只有法向應力；由于材料是均勻的，所以各點處的正應力大小相同，沿截面均勻分布。 1） 兩橫線變形后仍然是直線，說明截面在變形仍是平面且垂直于軸線，這個推斷稱為平面假設(shè)平面假設(shè)。 2） 假想桿件是由無數(shù)根平行于桿軸線的纖維所作成，變形后縱線和橫線的夾角不變，這就是說只有線應變而無角應變。軸向拉伸軸向壓縮FNAFNFN為橫截面上的軸力，A為橫截面面積拉應力為正，壓應力為負 FPFPFPFPFPFP（5-19） 下一頁上一頁返回 例例5-6 圖示三角托架，已知F=10kN，

21、夾角=30，桿AB為圓截面，其直徑d = 20mm，桿BC為正方形截面，其邊長a =100mm。試求各桿的應力。 解解 1)計算各桿軸力 Fy=0， -FNBCsin-10kN=0FNBC=-10kN/sin30=-20kN（壓）Fx=0， -FNAB-FNBCcos=0FNAB= -FNBCcos30=17.32kN（拉）FNBCFNABxyFBFABC2）求各桿應力值 MPa16.55)mm20(14. 34N1032.174/232NNdFAFABABABMPa2)mm100(N1020232NNaFAFBCBCBC下一頁上一頁返回二、軸向拉壓桿的強度計算二、軸向拉壓桿的強度計算 軸向拉

22、壓桿的強度條件為軸向拉壓桿的強度條件為: AFNmax(5-20) 1強度校核 AFN2確定截面尺寸 判斷工作應力是否在允許范圍內(nèi) NFA先確定滿足強度條件所需的截面積，再進而確定截面尺寸 (5-20a) 3確定允許荷載 AFmaxN(5-20b) 先確定強度條件所允許的最大內(nèi)力值，再根據(jù)外力與內(nèi)力的關(guān)系確定所允許的最大荷載值 下一頁上一頁返回 例例5-7 圖示變截面柱子，力F=100kN，柱段的截面積A1 =240mm240mm，柱段的截面積 A2 =240mm370mm ，許用應力= 4MPa，試校核該柱子的強度。解解 1)計算各段軸力 FN1= -F=-100kN （壓）；FN2 =-3F=-300kN （壓） 2）求各段應力 FFFMPa74. 1mm240mm240N10100311N1AF3)強度校核 MPa38. 3mm370mm240N10300322N2AF該柱子滿足強度條件 MPa4Mpa38. 32max下一頁上一頁返回 例例5-8 圖示桿件，中部打了一個直徑d =100mm的圓孔，已知：拉力F=100kN；截面寬b=200mm；許用應力= 1MPa，試確定截面高度h(不計應力集中影響)。 解解 由于1-1截面處打了一個孔，截面積減小，故危險截面是1-1截面，應按該截面進行計算。11FFd1-1bh截面內(nèi)力 FN = F = 100kN 截面積 A =