多元函數(shù)微分學85月11日PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學85月月11日日一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某個鄰域內有定義 如果對于該鄰域內任何點(x y) 都有在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.2243yxz22zxy yxz 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 ,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf).,(),(),(0000yxfyxyxf為處取得極小值，極小值在點則稱).,(),(),(0000yxfyxyxf為處取得極大值，極大值在點稱第1頁/共33頁注注 1. 使偏導

2、數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .但駐點不一定是極值點.如,定理定理1 (必要條件)函數(shù)存在偏導數(shù),證證:據一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 ,則有的某個鄰域在點),(),(00yxyxfz ),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 第2頁/共33頁 2. 從幾何上看 這時如果曲面zf(x y)在極值點(x0 y0 z0)處有切平面 則切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)

3、成為平行于xOy坐標面的平面zz0 類似地可推得 如果三元函數(shù)uf (x y z)在點(x0 y0 z0)具有偏導數(shù) 則它在點(x0 y0 z0)具有極值的必要條件為 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 的鄰域在元函數(shù)),(),(00201021nnxxxPxxxfn，則存在偏導數(shù)且達到極值niPxfi, 2 , 1, 0)(0第3頁/共33頁時, 具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內具有連續(xù)的二階偏導數(shù), 且令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當證明見 P108 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的

4、在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC第4頁/共33頁, 0),( yxfx0),( yxfy求函數(shù)極值的一般步驟：第一步 解方程組求出實數(shù)解，得所有駐點.第二步 對于每一個駐點(x0, y0), 求出二階偏導數(shù)的值A、B 、C.第三步 定出ACB2的符號，再判定是否是極值.),(yxfz 第四步對偏導數(shù)不存在的點(包括邊界點)，再判定是否是極值點.第5頁/共33頁例例1.求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點.得駐點: (1, 0) , (1,

5、 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第6頁/共33頁在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122

6、 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第7頁/共33頁0182106222zyzyxyx設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值點和極值。 練習：練習：第8頁/共33頁例例2. 討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 ,

7、 0(222yxz第9頁/共33頁 注 不是駐點也可能是極值點. 因此, 在考慮函數(shù)的極值問題時, 除了考慮函數(shù)的駐點外, 如果有偏導數(shù)不存在的點, 那么對這些點也應當考慮. 但(0 0)不是函數(shù)的駐點 例如 函數(shù)22yxz在點(0 0)處有極大值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值第10頁/共33頁 最值應用問題最值應用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值(大大)(大大)依據第11

8、頁/共33頁 例3 欲將長度為a的細桿分為三段,試問如何分才能使三段長度乘積為最大? 解 設第一段和第二段的長分別為x y 則三段長度乘積為 ).,0()(),(ayxyxaxyyxfz02),(02),(22xxyaxyxfyxyayyxfyx解方程組).3,3(aa得駐點).3,3(aa得駐點,2),(,22),(,2),(xyxfyxayxfByyxfAyyxyxx處，在點)3,3(aa，03)3()32)(32(222aaaaBAC.27)3,3()3,3(3aaafaa處，函數(shù)取得最大值故在點第12頁/共33頁極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法

9、代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法第13頁/共33頁,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第14頁/共33頁引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L(x

10、,y) 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0),(),(),(yxyxfyxLxxx0),(),(),(yxyxfyxLyyy0),(),(yxyxL利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(),(yxyxfyxL第15頁/共33頁推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01

11、F02F第16頁/共33頁例例4.要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xL02zyyzyL02zxxzzL0)(2yxyxL00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(2),(0VzyxyxzyzxzyxLxyz第17頁/共33頁得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此,當高為,340Vxyz思考思考: :1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示

12、: : 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價最省, 應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示: :)()(2),(0VzyxyxzyzxyxL2長、寬、高尺寸相等 .第18頁/共33頁例例5.設生產z噸某產品與所用A,B兩種原料噸數(shù)x,y之間的關系式為 現(xiàn)擬向銀行貸款150萬元購買原料, A,B兩種原料每噸價格分別為1萬元和2萬元,問怎么樣購進這兩種原料使該產品生產的數(shù)量最多?分析： 依題意,問題歸結為求函數(shù).005. 0),(2yxyxzyxyxz2005. 0),(在附加條件x+2y=150下的最大值.第19頁/共33頁例例5.令解

13、方程組解解: 依題意,問題歸結為求函數(shù)xL001. 0 xyyL02005. 02xL01502yx)1502(005. 0),(2yxyxyxLyxyxz2005. 0),(在附加條件x+2y=150下的最大值.2525,100，得yx因為此問題的最大值是存在的,且駐點是唯一的,所以點(100,25)是z(x,y)的最大值點, 其最大值為z(100,25)=1250第20頁/共33頁已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設 C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考與練習 210

14、31013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx第21頁/共33頁設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS第22頁/共33頁 在實際問題中，常常需要根據兩個變量的幾組實驗數(shù)值在實際問題中，常常需要根據兩個變量的幾組實驗數(shù)值實驗數(shù)據，來找出這兩個變量的函數(shù)關系的近似表達式（經驗公式）實驗數(shù)據，來找出這兩個變量的函數(shù)關系的近似表達式

15、（經驗公式）問題：解決這個問題的常用的方法是什么？問題：解決這個問題的常用的方法是什么？第23頁/共33頁 例例某證券公司近幾年投資于資本市場的資金額如下表所示：某證券公司近幾年投資于資本市場的資金額如下表所示：第24頁/共33頁xyo1243400450500550如圖，在坐標紙上畫出如圖，在坐標紙上畫出這些點，這些點，因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的 ，使得，使得 在在 處的函數(shù)值與實際數(shù)據處的函數(shù)值與實際數(shù)據 相差都很小相差都很小ba,baxxf)(410,xxx410,yyy解解600第25頁/共33頁就是要使偏差

16、就是要使偏差 )4 , 1 , 0()(ixfyii都很小都很小.因此可以考慮選取常數(shù)因此可以考慮選取常數(shù) ，使得，使得 ba,402)(iiibaxyM定義定義這種根據偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)這種根據偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù) 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個偏差的絕對值都很小最小來保證每個偏差的絕對值都很小第26頁/共33頁M把看成自變量把看成自變量 和和 的一個二元函數(shù)，的一個二元函數(shù)，ab那么問題就可歸結為求函數(shù)那么問題就可歸結為求函數(shù) 在那些點處取得最小值在那些點處取得最小

17、值.),(baMM 4040; 0)(2, 0)(2iiiiiiibaxybMxbaxyaM令即即4040. 0)(, 0)(iiiiiiibaxyxbaxy第27頁/共33頁將括號內各項進行整理合并，并把未知數(shù)將括號內各項進行整理合并，并把未知數(shù) 和和 分離出來，便得分離出來，便得ab) 1 (.5,40404040402iiiiiiiiiiiybxaxyxbxa計算得計算得,1040iix,30402iix,270040iiy561040iiixy第28頁/共33頁代入方程組（代入方程組（1）得）得.2700510,56101030baba解此方程組，得到解此方程組，得到.498,21ba這樣便得到所求經驗公式為這樣便得到所求經驗公式為)2(.49821)(xxfy.6032007,6035年的投資額為即時，當yx第29頁/共33頁用的一種用的一種，其中最小二乘法是常，其中最小二乘法是常作曲線擬合有多種方法作曲線擬合有多種方法，給定平面上一組點給定平面上一組點), 3 , 2 , 1(),(n