培優(yōu)專題：二次根式

1、二次根式數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義:一、 知識的拓廣延伸a 0, . a1、挖掘二次根式中的隱含條件般地，我們把形如7a(a 0)的式子叫做二次根式，其中根據(jù)二次根式的定義，我們知道：被開方數(shù)a的取值范圍是由此我們判斷下列式子有意義的條件：(1)、x 12、a2的化簡 3 x 2; (4)(x_2.5)_0/x 2教科書中給出：一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義可知:Ja2 a(a 0)，在此我們可將其拓展為:a(a 0)a(a 0)(1)、根據(jù)二次根式的這個性質(zhì)進行化簡:數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的左邊，化簡2a a2化簡求值:1;其中a= 5a1已知， 2m 3 ,化簡 2m "m2m1 4m6m

2、9若為a,b,c三角形的三邊，則J(a b c) J(a b c) 計算：(4吊)2 (萬5)2 (2)、根據(jù)二次根式的定義和性質(zhì)求字母的值或取值范圍。若m也2m m2 1 ,求m的取值范圍。若J(2 x)2 J(6 紛 4 x ,則x的取值范圍是若 a 22b 14 J7 b,求 Ja2 2 ab b2 的值；已知：y=J27E V52x 3,求2xy的值。3、如何把根號外的式子移入根號內(nèi)我們在化簡某些二次根式時， 有時會用到將根號外的式子移入根號內(nèi)的知識，這樣式子的化簡更為簡單。在此我們要特別注意先根據(jù)二次根式的意義來判斷根號外的式子的符號。如果根號外的式子為非負(fù)值，可將 其平方后移入根號

3、內(nèi)，與原被開方數(shù)相乘作為新的被開方數(shù)，根號前的符號不會發(fā)生改變；如果根號外的式 子為負(fù)值，那么要先將根號前的符號變號，再將其其平方后移入根號內(nèi)，與原被開方數(shù)相乘作為新的被開方 數(shù)。(1)、根據(jù)上述法則，我們試著將下列各式根號外的式子移入根號內(nèi)：(2)、利用此方法可比較兩個無理數(shù)的大小。3近后473(2)2 3421f 3-2734、海倫秦九韶公式.-. a b c 已知二角形的二條邊長分別為a、hc,則二角形的面積為S=4p(p a)( p b)(pc),其中p=,這個公式叫做海倫公式2根據(jù)該公式，可以在不求三角形的高的情況下，利用三角形的三邊長度來求三角形的面積。(1)、海倫公式的證明。(2

4、)、海倫公式的推廣：在任意內(nèi)接于圓的四邊形 ABCD中，四邊形 ABCD的四邊分別為 a、b、c、d ,設(shè)a b c+dp=2，貝邊形=J(p a)(p b)(p c)(p d>例如：已知內(nèi)接于圓的四邊形ABCM, AD=1, AB=1, CD=2求證四邊形ABC而能為等腰梯形。二、拓展性問題1、整數(shù)部分與小數(shù)部分要判斷一個實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分，應(yīng)先判斷已知實數(shù)的取值范圍，從而確定其整數(shù)部分，再由“小數(shù) 部分=原數(shù)一整數(shù)部分”來確定其小數(shù)部分。例：(1)、已知 赤 1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,試求abb2的值。若x、y分別為8 /1的整數(shù)部分與小數(shù)部分，求2xyy2的值。(3)已

5、知 二 的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,求a2+b2的值。5 1(4)若a 荷，b是a的小數(shù)部分，則ab(6、若', 3+2的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,求-a-的值。a b2、巧變已知，求多項式的值。(1)、若3x2 5x 1 的值。(2)、若_122y-z=產(chǎn)，求 x +y2 .3z xy xz yz的值。(3)、若m.2012 1,則同一2 m,一2011曷的值為化簡3、用歸納法化簡求值2、1+ % 2 + 3 *2+2 J3 + 4 3+34 +10:9 9 <104、應(yīng)用海倫一秦九韶公式。在三角形 ABC中，BC=4, AC=5, AB=7,求此三角形的面積。5、分母有理

6、化(1) .分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。(2) .有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用 4a 4a a來確定，如：ja與ja, jab與jab, jab與、'a b等分別 互為有理化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如a /與a bb , ja Jb與ja bb , a x b. y與a、.x b、y分別互為有理化因式。(3) .分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式;將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。【例】把下列各式分母有理化4.33 7(3) _2_2(4)2 1(6)3.