中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型歸納

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類一、?？键c(diǎn)匯總1、兩點(diǎn)間的距離公式 ： ABy AyB2x AxB22、中點(diǎn)坐標(biāo) ：線段 AB 的中點(diǎn) C 的坐標(biāo)為：xAxByA yB2，2直線 y k1 x b1 （ k1 0）與 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置關(guān)系：（ 1）兩直線平行k1k2 且 b1b2（ 2）兩直線相交k1k2（ 3）兩直線重合k1k2 且 b1b2（ 4）兩直線垂直k1k213、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下：用 和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次

2、根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于 x 的一元二次方程 x 22 m1 xm 20 有兩個(gè)整數(shù)根， m5且 m 為整數(shù)，求 m 的值。4、二次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。（方法同上）例：若拋物線ymx23m1 x3 與 x 軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m 為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于 x 的方程 mx23(m1)x2m30（ m 為實(shí)數(shù)），求證：無論m 為何值，方程總有一個(gè)固定的根。解：當(dāng) m 0 時(shí)， x1；當(dāng) m 0時(shí)，m3 20 ， x3 m 1， x1 23 、 x21 ；2mm綜上所述：無論m 為何

3、值，方程總有一個(gè)固定的根是1。6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題，舉例如下：已知拋物線 yx2mxm2 （ m 是常數(shù)），求證：不論m 為何值，該拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m 的方程 yx 22m 1x ；學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考yx 22 0 ，解得：y1；1x0x 1 拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（1， 1）。（題目要求等價(jià)于：關(guān)于m 的方程 yx 22m 1 x 不論 m 為何值，方程恒成立）小結(jié) ：關(guān)于x 的方程axb有無數(shù)解a0b07、路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對(duì)稱軸）（ 1）如圖，直線 l1 、 l 2 ，點(diǎn) A 在 l 2 上，分別

4、在 l1 、 l 2 上確定兩點(diǎn) M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。（ 2）如圖，直線l1 、 l 2 相交，兩個(gè)固定點(diǎn)A 、 B ，分別在 l1 、 l 2 上確定兩點(diǎn) M 、 N ，使得BMMNAN 之和最小。（ 3）如圖， A、B 是直線 l 同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，線段左側(cè) ），使得四邊形AEFB 的周長(zhǎng)最小。a ，在直線l上確定兩點(diǎn)E、F（E 在 F的8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如右圖，S· PM· x=1/2 · AN· y PAB=1/2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考9、函數(shù)的交點(diǎn)問

5、題：二次函數(shù)（y ax2 bx c ）與一次函數(shù)（y kx h ）（1）解方程組yax2bx c 可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。ykxh2（2）解方程組yax bx c ，即 ax 2 bk x c h0 ，ykxh通過可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)僅有一個(gè)交點(diǎn)沒有交點(diǎn)00010、方程法（ 1）設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長(zhǎng)度（ 2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量（ 3）列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析跟平行有關(guān)的平移圖形勾股定理逆定理跟直

6、角有關(guān)的利用相似、全等、平圖形行、對(duì)頂角、互余、互補(bǔ)等跟線段有關(guān)的利用幾何中的全等、圖形中垂線的性質(zhì)等。利用相似、全等、平跟角有關(guān)的圖行、對(duì)頂角、互余、形互補(bǔ)等涉及公式l 1 l 2k1 k2y1y2、 kx2x1ABy AyB 2x AxB 2AB22y A yBx A xB應(yīng)用圖形平行四邊形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形y【例題精講】學(xué)習(xí)資料BOAxCD學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考一 基礎(chǔ)構(gòu)圖：y= x22x3 （以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個(gè)）和 最小，差最大在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得 PB+PC的和最小，求出P 點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得 PB-PC的差最大，

7、求出P 點(diǎn)坐標(biāo)求面積最大連接 AC,在第四象限找一點(diǎn)P，使得ACP 面積最大，求出P 坐標(biāo) 討論直角三角連接 AC,在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得ACP 為直角三角形，求出 P 坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn)P，使 ACP是以 AC為直角邊的直角三角形 討論等腰三角連接 AC,在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得ACP 為等腰三角形，求出 P坐標(biāo) 討論平行四邊形1 、點(diǎn) E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)F 在拋物線上，且以 B， A， F， E 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F 的坐標(biāo)yBOAxCDyBOAxCDyBOAxCD二 綜合題型例 1(中考變式） 如圖，拋物線 yx 2bxc 與 x 軸交與 A(1,0),B(

8、-3，0) 兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為 D。交Y軸于C(1) 求該拋物線的解析式與ABC的面積。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考(2) 在拋物線第二象限圖象上是否存在一點(diǎn) M，使 MBC是以 BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)。若沒有，請(qǐng)說明理由(3) 若 E 為拋物線 B、 C 兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ( 不與 A、 B 重合 ) ，過 E 作 EF 與 X 軸垂直 ，交 BC于 F，設(shè) E 點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF 的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求 L 關(guān)于 X 的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X 的取值范圍？當(dāng) E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段EF的值最大，并求此時(shí)E 點(diǎn)的坐標(biāo)？(4) 在（ 5）的情況下直線BC與拋物線

9、的對(duì)稱軸交于點(diǎn)H。當(dāng) E 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí), 以點(diǎn) E、 F、H、D 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(5) 在（ 5）的情況下點(diǎn)E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大？例 2考點(diǎn)：關(guān)于面積最值學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、 C 的坐標(biāo)分別為 ( 1，0) 、 (0 ， 3 ) ，點(diǎn) B 在 x 軸上已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、 B、 C 三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x 1，點(diǎn) P 為直線 BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與 B、 C不重合），過點(diǎn) P作 y 軸的平行線交BC于點(diǎn) F（ 1）求該二次函數(shù)的解析式；y（ 2）若設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為

10、m，試用含 m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；（ 3）求 PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)A OFBxCPx 1例 3考點(diǎn)：討論等腰如圖，已知拋物線y1x2bxc與y軸相交于，與x軸相交于、 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ 2， 0），2CA B點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 0， 1）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）點(diǎn) E是線段 AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 DE x 軸于點(diǎn) D，連結(jié) DC，當(dāng) DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（ 3）在直線 BC上是否存在一點(diǎn) P，使 ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由yyDxB OAB OAxECC備用圖例 4 考點(diǎn)：討論直角三角 如圖，已知點(diǎn)A（

11、一 1， 0）和點(diǎn) B（ 1，2），在坐標(biāo)軸上學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考確定點(diǎn) P，使得 ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有（）(A ）2個(gè)（B） 4個(gè) （C）6個(gè)（ D）7個(gè) 已知：如圖一次函數(shù)y1x 1 的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) ；二次函數(shù)y122AB2xbxc的圖象與一次函數(shù)y1x 1 的圖象交于、 兩點(diǎn)，與x軸交于、 兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，2B CD E0）（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）求四邊形 BDEC的面積 S；（ 3）在 x 軸上是否存在點(diǎn) P，使得 PBC是以 P 為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說明理由yC2Bx

12、AODE例 5考點(diǎn)：討論四邊形2已知：如圖所示， 關(guān)于 x 的拋物線 y ax x c（a 0）與 x 軸交于點(diǎn) A（ 2，0），點(diǎn) B（6，0），與 y 軸交于點(diǎn) C（ 1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）在拋物線上有一點(diǎn) D，使四邊形 ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn) D的坐標(biāo)，并求出直線 AD的解析式；（ 3）在（ 2）中的直線AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)否存在以A、 M、 P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P，x 軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q是Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由yCAOBx綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax24ax4ac 與x 軸交

13、于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y 軸的正半軸學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考交于點(diǎn) C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1, 0)， OB OC，拋物線的頂點(diǎn)為D。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn) P 滿足 APB ACB，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3)Q為線段 BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于 AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A ，若 QAQB2 ，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)和此時(shí) QAA 的面積。2、在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知二次函數(shù) yax2 +2ax c 的圖像與 y 軸交于點(diǎn) C 0，3 ，與 x軸交于 A、 B兩點(diǎn)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為3，0 。（ 1） 求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（ 2） 點(diǎn) M是第二

14、象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形 ACDB分成面積為 1 ： 2 的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)M 的坐標(biāo)；（ 3） 點(diǎn) P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時(shí) CPB 的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)。3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y2 x2 2 x 與 x 軸負(fù)半軸交于點(diǎn) A ，頂點(diǎn)為 B ，m且對(duì)稱軸與x 軸交于點(diǎn) C 。（ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）；學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 2） D 為 OB 中點(diǎn)，直線AD 交 y 軸于 E ，若 E （ 0， 2），求拋物線的解析式；（ 3）在（ 2）的條件下，點(diǎn)M在直

15、線OB 上，且使得AMC 的周長(zhǎng)最小，P 在拋物線上，Q 在直線 BC 上，若以A、 M、 P、 Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)。4、已知關(guān)于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m 的取值范圍；（ 2） 若正整數(shù) m 滿足 8 2m2 ，設(shè)二次函數(shù)y (1m) x2(4 m) x 3 的圖象與 x 軸交于A、B 兩點(diǎn)，將此圖象在x 軸下方的部分沿x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象；請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線 ykx3 與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出 k 的值（只需要求出兩個(gè)滿足題意的k 值即可）。

16、5 如圖，拋物線 y=ax2+2ax+c（a0）與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，4），與 x 軸交于點(diǎn) A（ 4， 0）和 B（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）點(diǎn) Q是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) Q作 QEAC，交 BC于點(diǎn) E，連接CQ當(dāng) CEQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 3）平行于 x 軸的動(dòng)直線l 與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線 AC交于點(diǎn) F，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （ 2，0）問是否有直線l ，使 ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)2例 1已知

17、二次函數(shù)yx ( m 1) x m 2 的圖象與 x 軸相交于 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）兩點(diǎn)，且x1 x2（ 1）若 x1x2 0，且 m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）若 x1 1，x2 1，求 m的取值范圍；（ 3）是否存在實(shí)數(shù) m，使得過 A、 B 兩點(diǎn)的圓與y 軸相切于點(diǎn)C（ 0， 2），若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；1MD1（ 4）若過點(diǎn) D（ 0， 2 ）的直線與（ 1）中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點(diǎn)，且DN 3，求該直線的表達(dá)式題型二、 拋物線與x 軸兩交點(diǎn)之間的距離問題2例 2 已知二次函數(shù) y= x +mx+m-5，（ 1）求證：不論 m

18、取何值時(shí)，拋物線總與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（ 2）求當(dāng) m取何值時(shí)，拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離最短題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例 1已知拋物線yx22( m1)xm20 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且 m 5，則整數(shù) m的值為 _2例 2已知二次函數(shù)yx 2mx4m8學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 1）當(dāng) x 2 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小，求m的取值范圍；2AMN （ M，N兩點(diǎn)在（ 2）以拋物線 y x 2mx 4m8 的頂點(diǎn) A 為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正拋物線上），請(qǐng)問：AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明y理由；2（

19、 3）若拋物線yx 2mx 4m8 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù) m的值OxA題型四、拋物線與對(duì)稱，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、拋物線的對(duì)稱性、數(shù)形結(jié)合例 1已知拋物線yx2bxc （其中 b>0，c 0）與 y 軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn) A 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為 B( m, n) ，且 AB=2.(1) 求 m, b 的值(2) 如果拋物線的頂點(diǎn)位于 x 軸的下方，且 BO= 20 。求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（友情提醒：請(qǐng)畫圖思考）題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用（線段長(zhǎng)、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、等等）例 1已知：二次函數(shù)yx24xm 的圖象與 x 軸交于不同的兩點(diǎn)A（

20、x1 ，0）、B（ x2 ，0）（ x1 x2 ），其頂點(diǎn)是點(diǎn) C，對(duì)稱軸與 x 軸的交于點(diǎn) D（ 1）求實(shí)數(shù) m的取值范圍；（ 2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函數(shù)的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y 軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x 軸交于點(diǎn)A1 、B1 ，頂點(diǎn)為點(diǎn)C1，且A1 B1C1 是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式綜合提升1已知二次函數(shù)的圖象與x 軸交于A， B兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C（ 0，4），且|AB|23，圖象的對(duì)稱軸為 x1（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線y x m的下方，求m的取值范圍學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)

21、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考2已知二次函數(shù)2y x mx m 2（1）若該二次函數(shù)圖象與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、 B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB5，求 m的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y 軸的交點(diǎn)為 C，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，且 SMNC 27，求的值m223. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2( k 1) x k 0 有兩個(gè)整數(shù)根， k 5 且 k 為整數(shù)（1）求 k 的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x 的二次函數(shù)2 2( k 1) x k2y x的圖象沿 x軸向左平移 4 個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；（3）根據(jù)直線 y x b 與（ 2）中的兩個(gè)

22、函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求b 的取值范圍4已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（ 1， 0）和點(diǎn) B（2， 1），且與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m（1）若 m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；（2）若二次函數(shù)的圖象與x 軸還有異于點(diǎn)A 的另一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若二次函數(shù)的圖象截直線y x 1 所得線段的長(zhǎng)為22，求 m的值四、中考二次函數(shù)定值問題1. 如圖，已知二次函數(shù) L1： y=x2 4x+3 與 x 軸交于 A B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左邊），與 y 軸交于點(diǎn)C學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 1）寫出二次函數(shù) L1 的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）研究二次函數(shù) L2： y=kx 2 4kx+3k （k0）寫出二次函數(shù)L2 與二次函數(shù)L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線y=8k 與拋物線L2 交于 E、F 兩點(diǎn)，問線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由2.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A( 2，O)、B(2 ， 0) 、C(0， l) 三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線 y=kx 與拋物線交于M、 N 兩點(diǎn)分別過點(diǎn)C、 D(0， 2) 作平行于x