專題8-數(shù)軸穿根法名師制作優(yōu)質(zhì)教學資料

1、專題：數(shù)軸穿根法“數(shù)軸穿根法”又稱“數(shù)軸標根法”第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進行移項，使得右側為0。（注意：一定要保證x 前的系數(shù)為正數(shù)）例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號換成等號解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x 1 =2， x 2 =1， x 3 =-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標出各根。例如： -112第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右跟”上去，一上一下依次穿過各根。第四步：觀察不等號，如果不等號為“ >”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號為“ <

2、;”則取數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的范圍。例如：若求 (x-2)(x-1)(x+1)>0的解。因為不等號威“ >”則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍。即：-1<x<1 或 x>2。穿根法的奇過偶不過定律：“奇穿過，偶彈回”。還有關于分式的問題：當不等式移項后，可能是分式，同樣是可以用穿根法的，但是注意，解不能讓原來分式下面的式子等于0專項訓練：1、解不等式 (2x 1)( x 1)( x3) 0解析： 1）一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。2）因式 (2x1) 、 (x1) 、 ( x3) 的根分別是1、 1、3 。在數(shù)軸上把它們2標出（如圖1）

3、。113x圖 123）從最大根 3 的右上方開始，向左依次穿線（數(shù)軸上方有線表示數(shù)軸上方有函數(shù)圖象，數(shù)軸下方有線表示數(shù)軸下方有函數(shù)圖象，此線并不表示函數(shù)的真實圖象） 。4）數(shù)軸上方曲線對應的x 的取值區(qū)間，為 (2 x1)( x1)( x3)0 的解集，數(shù)軸下方曲線對應的x 的取值區(qū)間，為 (2x1)( x1)( x3)0 的解集。不等式 (2x1)( x1)( x 3)0 的解集為 (1 ,1)(3,) 。2在上述解題過程中，學生存在的疑問往往有：為什么各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；為什么從最大根的右上方開始穿線；為什么數(shù)軸上方曲線對應的x 的集合是大于零不等式的解集，數(shù)軸下方曲線對應x 的集合

4、是小于零不等式的解集。2、解不等式 ( x2)( 1 x1) 2 ( x3)302解析： 1）一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。2）因式 (x2) 、(1x 1)2、 (x3) 3 的根分別為2 、 2 、 3，在數(shù)軸上把它們標2出（如圖2）。3）從最大根3 的右上方開始向左依次穿線，次數(shù)為奇數(shù)的因式的根一次性穿過，次數(shù)為偶數(shù)的因式的根穿而不過。4）數(shù)軸上方曲線對應的x 的取值區(qū)間，為 ( x2)(1x1) 2 ( x3) 30 的解集，數(shù)x 的取值范圍，為 ( x 2)( 1 x2軸下方曲線對應的1) 2 ( x3) 30 的解集。(x 2)( 1 x21) 2

5、( x3) 30 的解集為 ( 2,2)( 2,3)223x2圖 2數(shù)軸標根法、分式不等式、絕對值不等式一、數(shù)軸標根法解不等式例 1. 解下列不等式1. （ x-1 ）（x-2 ） (x+3)>02.（ x-1 ）（ x-2 ）(x+3)<03.（ 1- x ）（ x-2 ） (x+1)04.（ x- 1 ） 2（ x-2 ）3 (x+1)0二分式不等式思考（ 1） x30與 x3x20 解集是否相同，為什么？x2（2） x30與 x3x20 解集是否相同，為什么？x2解：方法1：利用符號法則轉化為一元一次不等式組，進而進行比較。方法 2：在分母不為0 的前提下，兩邊同乘以分母的平

6、方。通過例 1，得出解分式不等式的基本思路：等價轉化為整式不等式（組）：（1）f x0f x g x 0 （2） f xf xg x 0g x00g xg x例 2. 解下列不等式1.x32.13.201xx2x x34. x3x205.09x2x22x3三、含絕對值的不等式的解法|x|>a(a>0)_|x|<a(a>0)例 3: 解下列不等式1.2x132.3.|x 2-2x|>x 2.4.鞏固練習1. 解不等式 2 x23x102.3x27 x23. 不等式 2 x 1 2x 1 的解集是x x4 . （ 2012 山東理）若不等式kx42 的解集為5.解不等

7、式（ 2x- 1 ） 2（ x-2）3 (x+1)06.解不等式（ 3- x ） 2（ x-2 ） (x+1)702 x11x36.0 x11x_x1( x1)0x1( x1)0解不等式 3x113xx 1x3 ，則實數(shù) k_.不等式解法 15 種典型例題典型例題一例 1 解不等式：（ 1） 2x3x215 x0 ；（ 2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)30 分析 ：如果多項式f ( x) 可分解為n 個一次式的積，則一元高次不等式f ( x) 0 （或f ( x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況解：（ 1）原不等式可化為 x(2 x 5)(x 3) 0把方程

8、x(2x5)( x3)0的三個根x1 0, x25 , x33 順次標上數(shù)軸然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集2如下圖的陰影部分原不等式解集為x50或 x3x2（2）原不等式等價于(x4)( x5) 2 (x2)30x5 0x5原不等式 解集為(x4)( x2) 0x或24xx x5或 5 x4或x2說明 ：用“穿根法”解不等式時應注意：各一次項中x 的系數(shù)必為正；對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如圖典型例題二例 2解下列分式不等式： （ 1）312； （ 2） x24 x11x2x 23x27 x2f ( x)分析 ：當分式

9、不等式化為0(或 0) 時，要注意它的等價變形 g( x)f (x)0f ( x)g( x) 0 ； f ( x)f ( x)g(x) 0g(x)g( x)00g (x)（1）解： 原不等式等價于3x3xx 2 x2x 20x 23(x2) x( x2)x 25x60(x2)( x 2)0( x 2)( x2)( x 6)( x 1)( x 6)( x 1)( x 2)( x 2) 00( x 2)( x 2) 0( x 2)( x 2)用“穿根法”原不等式解集為 (, 2)1,26,。（2）解法一：原不等式等價于2x23x103x27x2(2x 23x 1)(3x 27 x 2) 02x3x223x10 或 2x23x107x203x 27x20x111或 x2 ，原不等式解集為( ,1)( 1 ,1) (2, )。或x3232解法二：原不等式等價于(2x1)( x1)0(2x 1)( x1)(3x1) (x2)0(3x 1)( x 2)用“穿根法”原不等式解集為(, 1)(1 ,1)(2,)32典型例題三例 3解不等式 x24x 2分析 ：解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據(jù)絕對值的意義aa( a0)；二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)：xaaxa