導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)1 導(dǎo)數(shù)的概念第1頁(yè)/共128頁(yè)1.直線運(yùn)動(dòng)的速度問題直線運(yùn)動(dòng)的速度問題,)(0時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度求求數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)于于時(shí)時(shí)刻刻的的位位置置函函ttfs 0t如圖如圖,0tt 的時(shí)刻的時(shí)刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運(yùn)動(dòng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間tsv 平均速度平均速度0000)()(tttftfttss ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得tt00)()(lim0tttftfVtt 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度第2頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限播放播放MNT割線割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)

2、M旋旋轉(zhuǎn)而趨向轉(zhuǎn)而趨向極限位置極限位置MT,直線直線MT就稱就稱為曲線為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的切線的切線.第3頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第4頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第5頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第6頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第7頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第8頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第9頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題

3、切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第10頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第11頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN第12頁(yè)/共128頁(yè)2.切線問題切線問題切線：割線的極限切線：割線的極限MTN割線割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋旋轉(zhuǎn)而趨向轉(zhuǎn)而趨向極限位置極限位置MT,直線直線MT就稱就稱為曲線為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的切線的切線.第13頁(yè)/共128頁(yè) T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的的斜

4、斜率率為為切切線線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 第14頁(yè)/共128頁(yè),)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱這個(gè)極限為函并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1.定義定義第15頁(yè)/共128頁(yè).)()(lim)(0000hxfhxfx

5、fh 導(dǎo)數(shù)定義其它常見形式導(dǎo)數(shù)定義其它常見形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000)(,00 xfdxdyxx 即即第16頁(yè)/共128頁(yè).,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxfy 1）注注12 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)第17頁(yè)/共128頁(yè).)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfy

6、xfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著對(duì)于任一對(duì)于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即很明顯很明顯.)()(00 xxxfxf 2）如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).3）第18頁(yè)/共128頁(yè)右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):3 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000

7、xxfxxfxxxfxfxfxxx 判斷函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件：判斷函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件：)()()(000 xfxfxxf 點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)第19頁(yè)/共128頁(yè)例例.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy第20頁(yè)/共128頁(yè)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)

8、3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零。即即 . 0)( C第21頁(yè)/共128頁(yè)例例2 2.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1為常數(shù)為常數(shù) xx)()(21 xx例如例如,12121 x.21x )()1(1 xx11)1( x.12x 第22頁(yè)/共128頁(yè)例例3 3)

9、(sin,sin)( xxxf求求若若函函數(shù)數(shù)解解hxhxxxfhsin)sin(lim)(sin)(0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cosx xxcos)(sin 故故xxsin)(cos 同同樣樣地地，第23頁(yè)/共128頁(yè)例例4 4.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax xxee )( 特別地，特別地，.lnaax )( xa第24頁(yè)/共128頁(yè)例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa

10、 即即xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa xx1)(ln 特別地，特別地，第25頁(yè)/共128頁(yè)oxy)(xfy T0 xM1 幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程切線方程為為法線方程法線方程為為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 第26頁(yè)/共128頁(yè) 1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以得到曲線 在定點(diǎn) 處的切線方程為：)(xfy ),(000yxM)(000 xxxfyy 2、如果 ，則法線的斜

11、率為 ，從而點(diǎn) 處法線方程為：0)(0 xf)(10 xf )()(1000 xxxfyy0M第27頁(yè)/共128頁(yè) 例6 求曲線 在點(diǎn)（4，2）處的切線方程和法線方程。 xy 解： （1）函數(shù) 在x=2處的導(dǎo)數(shù)： xy 4xy （2）所求切線的斜率 41切k) 4(412xy044 yx即 （4）法線的斜率 ，故所求的法線方程為： 41切法kk) 4( 42xy0184yx即 （3）由直線的點(diǎn)斜式方程可得曲線的切線方程為： 41214xx第28頁(yè)/共128頁(yè) 例7 曲線 上哪些點(diǎn)處的切線與直線 平行？ 23xy 13 xy解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線 在點(diǎn) 處的 切線的斜率為： 23xy )

12、,(00yxM)(2300 xyxx 而直線 的斜率為 13 xy3k3230 x解此方程，得 40 x將 代入曲線方程 ，得 。 40 x23xy80y根據(jù)兩直線平行的條件有所以，曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 平行。23xy )8 , 4(M13 xy02102323xx 第29頁(yè)/共128頁(yè) 求曲線 在點(diǎn)（1，1）處的切線方程和法線方程3xy 解： 1xy3切k所以，切線方程為： ) 1( 31xy 法線方程為： ) 1(311xy即023 yx即043 yx3312xx即切線的斜率為： 第30頁(yè)/共128頁(yè)例例8 8.,)4 , 2(2方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處

13、處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy 解解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為2 xyk所求切線方程為所求切線方程為法線方程法線方程為為),2(44 xy),4(414 xy. 044 yx即即. 0174 yx即即xxy2)(2 42 xyk第31頁(yè)/共128頁(yè)2 簡(jiǎn)單的物理意義簡(jiǎn)單的物理意義1 1）變速直線運(yùn)動(dòng)中）變速直線運(yùn)動(dòng)中路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度體的瞬時(shí)速度.lim)(0dtdststvt 2 2）交流電路中）交流電路中電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度度.lim)(0dtdqtqt

14、it 3 3）非均勻物體中）非均勻物體中質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積面積,體積體積)的的導(dǎo)數(shù)為物體的線導(dǎo)數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.lim)(0dPdmPmPP 第32頁(yè)/共128頁(yè)結(jié)論：結(jié)論： 可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的。證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 第33頁(yè)/共128頁(yè)比如比如處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)0)( xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh

15、00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy注意注意: : 反之不成立反之不成立.即連續(xù)不一定可導(dǎo)。即連續(xù)不一定可導(dǎo)。第34頁(yè)/共128頁(yè)1. 導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義: 5. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);4. 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).第35頁(yè)/共128頁(yè)思考判斷思考判斷題題1、初等函數(shù)在其定義區(qū)

16、間內(nèi)必可導(dǎo)、初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必可導(dǎo)2、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)一一定定存存在在。處處有有切切線線，則則在在（曲曲線線、)()(,)( 3000 xfxfxxfy 第36頁(yè)/共128頁(yè)1、利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)8 . 018 . 18 . 18 . 1) 1 (xxy解：41333) 2(xxy2312121212121)()1() 3 (xxxxy491413413413413413413)()()() 4 (xxxxxxy81) 1 ( xy3)2( xyxy1)3(43)4(xxy第37頁(yè)/共128

17、頁(yè)2、熟記以下導(dǎo)數(shù)公式：、熟記以下導(dǎo)數(shù)公式： （1） （C)=0（2）1)(xx( 3)xxcos)(sin（4） xxsin)(cosaxxaln1)(logxx1)(ln（5） 八、作業(yè)八、作業(yè) P94: 1、 3、 4、 5、 6、 7. 第38頁(yè)/共128頁(yè)2 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則第39頁(yè)/共128頁(yè)定理定理2并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的和在點(diǎn)們的和在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的差在點(diǎn)們的差在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(x

18、vxuxvxu 定理定理1第40頁(yè)/共128頁(yè)證證(1)(1)()()(xvxuxf 設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 (2)(2)略略. .hxvhxvxuhxuh)()()()(lim0 )()(xvxu 第41頁(yè)/共128頁(yè)推論推論)()()( )()()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解xxxy1232第42頁(yè)/共128頁(yè)定理定理3并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的積在點(diǎn)們的積在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()()()( )(

19、)(xvxuxvxuxvxu 推論推論);( )()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意:);()( )()(xvxuxvxu 第43頁(yè)/共128頁(yè)例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的商們的商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理4第44頁(yè)/

20、共128頁(yè)證證),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 第45頁(yè)/共128頁(yè)hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf注意注意:.)()()()(xvxuxvxu 第46頁(yè)/共128頁(yè)例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)co

21、ssin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 第47頁(yè)/共128頁(yè)例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.xxxycotcsc)(csc 第48頁(yè)/共128頁(yè)解解, 1)( xf,0時(shí)時(shí)

22、當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxfcos)( ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( xxxxf第49頁(yè)/共128頁(yè).)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y), 0(xIxxx 法則法則第50頁(yè)/共128頁(yè)于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)因因?yàn)闉閤f0,0yx必必有

23、有時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng))0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即即是即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).第51頁(yè)/共128頁(yè)例例1 1.arcsinsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為直直接接函函數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyyx 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在所所以以)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 同理可得同理可得211x 211)(arccosxx 第52頁(yè)/共128頁(yè)例例2 2.arctantan的的

24、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為直直接接函函數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyyx 解解,)2,2(tan內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在所所以以),( xI)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 同理可得同理可得211x 211)cot(xxarc 第53頁(yè)/共128頁(yè)例例3 3, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx .log 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)，求為直接函數(shù)，求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xayya

25、x 第54頁(yè)/共128頁(yè)鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)證明證明,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則第55頁(yè)/共128頁(yè)xyx0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即因變量對(duì)

26、自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)自變量求導(dǎo). .第56頁(yè)/共128頁(yè)注注2 ),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例4 4.tanln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 第57頁(yè)/共128頁(yè)例例5 5.)cos(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(

27、1xxxeeevu 注：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以注：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以這樣寫：這樣寫： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee 第58頁(yè)/共128頁(yè)例例6 6.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy練習(xí)：練習(xí)：.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第59頁(yè)/共128頁(yè) 例例7 求求 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 )42tan(lnxy解：解： 設(shè)設(shè) 42,tan,lnxvvuuy由由

28、 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu第60頁(yè)/共128頁(yè) 熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量默記在熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量默記在心，由外及里、逐層求導(dǎo)。心，由外及里、逐層求導(dǎo)。 例例8 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)5)23(xy解解： y= (3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy2cos解解： y=(cosx)2=2cosx (cosx) =2cosx (

29、-sinx)x2sin第61頁(yè)/共128頁(yè) 例例10 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos(x3) 例例11 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy4sinlny=lnsin(4x)= sin(4x) x4sin1= cos(4x)(4x) x4sin1x4sin4= cos(4x)x4cot4第62頁(yè)/共128頁(yè) 例例12 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2cotxy 解：解： )2(cot)2(cot21)2cot(21xxxy)2(2sin12co

30、t1212xxx2cot12sin1412xx2sin42tan2xx第63頁(yè)/共128頁(yè)練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()( 2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2 3.解：解：第64頁(yè)/共128頁(yè) 4. 32ln1xy)ln1 ()ln1 (3121312xxy解 ： )(ln1 )ln1 (312322xx)(lnln20 )ln1 (31322xxxxx

31、xln12)ln1 (31322xxxln)ln1 (32322第65頁(yè)/共128頁(yè) 例例13 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xexy22sin).1 ()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx第66頁(yè)/共128頁(yè) 例例14 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)321)45(xxy解：解： y312)1 () 45 (xx)1)(45(312xx) 1()1 (31)

32、45()1 (1032231xxxx.)1 (1)45(311103223xxxx（1）第67頁(yè)/共128頁(yè)42)sin(xxy解 ：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin( 4232xxxx)(sinsin21 )sin(432xxxx)cossin21 ()sin( 432xxxx)2sin1 ()sin(432xxx（2）第68頁(yè)/共128頁(yè)l 先化簡(jiǎn)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)先化簡(jiǎn)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo) 例例15 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 112xxy解解 ：先將已知函數(shù)分母有理化，先將已知函數(shù)分母有理化，得得) 1)(1(1222xxxxxxy12xxy) 1(1211

33、22xx112xx（1）第69頁(yè)/共128頁(yè)xxycos1sin2解： 因?yàn)閤xycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnxxy解：因?yàn)?1lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）第70頁(yè)/共128頁(yè)練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xeyx3sin.1221.2xxeey)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeex第71頁(yè)/共

34、128頁(yè)xxy2cos12sin. 4xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1) 1(. 32xxy) 1)(1(1) 1(22xxxxy解：12 x) 1() 1(21) 1(2212xxx12 xxxx2) 1)(1(212121) 1(122xxxx11222xxx第72頁(yè)/共128頁(yè)chxshx )(shxchx )(xchthx21)( 211)(xarthx 211)(xarshx 11)(2 xarchx第73頁(yè)/共128頁(yè))11(1122xxxx 211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar

35、只證明其中一個(gè)公式只證明其中一個(gè)公式第74頁(yè)/共128頁(yè)例例1616.)arctan(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)shxy 解解)(112 shxxshychxxsh 211xshchx21 第75頁(yè)/共128頁(yè)xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 五五 小結(jié)小結(jié)第76頁(yè)/共128頁(yè)2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)

36、cot(11)(arccosxxxx arc2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 第77頁(yè)/共128頁(yè)3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決決.第78頁(yè)/共128頁(yè)(1)、

37、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，在于首先把、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵，在于首先把復(fù)合函數(shù)分解復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的和、差、積、商成初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的和、差、積、商，然后運(yùn)，然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。求用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。求導(dǎo)之后應(yīng)該把引進(jìn)的中間變量代換成原來的自變量。導(dǎo)之后應(yīng)該把引進(jìn)的中間變量代換成原來的自變量。(2)、 熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，可不寫出中間變量熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，可不寫出中間變量，直接，直接由外及里、逐層處理復(fù)合關(guān)系由外及里、逐層處理復(fù)合關(guān)系進(jìn)行求導(dǎo)。進(jìn)行求導(dǎo)。 (3)、有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)。、有些函數(shù)可先

38、化簡(jiǎn)再求導(dǎo)。 u 作業(yè)作業(yè) p102 2：(1) (12) 3: (1) (26)第79頁(yè)/共128頁(yè)六六 思考判斷題思考判斷題1 冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定可導(dǎo)。冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定可導(dǎo)。 2 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.3 3 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).第80頁(yè)/共128頁(yè).)()()()(4000點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)可導(dǎo)，點(diǎn)可導(dǎo)，在在、若、若xxgxfxxgxxf .)()()()(5000點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可

39、導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)可導(dǎo)，點(diǎn)可導(dǎo)，在在、若、若xxgxfxxgxxf.)()()()(6000點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在則則點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在點(diǎn)不可導(dǎo)，點(diǎn)不可導(dǎo)，在在、若、若xxgxfxxgxxf 第81頁(yè)/共128頁(yè)3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第82頁(yè)/共128頁(yè).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx xy2 消參數(shù)法消參數(shù)法 消參困難或無法消參的求導(dǎo)可用復(fù)合函數(shù)消參困難或無法消參的求導(dǎo)可用復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法1 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義由參數(shù)方程確定的函數(shù)的定義2 由參數(shù)方程所

40、確定的函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)的方法由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114第83頁(yè)/共128頁(yè)),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故第84頁(yè)/共128頁(yè),)()( 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)同樣得到函數(shù)同樣得到函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)(

41、)( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故第85頁(yè)/共128頁(yè)例例1 1解解:先求運(yùn)動(dòng)的方先求運(yùn)動(dòng)的方向向。的運(yùn)動(dòng)方向和速度大小的運(yùn)動(dòng)方向和速度大小拋射體在時(shí)刻拋射體在時(shí)刻求求設(shè)拋射體的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)拋射體的運(yùn)動(dòng)方程為tgttvytvx ,21,221xyovxvyv0v.,可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映軌道的切線方向軌道的切線方向時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向，即在在t第86頁(yè)/共128頁(yè))()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度為為1vdtdxvx gtvdtdyvy 2時(shí)刻拋射體的速

42、度為時(shí)刻拋射體的速度為故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，則則設(shè)設(shè)切切線線的的傾傾角角為為 再求速度的大小再求速度的大小鉛鉛直直分分速速度度為為第87頁(yè)/共128頁(yè)例例2 2解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程處的切線處的切線在在求橢圓求橢圓4sincos ttbytax.22,22,4byaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)22(22axabby abbxay2 即即第88頁(yè)/共128頁(yè)例例3 3 解解.arctan)1ln(2表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 ttytxdtdxdtdydxdy t

43、ttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 第89頁(yè)/共128頁(yè)., ,)()( 變變化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴賴的的之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)定定義義：相相關(guān)關(guān)變變化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率解決的問題相關(guān)變化率解決的問題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率第90頁(yè)/共128頁(yè)例例4 4解解?,500./140,500率是多

44、少率是多少觀察員視線的仰角增加觀察員視線的仰角增加米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為上升上升米處離地面鉛直米處離地面鉛直一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 米米500米米500第91頁(yè)/共128頁(yè)例例5 5解解大大速速率率。厘厘米米時(shí)時(shí)，氣氣體體體體積積的的增增求求在在半半徑徑為為秒秒的的速速度度增增

45、大大，厘厘米米已已知知一一氣氣球球半半徑徑以以 10 /103334rVVr ，則則，體體積積為為設(shè)設(shè)氣氣球球的的半半徑徑為為dtdrrdtdv24 于于是是有有240,10rdtdVscmdtdr 則則已已知知scmdtdVcmr324000104010 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)?2頁(yè)/共128頁(yè)隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過函數(shù)關(guān)系確

46、定兩個(gè)相互依賴的通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率變化率; ; 由其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率由其中一個(gè)變化率時(shí)求出另一個(gè)變化率第93頁(yè)/共128頁(yè)思考思考題題1,2,2222 tdxydtttdxdytytx設(shè)設(shè)下面的計(jì)算是否正確下面的計(jì)算是否正確第94頁(yè)/共128頁(yè)4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第95頁(yè)/共128頁(yè)變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度問題問題 ),(tss 設(shè)設(shè)dtdststv )()(則速度為則速度為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度而而加加速速度度tva).( )()()(tststvta 故故 即加速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。即加速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

47、第96頁(yè)/共128頁(yè).)() )(, )( )( 處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxf 記作記作2222)(),(,dxxfddxydxfy或或 )()( 22dxdydxddxydyy 或或即即類似地類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作記作3333)(),(,dxxfddxydxfy或或 第97頁(yè)/共128頁(yè)記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf

48、或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)xfxf 高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義第98頁(yè)/共128頁(yè)例例1 1.,arctanyyxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 1 1 直接法直接法求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù).例例2 2ybaxy 求求設(shè)設(shè),0, yay第99頁(yè)/共128頁(yè)例例3 3. 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式求求冪冪函函數(shù)數(shù)的的 n解解1

49、 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 )(Rxy 設(shè)設(shè)第100頁(yè)/共128頁(yè)例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn2 數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)第101頁(yè)/共128頁(yè)例例5 5.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22

50、cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得第102頁(yè)/共128頁(yè)3 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 公式（公式（3）稱為）稱為萊布尼茲公式萊布尼茲公式第103頁(yè)/共128頁(yè)例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公

51、式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第104頁(yè)/共128頁(yè)3 3 間接法間接法幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知

52、的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).第105頁(yè)/共128頁(yè)例例7 7.,11)50(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(!50)1(!50215151)50( xxy第106頁(yè)/共128頁(yè)高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則;n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).第107頁(yè)/共128頁(yè)思考判斷題思考判斷題322)(,1yydyxdydydx 則則設(shè)設(shè)第108頁(yè)/共128頁(yè)5 微分微分第109頁(yè)/共128頁(yè)2

53、0 xA 0 x0 x, 00 xxx 變到變到如果邊長(zhǎng)由如果邊長(zhǎng)由則則正正方方形形面面積積改改變變量量為為2020)(xxxA .)(220 xxx )()(;,的的主主要要部部分分為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax.,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)(: )(x x 2)( x xx 0 xx 01 1 面積問題面積問題 設(shè)有一邊長(zhǎng)為設(shè)有一邊長(zhǎng)為 的正方形的正方形0 x第110頁(yè)/共128頁(yè)2 自由落體問題自由落體問題202021)(21gtttgs 20)(21tgtgt ,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),( )(212tottg的高階無窮小的高階無窮小是是221 gts

54、 動(dòng)動(dòng)方方程程為為當(dāng)當(dāng)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)自自由由下下落落時(shí)時(shí)，運(yùn)運(yùn)時(shí)刻經(jīng)過的路程為時(shí)刻經(jīng)過的路程為時(shí)刻到時(shí)刻到質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從ttt 00tgts0 所以所以第111頁(yè)/共128頁(yè)1 定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函

55、數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy 第112頁(yè)/共128頁(yè) 恩格斯在恩格斯在自然辯證法自然辯證法中，對(duì)微分作了一個(gè)形中，對(duì)微分作了一個(gè)形象的解釋：象的解釋： 硫磺在一定溫度下被蒸發(fā)為硫磺氣，取一塊正方硫磺在一定溫度下被蒸發(fā)為硫磺氣，取一塊正方形硫磺薄板形硫磺薄板 ，放入容器，立刻降低容器內(nèi)的溫度，放入容器，立刻降低容器內(nèi)的溫度，則硫磺氣凝固為硫磺，一部分附著于薄板，設(shè)薄板則硫磺氣凝固為硫磺，一部分附著于薄板，設(shè)薄板的一對(duì)相鄰的兩邊和兩面均被某種不能附著硫磺的的一對(duì)相鄰的兩邊和兩面均被某種不能附著硫磺的物質(zhì)遮蓋，再設(shè)另一對(duì)相鄰兩邊的那一層硫磺分子，物質(zhì)遮蓋，再設(shè)另一對(duì)相鄰兩邊的那一層硫磺分子，而誤

56、差就是附著在角點(diǎn)的一個(gè)硫磺分子。因?yàn)閮蓷l而誤差就是附著在角點(diǎn)的一個(gè)硫磺分子。因?yàn)閮蓷l直線上的分子很多，誤差的這一個(gè)分子和它們相比，直線上的分子很多，誤差的這一個(gè)分子和它們相比，是微不足道的。是微不足道的。第113頁(yè)/共128頁(yè))(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 2 幾何意義幾何意義( (如圖如圖) ).,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) 第114頁(yè)/共128頁(yè)注注1 1：;)(,0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA;的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy注注2 2：dyyx ,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)注注3 3：xdxdyxy 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 第115頁(yè)/共128頁(yè)).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)第116頁(yè)/共128頁(yè)(2) 充