復(fù)變函數(shù)鐘玉泉三PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)鐘玉泉三復(fù)變函數(shù)鐘玉泉三2()nnzzz zz n 個(gè)個(gè)為為正正整整數(shù)數(shù)為冪函數(shù) 性質(zhì) (1). z=xR時(shí),zn=xn (2). 令z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) ) 1(3) ( ) nnnzA Cznz 第1頁/共28頁3這里的ex是實(shí)指數(shù)函數(shù)(cossin )zx iyxeeeyiy exp(cossin )xzeyiy也也可可表表示示為為 1.指數(shù)函數(shù)的定義:z將將此此函函數(shù)數(shù)稱稱為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù) 的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù). .定義2.4 對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定 , . (cossin )zxee

2、yiy 注注意意沒沒有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)代代表表實(shí)的正余弦函數(shù)第2頁/共28頁4z(2)|0, arg() e0 Arg()2,Zzxzzeeeyeykk z(3) e) =;zzee 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析, ,且且( (1) Im( )0, ( )xzzxRf ze 當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí)復(fù)指數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)函數(shù)保持一致.(4). 加法定理1212()zzzzeee (5) ez是以2 i為基本周期的周期函數(shù)6lim,zzee ( )( )極極限限不不存存在在 即即無無意意義義第3頁/共28頁5(1) 證明加法定理1212()zzzzeee 證 , , 2221

3、11iyxziyxz 設(shè)設(shè)12zzee左左端端121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12(). zze 右右端端幾點(diǎn)說明： 加法定理不能利用實(shí)數(shù)中的同底數(shù)冪的乘法法則予以證明第4頁/共28頁6因?yàn)椋寒?dāng)z沿實(shí)軸趨于+時(shí)ez; 當(dāng)z沿實(shí)軸趨于-時(shí), ez0.6limzze ( () )極極 限限不不 存存 在在 的的 說說 明明22 .zk izk izeeee 首首先先5ze( () )的的 周周 期期 性性 的的 說

4、說 明明 ,: zz wzwezee 其其次次是是 的的一一個(gè)個(gè)周周期期, ,則則對(duì)對(duì)0,0: 11w a ibwa ibzeee 特特別別取取1,rg122awebaikki 2 i是ez的周期2 i是ez的基本周期第5頁/共28頁7例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解)sin(cos yiyeeexiyxz 因?yàn)橐驗(yàn)?.cos)Re( , yeeeexzxz 實(shí)部實(shí)部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yix

5、e 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第6頁/共28頁8例2 解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的輻角的輻角因?yàn)橐驗(yàn)閥iyeeexiyxz )(2Arg為整數(shù)為整數(shù)kkyez .,(- arg 內(nèi)的一個(gè)輻角內(nèi)的一個(gè)輻角為區(qū)間為區(qū)間其輻角主值其輻角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie第7頁/共28頁9 ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24

6、arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i第8頁/共28頁10 2sin2cos2sin2 i ,20 因?yàn)橐驗(yàn)? 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是復(fù)數(shù)上式就是復(fù)數(shù) iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )(arg iiee ,2 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )(arg iiee .22 第9頁/共28頁11例3 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )( 5zezf 解,2ikez 的周期是的周期是5)(z

7、ezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 第10頁/共28頁121. 三角正弦與余弦函數(shù),sincos yiyeiy 因?yàn)橐驗(yàn)?sincos yiyeiy 將兩式相加與相減, 得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.第11頁/共28頁13 cos,2izizeez 余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為: : s2in.izizeeiz 正正弦弦函函數(shù)數(shù)為為定義2.5 對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,規(guī)定z的 性質(zhì): (1) sinsin ,coscos.zxRzxzx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí):

8、: 是是實(shí)實(shí)三三角角函函數(shù)數(shù)(2) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz 第12頁/共28頁14(3) sin , cos.zz是是奇奇函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù).cos)cos(,sin)sin(zzzz 遵循通常的三角恒等式，如 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz 12121212()()122n=.2sii zzi zzizizizizeee eeezizi112211222222.izizizizizizizizeeeeee

9、eeii1212sincoscossinzzzz第13頁/共28頁15 , 時(shí)時(shí)為純虛數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)當(dāng)yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix第14頁/共28頁16例9 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解,sin)2sin( zz 因?yàn)橐驗(yàn)?5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因?yàn)?/p>

10、又因?yàn)?5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (4)sincos2.zz 和和都都是是以以為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)第15頁/共28頁17 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)sinz的零點(diǎn)(i.e. sinz=0的根)為z=ncosz的零點(diǎn)(i.e. cosz=0的根)為z=(n+1/2)n=0,1, 2,n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ (5)(6)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無界函數(shù)第16頁/共28頁

11、182. 其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義,cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù) . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我們可以討論它們的我們可以討論它們的類似類似和和與與zz1.都是相應(yīng)實(shí)函數(shù)的推廣2.定義域：tanz,secz的定義域?yàn)閦(k+1/2) cotz,cscz的定義域?yàn)閦k3.它們都在自己的定義域內(nèi)解析。 (tanz)=sec2z, (cotz)=-csc2z (secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz

12、4. tanz cotz的周期是 secz cscz的周期是25 secz是偶函數(shù) tanz cotz, cscz是奇函數(shù)第17頁/共28頁19例10 . tan 的實(shí)部與虛部的實(shí)部與虛部確定確定z解zzzcossintan , iyxz 設(shè)設(shè))cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(tan z )Im(tan z 第18頁/共28頁20例11解 ,

13、 iyxz 設(shè)設(shè) . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因?yàn)橐驗(yàn)? 0sin x所以所以, kx代入代入將將 kx1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即第19頁/共28頁21例12 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解2)1cos()1()1(iiiieei 211iiee )1sin1(co

14、s)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 第20頁/共28頁221sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222

15、i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i第21頁/共28頁231. 雙曲函數(shù)的定義 cosh,2zzeez 雙雙曲曲余余弦弦sinh,2zzeez 雙雙曲曲正正弦弦sh tanh.chzzzzzeezzee 雙雙曲曲正正切切2.2.4 雙曲函數(shù)ch coth.shzzzzzeezzee 雙雙曲曲余余切切1sechchzz 雙雙曲曲余余割割 1 coth.chzz 雙雙曲曲正正割割2. 雙曲函數(shù)的性質(zhì). , 的的定定義義完完全全一一致致函函數(shù)數(shù)它它與與高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中的的雙雙曲曲時(shí)時(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)xz第22頁/共28頁24.cosh , sinh ,是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函

16、數(shù)是奇函數(shù)容易證明容易證明zz它們的導(dǎo)數(shù)分別為,cosh)(sinhzz 并有如下公式:coshcos ,ziz .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它們都是以 為周期的周期函數(shù),i 2.sin)(coshzz sinhsin .ziiz 參見課本P87-8816-19題第23頁/共28頁25例13解. 1tanh z解方程解方程zzzzeeeez tanh,1122 zzee,1122 zzee , ,2ivuez 并令并令兩邊平方兩邊平方, 0 )1()1(2222 uvuvu或或)Re( 2zeu 因?yàn)橐驗(yàn)?)Im(2cos)Re(2zez 0)Im(2cos0 zu,24)Im( kz. 24)Im( 1tanh zkzz的所有復(fù)數(shù)的所有復(fù)數(shù)的解是的解是故故 ., 2, 1, 0 k其中其中第24頁/共28頁26 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性. 如: 1.