專題08 動點問題利用相似構(gòu)建函數(shù) 2020-2021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)重點題型通關(guān)訓(xùn)練解析版

1、專題08 動點問題利用相似建構(gòu)函數(shù)【專題導(dǎo)入】1. 如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E，D分別在BC，AB上，且AED=60°.（1）求證：AECEDB；（2）若EC=x，求BD的長度（用x的代數(shù)式表示）.【解析】（1）ABC是等邊三角形，B=C=60°，EDB+BED=120°，CAE+AEC=120°AED=60°，BED+AEC=180°-60°=120°，BED=CAE，AECEDB（2）由（1）可知AECEDB.其中BE=BC-EC=2-x，ACBE=ECDB,即22x=xBD，BD=12x（2-

2、x）=-12x2+x.【方法點睛】利用三角形的相似把所需要的邊表示出來，最后利用得出的方程或函數(shù)進(jìn)行解答.【例1】如圖所示，AB=BC=4，B=90°，點E為線段BC上一動點（不與點B，C重合），分別過點E、C作AE，BC的垂線，兩條垂線相交于點D（1）證明：AEB=CDE；（2）設(shè)BE=x，CD=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍【解析】（1）證明：CDBC，C=90°，CED+CDE=90°AEDE，AED=90°，BEA+CED=180°-AED=90°，BEA=CDE（2）解：BEA=CDE，B=C=90

3、6;，BEACDE，CDBE=CEBA，即yx=4x4，y=-14x2+x點E為線段BC上一動點（不與點B、C重合），y=-14x2+x（0x4）同步練習(xí)1. 如圖，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的動點，連結(jié)AE、EF（1）若點E是BC的中點，CF：FD=1：3，求證：ABEECF；（2）若AEEF，設(shè)正方形的邊長為6，BE=x，CF=y當(dāng)x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值【解析】（1）證明：點E是BC的中點，EC=EB=12BCCFFD=13，CFCD=14四邊形ABCD為正方形，B=C=90°，AB=BC=CD，ECAB=CFBE=12，ABEECF（2）解

4、：四邊形ABCD為正方形，B=C=90°AEEF，AEF=90°，BAE+AEB=90°，AEB+CEF=90°，BAE=CEF，ABEECF，CFBE=CEBA，即yx=6x6，y=-16x2+x=-16（x-3）2+32，當(dāng)x=3時，y取得最大值，最大值為32【例2】如圖，矩形CDEF兩邊EF、FC的長分別為8和6，現(xiàn)沿EF、FC的中點A、B截去一角成五邊形ABCDE，P是線段AB上一動點，試確定AP的長為多少時，矩形PMDN的面積取得最大值【解析】延長MP，交EF于點Q如圖所示：設(shè)AP的長x，矩形PMDN的面積為y四邊形CDEF為矩形，C=E=F=

5、90°四邊形PMDN為矩形，PMD=MPN=PND=90°PMC=QPN=PNE=90°四邊形CMQF、PNEQ為矩形MQ=CF，PN=QE，且PQBFEF、FC的中點分別為A、B，且EF=8，CF=6，AF=4，BF=3，AB=42+32=5，PQBF，APQABFAQAF=PQBF=APAB即AQ4=PQ3=x5解得：AQ=45x，PQ=35xPN=QE=AQ+AE=45x+4，PM=MQ-PQ=6-35xy=PNPM=（45x+4）（ 6-35x）=-1225x2+125x+24當(dāng)x=-1252×（1225）=52時，y取得最大值即當(dāng)AP

6、=52時，矩形PMDN的面積取得最大值同步練習(xí)2. 如圖在銳角ABC中，BC=6，高AD=4，兩動點M、N分別在AB、AC上滑動（不包含端點），且MNBC，以MN為邊長向下作正方形MPQN，設(shè)MN=x，正方形MPQN與ABC公共部分的面積為y（1）如圖（1），當(dāng)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上時，求x的值；（2）如圖（2），當(dāng)PQ落ABC外部時，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）并求出x為何值時y最大，最大是多少？【解析】（1）當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時，MNBC，AMNABCMNBC=AGAD，即x6=4x4，x=125（2）設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形設(shè)

7、ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4-hMNBC，AMNABCMNBC=AGAD，即x6=4h4，h=-23x+4y=MNNF=x（-23x+4）=-23x2+4x（2.4x6），配方得：y=-23（x-3）2+6當(dāng)x=3時，y有最大值，最大值是6【專題過關(guān)】1.如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且B=ADE=C（1）證明：BDACED；（2）若B=45°，BC=2，當(dāng)點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），且ADE是等腰三角形，求此時BD的長【解析】（1）證明：B=ADE=C，BAD=180°-ADB-ADE，C

8、DE=180°-ADB-ADE，BAD=CDE，BDACED；（2）當(dāng)AD=AE時，1=AED=45°，DAE=90°，點D與B重合，不合題意舍去；當(dāng)EA=ED時，如圖1，EAD=1=45°，AD平分BAC，AD垂直平分BC，BD=1；當(dāng)DA=DE時，如圖2，1=C，DAE=CAD，ADEACD，DA：AC=DE：DC，DC=CA=2，BD=BC-DC=2-2，綜上所述，當(dāng)ADE是等腰三角形時，BD的長為1或2-2.2. 如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=8，BC=6，CDAB于點D點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)

9、，沿線段CA向點A運動兩點同時出發(fā)速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止設(shè)運動時間為t秒（1）求線段CD的長；（2）設(shè)CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由【解析】（1）ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=AC2+BC2=10，12ACBC=12ABCD，12×8×6=12×10CD，解得：CD=4.8；（2）AD=AC2CD2=824.82=6.4，過點Q作QHCD于H，如圖所示：CDAB，QHAD，CHQCDA，

10、QHAD=CQAC，即QH6.4=t8，QH=0.8t，S=12QHCP=12×0.8t×（4.8-t）=-0.4t2+1.92t；SABC=12ACBC=12×8×6=24，SCPQ：SABC=9：100，即：0.4t2+1.92t2=9100，整理得：5t2-24t+27=0，解得：t1=3，t2=1.8，在運動過程中存在某一時刻t，使得SCPQ：SABC=9：100，t的值為：3或1.83. 如圖，在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，如果

11、P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動時間（0t6）（1）當(dāng)t為何值時，QAP為等腰三角形？（2）當(dāng)t為何值時，以Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？（3）設(shè)QCP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時，QCP的面積有最小值？最小值是多少？【解析】（1）由運動知，AP2t（cm），DQt（cm），QA（6t）（cm）四邊形ABCD是矩形，PAQ90°，QAP為等腰三角形，QAAP，6t2t，t2，所以，當(dāng)t2時，QAP為等腰三角形（2）根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究，在矩形ABCD中：當(dāng)QAPABC時，QAAB=APBC，6t12=2t6，t651.2，即當(dāng)t1.2時

12、，QAPABC；當(dāng)PAQABC時，QABC=APAB，6t6=2t12，t3，即當(dāng)t3時，PAQABC；所以，當(dāng)t1.2或3時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似（3）SPCQS四邊形QAPCSQAPS四邊形ABCDSCDQSPBCSQAP12×612×12×t12×6×（122t）12×2t×（6t）366t+t2（t3）2+27，0t6，當(dāng)t3時，QCP的面積最小，最小值為27cm2【專題提高】4. 如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長線上的點，過點E作

13、AE的垂線交DCG的角平分線于點F，若FGBG（1）求證：ABEEGF；（2）若EC2，求CEF的面積；（3）請直接寫出EC為何值時，CEF的面積最大【解析】（1）四邊形ABCD是正方形，EFAE，BGAEF90°，BAE+AEB90°，AEB+FEG90°，BAEFEG，BG90°，BAEGEF；（2）ABBC10，CE2，BE8，F(xiàn)GCG，EGCE+CG2+FG，由（1）知，BAEGEF，ABEGBEFG，102+FG=8FG，F(xiàn)G8，SECF12CEFG12×2×88；（3）設(shè)CEx，則BE10x，EGCE+CGx+FG，由（1

14、）知，BAEGEF，ABEGBEFG，10x+FG=10xFG，F(xiàn)G10x，SECF12×CE×FG12×x（10x）12（x210x）12（x5）2+252，當(dāng)x5時，SECF最大2525.如圖，在矩形ABCD中，BC1，CBD60°，點E是AB邊上一動點（不與點A，B重合），連接DE，過點D作DFDE交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G（1）求證：ADECDF；（2）設(shè)AE的長為x，DEF的面積為y求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)BEF的面積S取得最大值時，連接BG，請判斷此時四邊形BGDE的形狀，并說明理由【解析】（1）證明：在矩形ABCD中

15、，AADCDCB90°，ADCF90°，DFDE，AEDF90°，ADECDF，ADECDF；（2）解：BC1，CBD60°，DCB90°，CD3ADECDF，DFDECDADCDBC313，即DF3DE在RtADE中，DE2AD2+AE21+x2則SDEF12DFDE32DE232（1+x2）32x2+32.（3）解：當(dāng)BEF的面積S取得最大值時，四邊形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD3則在矩形ABCD中，ADBC1，ABCD3AEx，BE3xADECDF，AECFADCD33CF3xS12BE·BF12（3x）（1+3x

16、）32（x33）2+233當(dāng)x33時，S有最大值此時BE233，CF1，BF2CGBE，CFGBFE，CGBECFBFCG33DG233BEDG，且BEDG四邊形BGDE是平行四邊形又BEBG平行四邊形BGDE是菱形6. 如圖，在菱形ABCD中，點E在BC邊上（不與點B、C重合），連接AE、BD交于點G（1）若AGBG，AB4，BD6，求線段DG的長；（2）設(shè)BCkBE，BGE的面積為S，AGD和四邊形CDGE的面積分別為S1和S2，把S1和S2分別用k、S的代數(shù)式表示；（3）求S2S1的最大值【解析】（1）AGBG，BAGABG，四邊形ABCD為菱形，ABAD，ABDADB，BAGADB，B

17、AGBDA，BABGBDBA，即4BG64，BG83，DGBDBG683103；（2）四邊形ABCD為菱形，BCADkBE，ADBC，ADBE，DAEBEA，ADGBEGADGEBG，S1S（ADBE）2k2，DGBGADBEk，S1k2S，S1SABGDGBGk，SABGS1k，ABD的面積BDC的面積，S2S1+S1kSk2S+kSS（k2+k1）S；（3）S2S1k2+k1k21+1k1k2（1k12）2+54，S2S1的最大值為547. 一根直尺短邊長4cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長為16cm，如圖甲，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合將直尺沿射線AB方向平移，如圖乙，設(shè)平移的長度為xcm，且滿足0x12，直尺和三角形紙板重疊部分的面積為Scm2（1）當(dāng)x0cm時，Scm2；當(dāng)x4cm時，S cm2；當(dāng)x12cm時，S cm2（2）當(dāng)4x8（如圖丙），請用含x的代數(shù)式表示S（3）是否存在一個位置，使重疊部分面積為28cm2？若存在求出此時x的值【解析】（1）當(dāng)x0cm時，S4×4÷28m2；當(dāng)x4cm時，S8×8÷24×4÷224cm2；當(dāng)x12cm時，S4×4÷