專題08：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之倍長中線-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）

1、專題08：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之倍長中線一、單選題1在ABC中，AC6，中線AD5，則邊AB的取值范圍是（）A1AB11B4AB13C4AB16D11AB162在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）ABCD3如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）ABCD4如圖，在ABC 中，AB=8，AC=5，AD是ABC的中線，則AD的取值范圍是（ ）A3<AD<13B1.5<AD<6.5C2.5<AD<7.5D10<AD<165如圖，在等腰直角三角形中，F(xiàn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，

2、連接在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：是等腰直角三角形；四邊形的面積保持不變；其中正確的是（ ）ABCD二、填空題6如圖，平行四邊形中，于，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，則_7如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于，且，那么的長度為_8如圖，為AD上的中點(diǎn)，則BE_9如圖，ABC中，D是AB的中點(diǎn)，CD：AC：BC1：2：2，則BCD_10如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，AB10，AD7，CAD45°，則BC_.三、解答題11如圖，已知AD是的中線，過點(diǎn)B作BEAD，垂足為E若BE=6，求點(diǎn)C到AD的距離12在ABC中，C90°，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，E為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

3、DE，過點(diǎn)D作DFDE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，AE2，BF1，求EF的長；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形2，用等式表示AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明13閱讀材料，解答下列問題如圖1，已知ABC中，AD 為中線延長AD至點(diǎn)E，使 DE=AD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=EDB，BD=CD，所以，ACDEBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC/BE等結(jié)論在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題解決問題：如圖2，在ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)

4、，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF14如圖1，在中，是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn).將直角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得邊與線段交于點(diǎn)，邊與線段交于點(diǎn).（1）求證：與相似；（2）設(shè)的長為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）探究、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.15如圖1，已知正方形和等腰，是線段上一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、（1）探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中的等腰繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最小值參考答案1C【解析】【分析】作出圖形，延長AD至E，使DEAD，然后利用“邊角邊”證明ABD和EC

5、D全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ABCE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍【詳解】如圖，延長AD至E，使DEAD，AD是ABC的中線，BDCD，在ABD和ECD中，BDCD，ADBEDC，ADDE，ABDECD（SAS），ABCE，AD5，AE5510，10616，1064，4CE16，即4AB16故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵2D【解析】【分析】連結(jié)CE，并延長CE，交BA的延長線于點(diǎn)N

6、，根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明NAECFE，所以NECE，NACF，再由已知條件CDAB于D，ADE50°，即可求出B的度數(shù)【詳解】解：連結(jié)CE，并延長CE，交BA的延長線于點(diǎn)N，四邊形ABCF是平行四邊形，ABCF，ABCF，NAEF，點(diǎn)E是的AF中點(diǎn)，AEFE，在NAE和CFE中， ，NAECFE（ASA），NECE，NACF，ABCF，NAAB，即BN2AB，BC2AB，BCBN，NNCB，CDAB于D，即NDC90°且NECE，DENCNE，NNDE50°NCB，B80°故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解

7、答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答3D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，且為的中點(diǎn)，所以,由此可判斷選項(xiàng)；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到，由此可判斷選項(xiàng)；同時(shí)延長和交于點(diǎn)， 可以證得，所以,由此可以判斷選項(xiàng)；由于，所以，由此可以判斷選項(xiàng)；【詳解】四邊形是平行四邊形 由于條件不足，所以無法證明,故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選項(xiàng)錯(cuò)誤；同時(shí)延長和交于點(diǎn) 在和 中： 由于條件不足，并不能證明，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； 為的中點(diǎn) 故選項(xiàng)正確；故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是求解本題的關(guān)鍵.4B【解析】【分析】延長AD到

8、E，使AD=DE，連結(jié)BE，證明ADCEDB就可以得出BE=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE，連結(jié)BEAD是ABC的中線，BD=CD在ADC和EDB中， ADCEDB（SAS），AC=BEAB-BEAEAB+BE，AB-AC2ADAB+ACAB=8，AC=5，1.5AD6.5故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵5A【解析】【分析】連接，利用SAS可證，從而得出，從而求出，即可判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出四邊形的面積為，從而判斷；延長到G使

9、，連接，證出和，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷【詳解】解：如圖，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，又，是等腰直角三角形正確，四邊形的面積為，四邊形的面積為16，為定值正確延長到G使，連接，在中，正確均正確，故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和三角形的三邊關(guān)系，掌握構(gòu)造全等三角形的方法是解決的關(guān)鍵6【解析】【分析】延長、交于點(diǎn)，連接FC，先依據(jù)全等的判定和性質(zhì)得到，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，依據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等及等量代換得到，依據(jù)三角形等邊對(duì)等角得到、，依據(jù)三角形內(nèi)角和得到，通過作差即得所求.【詳解】解：延長、交于點(diǎn)，連接FC，平行四邊形中，,，,

10、又點(diǎn)為邊中點(diǎn)，得,(ASA)，,故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.7；【解析】【分析】延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計(jì)算【詳解】如圖：延長至使，連接在和中： 即【點(diǎn)評(píng)】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵8【解析】【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運(yùn)用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)F,AB平行CD，則A=EDC，ABE=DFE，

11、又E為AD上的中點(diǎn)，BE=EF,所以.在直角三角形BCF中，BF=.【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理求解.930°【解析】【分析】利用“中線倍長法”構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得出等腰三角形，再通過作等腰三角形的高，依據(jù)銳角三角函數(shù)可求出答案【詳解】解：延長CD到E，使DECD，連接BE，過E點(diǎn)作EFBC，垂足為F，D是AB的中點(diǎn)，ADBD，又ADCBDE，DEDC，ADCBDE（SAS），ACBE，CD：AC：BC1：2：2，設(shè)CDm，則AC2mBECE，F(xiàn)CFBBCm，在RtCEF中，cosFCE，F(xiàn)CE30°，即BCD30

12、6;，故答案為：30°【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，理解直角三角形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提10【解析】【分析】延長AD到E使DE=AD=7，連接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如圖，先證明ADBEDC得到EC=AB=10，再利用AEF為等腰直角三角形計(jì)算出AF=EF=7，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CF，從而得到AC=6，接著利用ACH為等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理計(jì)算出CD，從而得到BC的長【詳解】延長AD到E使DE=AD=7，連接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如圖，AD是中線，BD=CD在ADB和E

13、DC中，ADBEDC（SAS），EC=AB=10在RtAEF中，DAC=45°，AE=14，AF=EFAE=7在RtCEF中，CF，AC=AFCF=6在RtACH中，HAC=45°，AH=CHAC=6，DH=ADAH=1在RtCDH中，CD，BC=2CD=故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：熟練掌握三角形高、中線的定義；構(gòu)造等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵116【解析】【分析】延長AD，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到【詳解】解：如圖，延長AD，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，AD是的中線，在和中，即點(diǎn)C到AD的距離是6【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定

14、，解題的關(guān)鍵是利用倍長中線的方法做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解12（1）；（2）AE2+BF2EF2，證明見解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理得DEBC，DEBC，進(jìn)而證明四邊形CEDF是矩形得DECF，得出CF，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；（2）過點(diǎn)B作BMAC，與ED的延長線交于點(diǎn)M，連接MF，證明ADEBDM得AEBM，DEDM，由垂直平分線的判定定理得EFMF，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論【詳解】解：（1）D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，DEBC，DEBC，ACB90°，DEC90°，DFDE，EDF90°，四邊形CEDF是矩形，DE

15、CFBC，CFBF1，CEAE2，EF；（2）AE2+BF2EF2證明：過點(diǎn)B作BMAC，與ED的延長線交于點(diǎn)M，連接MF，則AEDBMD，CBMACB90°，D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，ADBD，在ADE和BDM中，ADEBDM（AAS），AEBM，DEDM，DFDE，EFMF，BM2+BF2MF2，AE2+BF2EF2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形13詳見解析【解析】【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據(jù)SAS推出BDMCDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC，CAD=M，根據(jù)BF=AC可得B

16、F=BM，推出BFM=M，求出AFE=EAF即可【詳解】如圖，延長至點(diǎn)，使得，并連結(jié)，是三角形的中線，在和中，即【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長中線”法作出輔助線來構(gòu)造全等三角形14（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）由同角的余角相等證得及即可得出結(jié)論；（2）先由特殊角的三角函數(shù)值求出、，再由相似比求出，并進(jìn)一步得出，最后由面積公式得出與的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用是邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形全等，再由勾股定理探究、三者之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】（1）.證明：，.，.（2）在中，.是邊的中點(diǎn)，.在中，.又，

17、.由（1）得；，即，.（3）.理由如下：如圖2，延長，使.是的中點(diǎn)，.，.，則.，.【點(diǎn)評(píng)】本題以直角三角形為載體，以旋轉(zhuǎn)變換為切入點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等核心知識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想，檢測(cè)探究、推理、運(yùn)算等能力.15（1）且理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出、三點(diǎn)共線，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得出，從而證明；（2）延長至，使，連接交于，連接、，首先通過SAS證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明，進(jìn)而可利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)證明，從而可證明結(jié)論仍然成立；（3）連接，首先根據(jù)題意確定當(dāng)、，在同一直線上時(shí)，