第六章 隨機變量的生成 系統(tǒng)建模與仿真課件

1、第六章第六章 隨機變量隨機變量的生成的生成 進行隨機仿真，必須要隨機抽樣，進行隨機仿真，必須要隨機抽樣，即產(chǎn)生服從一定分布的隨機變量。若給即產(chǎn)生服從一定分布的隨機變量。若給出隨機變量的分布函數(shù)出隨機變量的分布函數(shù)F(x),，則可用各，則可用各種方法生成服從該分布的隨機變量種方法生成服從該分布的隨機變量。 1、 逆變法逆變法 2、 函數(shù)變換法函數(shù)變換法 v一、原理一、原理v對任一嚴格單調(diào)增的分布函數(shù)對任一嚴格單調(diào)增的分布函數(shù)F(x)，其逆函數(shù)，其逆函數(shù)X=F-1(U)的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為v若若F(x)是是隨機變量隨機變量X的的嚴格單調(diào)的嚴格單調(diào)的分布函數(shù)，其逆函數(shù)分布函數(shù)，其逆函數(shù)U=F(X

2、)也是也是隨機變量，隨機變量，0F(X)1，故，故0U1，于是對任一于是對任一0u1有有 逆變法逆變法)()()(1xFxFUPxUFPxXPuuFFuFXPuXFPuUP)()()(11 通過求隨機變量的分布函數(shù)通過求隨機變量的分布函數(shù)F(x)的逆的逆函數(shù)，得到分布為函數(shù)，得到分布為F(x)的隨機數(shù)。由于通的隨機數(shù)。由于通過逆函數(shù)得到隨機數(shù)，故稱為逆變法過逆函數(shù)得到隨機數(shù)，故稱為逆變法。逆逆變法的步驟是：變法的步驟是： 生成隨機數(shù)；生成隨機數(shù)； 用逆函數(shù)產(chǎn)生隨機變量用逆函數(shù)產(chǎn)生隨機變量。二、二、均勻分布均勻分布 在區(qū)間在區(qū)間a,b上均勻分布上均勻分布U(a,b)，其概率密度函數(shù)，其概率密度函

3、數(shù)f(x)及分布函數(shù)及分布函數(shù)F(x)分別是：分別是： 則則其逆函數(shù)為其逆函數(shù)為其它, 0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF, 1, 0)(abaxxFu)(uabax)( v用隨機數(shù)發(fā)生器用隨機數(shù)發(fā)生器xi75xi-1 mod(231 -1)及及Excel的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機數(shù)，據(jù)此試生成區(qū)間的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機數(shù)，據(jù)此試生成區(qū)間3,5服從均勻分布的隨機變量，并比較兩種結果。服從均勻分布的隨機變量，并比較兩種結果。v解：隨機數(shù)發(fā)生器解：隨機數(shù)發(fā)生器xi75xi-1 mod(231 -1)，ui=xi/(231-1)和和Excel的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機數(shù)的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機

4、數(shù)ui；v由公式生成由公式生成3,5的隨機變量的隨機變量xi=3+(5-3)*ui，結，結果及隨機變量與隨機數(shù)的關系圖果及隨機變量與隨機數(shù)的關系圖如下如下。三、三、指數(shù)分布指數(shù)分布v指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為0,00,)(xxexfxv指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為令令uF-1(x)（u 為為0,1均勻分布的隨機數(shù)），即均勻分布的隨機數(shù)），即解此方程，有解此方程，有 0, 00,1)()(xxedfxFxx)0( ,1xeux)1ln(1uxv生成均值為生成均值為3的指數(shù)分布隨機變量。的指數(shù)分布隨機變量。v解：利用解：利用Excel的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)

5、生的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生 0,1區(qū)區(qū)間的隨機數(shù)間的隨機數(shù)u，由逆變法公式，由逆變法公式v v得指數(shù)分布隨機變量，計算結果得指數(shù)分布隨機變量，計算結果如下如下)1ln(3ux四、四、離散分布離散分布), 2 , 1( ,nipxXPiiixxipxXPxF)(X是離散隨機變量，取值為是離散隨機變量，取值為x1,x2,xn，其概率分布為，其概率分布為分布函數(shù)為分布函數(shù)為xF(x)x1 x2 x3 0 x4 xnp1p2p3p4pn1離散分布隨機變量的分布函數(shù)離散分布隨機變量的分布函數(shù) 計算離散分布隨機變量的計算離散分布隨機變量的步驟是：步驟是： 產(chǎn)生產(chǎn)生U(0,1)隨機數(shù)；隨機數(shù)； 若若up1，則，則

6、x = x1；否則當；否則當 時，時，x = xi，x是分布函是分布函數(shù)為數(shù)為F(x)的隨機數(shù)。的隨機數(shù)。v用逆變法求離散分布用逆變法求離散分布的隨機變量。的隨機變量。解：先用隨機數(shù)發(fā)生器解：先用隨機數(shù)發(fā)生器xi75xi-1 mod(231 -1)產(chǎn)生產(chǎn)生隨機數(shù)；比較所得隨機數(shù)隨機數(shù)；比較所得隨機數(shù)u與分布函數(shù)，若與分布函數(shù)，若up1，x = x1；否則當；否則當 時，時，x = xi，結果，結果如如下下：) 3( ,60. 0)2( ,30. 0) 1( ,10. 0)()(xxxxXFxpv某產(chǎn)品的單位成本隨市場隨機波動，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計某產(chǎn)品的單位成本隨市場隨機波動，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：如下：

7、v 產(chǎn)品單位成本分布概率產(chǎn)品單位成本分布概率v試用逆變法產(chǎn)生隨機變量。試用逆變法產(chǎn)生隨機變量。序號序號 單位成本（元）單位成本（元） 概率概率1430.102440.203450.404460.205470.10v逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1，而有些分布函數(shù)的解析逆函數(shù)表達式難而有些分布函數(shù)的解析逆函數(shù)表達式難于求得，雖可用數(shù)值計算或冪級數(shù)展開于求得，雖可用數(shù)值計算或冪級數(shù)展開求得求得F-1的近似表達式，往往因計算工作的近似表達式，往往因計算工作量過大而無法實現(xiàn)。量過大而無法實現(xiàn)。 函數(shù)變換法函數(shù)變換法v一、原理一、原理v若隨機變量若隨機變量X具有密度函數(shù)

8、具有密度函數(shù)f(x)，分布函數(shù)為，分布函數(shù)為F(x)，隨機變量，隨機變量Y是是X的函數(shù)的函數(shù)Yg(X)，當逆函數(shù)，當逆函數(shù)x=g-1(y)=h(y)存在且連續(xù)存在且連續(xù)的的一階導數(shù)時，隨機變量一階導數(shù)時，隨機變量Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為p(y)=fh(y)|h(y)|，由此算出其分布函數(shù)由此算出其分布函數(shù)G(y)Fg-1(y)，再用逆變法可得抽樣，再用逆變法可得抽樣公式公式Y=g(X)。v函數(shù)變換法是逆變法的推廣函數(shù)變換法是逆變法的推廣。v函數(shù)變換法生成隨機變量的一般步驟是：函數(shù)變換法生成隨機變量的一般步驟是：v產(chǎn)生獨立的產(chǎn)生獨立的F(x)的隨機數(shù)的隨機數(shù)x1，x2，xn；v由抽樣公式，得隨

9、機數(shù)列由抽樣公式，得隨機數(shù)列yi=g(xi)（i=1，2，n）。）。v二二、正態(tài)分布、正態(tài)分布v正態(tài)分布正態(tài)分布的的密度函數(shù)為密度函數(shù)為v分布函數(shù)為分布函數(shù)為v通過通過Z變換變換 ，有，有v令令v則有則有2)(21exp21)(xxfdxFx2)(21exp21)(/ )( ZdexZPxXPxFx2/ )(221)()()(2/221)(zeZzdeZ2/221 )()()(xdZzv無法用逆變法直接從上式求得隨機變量無法用逆變法直接從上式求得隨機變量Z?？刹捎??？刹捎肂ox-Muller的函數(shù)變換法的函數(shù)變換法。先產(chǎn)生兩個獨立的標準正態(tài)分布先產(chǎn)生兩個獨立的標準正態(tài)分布Z1和和Z2，因為，因

10、為Z1、Z2獨立，故它們的聯(lián)合密度函數(shù)為獨立，故它們的聯(lián)合密度函數(shù)為v令令v代入，則有代入，則有)(212/2/2122212221212121),(ZZZZeeeZZfcossin21rZrZ22121)(rerf，v聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)f(r,)為為r的函數(shù)與的函數(shù)與的函數(shù)之積的函數(shù)之積,即即v f(r,)=f1()f2(r)v其中：其中：v只要產(chǎn)生隨機數(shù)只要產(chǎn)生隨機數(shù)u1，u2U(0,1)，使，使 =2u1，v即得即得v通過通過Z變換變換 得到一般正態(tài)分布得到一般正態(tài)分布N(，2)隨機變量：隨機變量：v X X1 1ZZ1 1 v X X2 2ZZ2 22/1)(1f)2exp()(

11、22rrf2ln2ur)2cos(ln2)2sin(ln2122121uuZuuZv三、三、對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布v若若X XN N( (，2 2) )，則稱，則稱Y Y = = e eX X所服從的分布為對數(shù)正態(tài)分布，所服從的分布為對數(shù)正態(tài)分布，記為記為LNLN( (，2 2) )。其均值和方差是其均值和方差是：v利用變換公式利用變換公式Y Y = = e eX X，則可由，則可由N N( (，2 2) )的隨機數(shù)生成的隨機數(shù)生成LNLN( (，2 2) )隨機數(shù)。具體步驟是：隨機數(shù)。具體步驟是：v 產(chǎn)生產(chǎn)生N N(0(0，1)1)分布隨機數(shù)分布隨機數(shù)u ui i；v 計算計算x xi i = = + + uui i；v 令令 ，則得對數(shù)正態(tài)分布，則得對數(shù)正態(tài)分布LNLN( (，2 2) )隨機變量隨機變量。2/2 ee) 1(2222eeev用函數(shù)變換法由用函數(shù)變換法由N(3，0.12)分布的隨機數(shù)生成分布的隨機數(shù)生成對數(shù)正態(tài)分布變量。對數(shù)正態(tài)分布變量。v解：用解：用Excel的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生N(0，1)分分布隨機數(shù)布隨機數(shù)ui，然后由，然后由xi =3 + 0.1ui得得N(3，0.12)分布隨機數(shù)，再據(jù)分布隨機數(shù)，再據(jù)