隨機過程的統(tǒng)計特性和平穩(wěn)隨機過程

1、自然界變化的過程可以分為自然界變化的過程可以分為確知過程確知過程和和隨機過程隨機過程兩大類兩大類每次觀測所得結果都相同，都是時間每次觀測所得結果都相同，都是時間t t的的一個確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。一個確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。每次觀測所得結果都不同，都是時間每次觀測所得結果都不同，都是時間t t的的不同函數(shù)，觀測前又不能預知觀測結果，不同函數(shù)，觀測前又不能預知觀測結果，沒有確定的變化規(guī)律。沒有確定的變化規(guī)律。確知確知過程過程隨機隨機過程過程正弦信號正弦信號調(diào)制信號調(diào)制信號周期性脈沖信號周期性脈沖信號雷達接收機的噪聲雷達接收機的噪聲鳥叫聲鳥叫聲爆破信號爆破信號實際過程實際過程2.

2、1 隨機過程的基本概念及定義隨機過程的基本概念及定義2.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2.4 隨機過程的聯(lián)合分布和互相關函數(shù)隨機過程的聯(lián)合分布和互相關函數(shù)2.5 隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度2.6 典型的隨機過程典型的隨機過程01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101隨機相位信號 0( )cos()X nAn 0( ,)cos()iiix nAn050100150200-505050100150200-5050501

3、00150200-505050100150200-505接收機噪聲 t11、隨機過程、隨機過程(Stochastic Process)定義定義定義定義1 1：設隨機試驗設隨機試驗E E的樣本空間為的樣本空間為S=eS=e，對其每一個元素，對其每一個元素 都以某種法則確定一個樣本函數(shù)都以某種法則確定一個樣本函數(shù) , ,由全部元由全部元素素ee所確定的一族樣本函數(shù)所確定的一族樣本函數(shù) 稱為隨機過程稱為隨機過程, ,簡記為簡記為 。 ( ,)ix t e(1,2,.)iei( , )X t e( )X t定義定義2 2：設有一個過程設有一個過程 ，若對于每一個固定的時刻，若對于每一個固定的時刻 ，

4、是一個隨機變量，則是一個隨機變量，則 稱為隨機過程。稱為隨機過程。 ( )X t(1,2,.)jtj( )jX t( )X t隨機過程是樣本函數(shù)的集合隨機過程是樣本函數(shù)的集合隨機過程是隨機變量的集合隨機過程是隨機變量的集合隨機過程隨機過程X(t,e)四種不同情況下的意義：四種不同情況下的意義：當當t t固定，固定，e e固定時，固定時， X(t)X(t) 是一個是一個確定值確定值； 當當t t固定，固定，e e可變時，可變時， X(t)X(t) 是一個是一個隨機變量隨機變量； 當當t t可變，可變，e e固定時，固定時， X(t)X(t) 是一個確定的是一個確定的時間函數(shù)時間函數(shù)； 當當t t

5、可變，可變，e e可變時，可變時， X(t)X(t) 是一個是一個隨機過程隨機過程； 2、隨機過程分類、隨機過程分類狀態(tài)狀態(tài)時刻時刻連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機過程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機序列連續(xù)隨機序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機過程離散型隨機過程離散離散連續(xù)連續(xù)離散隨機序列離散隨機序列離散離散離散離散半二元傳輸信號半二元傳輸信號 用無數(shù)次投擲硬幣的隨機試驗來定義一個隨機過程X(t)， ( )第 次投出正面第 次投出反面-1nX t(n-1)TtT1nX(t)稱為半二元傳輸信號。 0 5 10 15 20 25 -1 0 1 時間時間 - 秒秒 ( 假定假定 T=1 秒秒 0 5 10 15 20

6、 25 -1 0 1 時間時間 - 秒秒 ( 假定假定 T=1 秒秒） 半隨機二元傳輸信號半隨機二元傳輸信號 1( )1kX nk質(zhì)點正向移動一個距離單元質(zhì)點向移動一個距離單元反0pq x質(zhì)點沿x軸作隨機游動 n0 1 2 3 4 5 6 7( )X n隨機游動隨機游動設X(n)表示質(zhì)點在t=n時刻與原點的距離，如果X(n-1)=k，那么， 05010015020000.20.40.60.81 在實際中還有一類過程，它是按照確定的數(shù)學公式產(chǎn)在實際中還有一類過程，它是按照確定的數(shù)學公式產(chǎn)生的時間序列，它是一個確定性的時間序列，但它的變化生的時間序列，它是一個確定性的時間序列，但它的變化過程表現(xiàn)出

7、隨機序列的特征，我們把它稱為過程表現(xiàn)出隨機序列的特征，我們把它稱為偽隨機序列偽隨機序列，偽隨機序列可以用來模擬自然界實際的隨機過程偽隨機序列可以用來模擬自然界實際的隨機過程 。偽隨機序列 1 1、一維概率分布、一維概率分布)(),(xtXPtxFXxtxFtxfXX),(),(連續(xù)隨機過程：連續(xù)隨機過程：( , )( )XFx nP X nx( , )( , )XXFx nfx nx隨機序列：隨機序列：一、隨機過程的概率分布一、隨機過程的概率分布例例1、 設隨機振幅信號設隨機振幅信號 其中其中 是常數(shù)，是常數(shù)，Y是均值為零，方差為是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機的正態(tài)隨機變量，求變量，求 時的概

8、率密度。時的概率密度。tYtX0cos)(0002,32,0t2 2、二維概率分布、二維概率分布)(,)(),(22112121xtXxtXPttxxFX21212122121),(),(xxttxxFttxxfXX注意：注意：X(t1)及及X(t2)為同一隨機過程上的隨機變量。為同一隨機過程上的隨機變量。例例2、設隨機相位信號設隨機相位信號其中其中 ，且取值概率各為，且取值概率各為1/2, 求求 ， 時的一維和二維概率分布。時的一維和二維概率分布。 )2/, 0( )cos(/10)X nn10n 210n 0204060-101x2(n) 0204060-101x1(n) 二、隨機過程的數(shù)

9、字特征二、隨機過程的數(shù)字特征均值均值dxtxxftXEtmXX),()()(方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX)(2tXE)()(22tmtXX均值與方差的物理意義：均值與方差的物理意義：表示消耗在單位表示消耗在單位電阻上的總的平電阻上的總的平均功率。均功率。相關函數(shù)相關函數(shù)(correlation function)(correlation function) 212121212121),()()(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX相似均值和方差的隨機過程 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù))()()()(),(221121tmtXtmtXEttKXXX如果如果0

10、),(21ttKX，則稱，則稱)(1tX和和)(2tX是是不相關不相關的。如果的。如果12( ,)0XRt t，則稱，則稱)(1tX和和)(2tX是相互是相互正交正交的。如果的。如果),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX，則稱隨機過程在，則稱隨機過程在1t2t時刻的狀態(tài)是相互時刻的狀態(tài)是相互獨立獨立的。的。和和離散隨機過程數(shù)字特征離散隨機過程數(shù)字特征和NiiiXtptxtm1)()()(NiiXiXtptmtxt122)()()()(NiNjijjiXttptxtxtXtXEttR1121212121),()()()()(),(NiNjijXjXiXttptmtxtmt

11、xttK1121221121),()()()()(),(例例3、設隨機振幅信號為設隨機振幅信號為其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)，V是標準正態(tài)隨機變量。是標準正態(tài)隨機變量。求該隨機信號的均值、方差、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。求該隨機信號的均值、方差、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。tVtX0sin)(0dxetxfeEtxjXtXjX),(),()(dettxfxjXX),(21),(Nitjxiietp1)()(離散形式：離散形式：0),()()(nXnnndtdjtXE三、隨機過程的特征函數(shù)三、隨機過程的特征函數(shù)例例4、設設 為相互獨立的隨機變量序列，其分布為為相互獨立的隨機變量序列，其分布為 求隨機過程求隨機

12、過程 的一維分布。的一維分布。nXXX,212/111kkXPXPnk, 2 , 1 , 0, 3 , 2 , 11nXYnkkn)(),(xtXPtxFX隨機過程是樣本函數(shù)的集合隨機過程是樣本函數(shù)的集合隨機過程是隨機變量的集合隨機過程是隨機變量的集合隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征)(,)(),(22112121xtXxtXPttxxFX均值均值dxtxxftXEtmXX),()()(方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX相關函數(shù)相關函數(shù)1212( , )( )( )XRt tE X t X t協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù))()()(

13、)(),(221121tmtXtmtXEttKXXX課后作業(yè)：課后作業(yè)：2.3、2.4隨機過程的特征函數(shù)隨機過程的特征函數(shù)dxetxfeEtxjXtXjX),(),()(Nitjxiietp1)()(離散形式：離散形式：一、定義一、定義),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf)(),(xftxfXX一維概率密度：一維概率密度：二維概率密度：二維概率密度：),(),(212121xxfttxxfXX21tt (1)(1)嚴格平穩(wěn)隨機過程嚴格平穩(wěn)隨機過程(Strictly stationary Process)(Strictly stationary Process)(2)(2)廣

14、義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)隨機過程隨機過程(Weakly stationary Process)(Weakly stationary Process)2121),(),(ttRttRXXXXmtm)( 嚴格平穩(wěn)嚴格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)當隨機過程是當隨機過程是高斯分布高斯分布時，兩者等價。時，兩者等價。一定一定不一定不一定例例1、 設隨機過程設隨機過程X(t)=At，A為標準正態(tài)分布的隨機為標準正態(tài)分布的隨機變量。試問變量。試問X(t)是否平穩(wěn)？是否平穩(wěn)？例例2、 設隨機過程設隨機過程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其。其中中X，Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率為相互獨立的隨機變量，且分別

15、以概率2/3、1/3取值取值-1和和2。試討論隨機過程。試討論隨機過程Z(t)的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。二、平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)性質(zhì)二、平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)性質(zhì)()( )XXRR (0)( )XXRR 2)(limXXmR若隨機過程不含周期分量，若隨機過程不含周期分量，相關函數(shù)示意圖22)0(XXXmR若隨機過程含有周期分量，則自相關函數(shù)也含有若隨機過程含有周期分量，則自相關函數(shù)也含有同周期的同周期的周期分量周期分量)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR例例3、已知平穩(wěn)隨機過程已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為的自相關函數(shù)為 求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。2

16、51436)(XR三、相關系數(shù)及相關時間三、相關系數(shù)及相關時間222)()()(XXXXXXmRKr相關系數(shù)：相關系數(shù)：也稱為歸一化協(xié)方也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標準協(xié)方差函數(shù)或標準協(xié)方差函數(shù)。差函數(shù)。相關時間：相關時間：00)(drX05. 0)(0Xr相關時間示意圖050100-4-2024050100-10-50510兩個不同相關時間隨機過程的樣本函數(shù) 101000例例4、已知平穩(wěn)隨機過程已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為的自相關函數(shù)為 求求X(t)的相關系數(shù)。的相關系數(shù)。23)( eRX四、隨機過程的遍歷性（四、隨機過程的遍歷性（ergodic）定義：定義：對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨

17、機過程X(t)X(t)，若有，若有則則X(t)X(t)為遍歷過程。為遍歷過程。TTTXdttXTmilm)(21TTTXdttXtXTmilR)()(21)(其中其中XPXmm )()(XPXRR各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖 遍歷性判斷：遍歷性判斷：0)()21 (1lim202TXXTdmRTT均值遍歷性：均值遍歷性：dRX0)(零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機信號：零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機信號：相關函數(shù)遍歷性：相關函數(shù)遍歷性：0)()()21 (1lim202TXTdRRTT)()()(tXtXt均值和自相關函數(shù)估計：均值和自相關函數(shù)估計：TTXdttxTm)(21TTXdttxtxTR)()(21)(連續(xù)隨機過程：連續(xù)隨機過程：101( )NXnmx nN12201( )1NXXnx nmN101( )( ) ()1NmXnRmx n x nmNm隨機序列：隨機