初中行程問題-專題講解

1、初中列方程解應用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關(guān)的問題。我們常用的基本公式是: 路程速度×時間；速度路程÷時間；時間路程÷速度.行程問題是個非常龐大的類型,多年來在考試中屢用不爽,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習,熟悉了行程問題的學生,在多種類型的習題面前都會顯得得心應手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運行速度從提高到,運行時間縮短了。甲，乙兩城市間的路程是多少?【分析】如果設甲，乙兩城市間的路程為,那么列車在兩城市間提速前的運行

2、時間為，提速后的運行時間為.【等量關(guān)系式】提速前的運行時間提速后的運行時間=縮短的時間.【列出方程】. 例2：某鐵路橋長1000，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1，整列火車完全在橋上的時間共。求火車的速度和長度?！痉治觥咳绻O火車的速度為，火車的長度為，用線段表示大橋和火車的長度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： y 1000 60x1000y 40x【等量關(guān)系式】火車行駛的路程=橋長+火車長；火車行駛的路程=橋長-火車長 【列出方程組】 舉一反三：1小明家和學校相距。小明從家出發(fā)到學校，小明先步行到公共汽車站，步行的速度為60，再乘公共汽車到學校，發(fā)現(xiàn)比步行的時間縮短

3、了，已知公共汽車的速度為，求小明從家到學校用了多長時間。2根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運專線項目建成后，連云港至徐州的最短客運時間由現(xiàn)在的2小時18分鐘縮短為36分鐘，其速度每小時將提高.求提速后的火車速度。（精確到）3徐州至上海的鐵路里程為，從徐州乘”C “字頭列車A，”D”字頭列車B都可直達上海，已知A車的速度為B車的2倍，且行駛的時間比B車少.求A車的速度及行駛時間。（同學們可能會認為這是雙人行程問題，其實這題的類型可歸結(jié)于例1的類型，把B車的速度看成是A提速后的速度，是不是也可看成單人單程的問題呀?。?一列勻速前進的火車用15秒的時間通過了一個長300米的隧道（即從車頭進

4、入隧道到車尾離開隧道）。又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，（光速）1）求這列火車的長度2）如果這列火車用25秒的時間通過了另一個隧道，求這個隧道的長 2.單人雙程（等量關(guān)系式：來時的路程=回時的路程）：例1：某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了;返回時汽車以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了.學校距自然保護區(qū)有多遠?！痉治觥咳绻O學校距自然保護區(qū)為，由題目條件：去時用了，則有些同學會認為總的速度為，然后用去時走平路的速度+去時爬坡的速度=總的速度，得出方程，這種解法是錯誤的，因為速度是不能相加的。不妨設平路的長度為，坡

5、路的長度為，則去時走平路用了，去時爬坡用了，而去時總共用了，這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了，回來時走平路用了，而回來時總共用了.則學校到自然保護區(qū)的距離為?！镜攘筷P(guān)系式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時間 回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時間【列出方程組】注：單人雙程的行程問題抓住來時的路程=回時的路程、路程=速度×時間，再把單人單程的行程問題練練熟就ok了，題型跟單人單程的題型差不多，把上面的例題弄懂，這里就不多做練習了。 3.雙人行程:（）單塊應用：只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行：A,B兩

6、事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距?！痉治觥咳绻O經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 80x km 乙 甲60x km280km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】2）同時同地背向而行：A，B兩事物同時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距?！痉治觥咳绻O經(jīng)過后兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙 60x km80x km280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離

7、+乙車行駛的距離=280【列出方程】3）同時相向而行（相遇問題）:例:甲，乙兩人在相距的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時處發(fā)后相遇，求甲，乙兩人的速度。【分析】如果設甲的速度為，則乙的速度為，甲走過的路程為，乙走過的路程為，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.5×2x km乙AB 10 km 280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】4）追及問題：例：一對學生從學校步行去博物館，他們以的速度行進后，一名教師騎自行車以的速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了多少時間？【分析】如果設這名教師從出發(fā)到

8、途中與學生隊伍會合共用了，則教師走過的路程為，學生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學生在教師出發(fā)前走過的路程為，學生在教師出發(fā)后走過的路程為，又由于教師走過的路程等于學生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 學生5x km 教師 15x km【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學生在教師出發(fā)前走過的路程+學生在教師出發(fā)后走過的路程【列出方程】5）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)后甲，乙兩人同時到達B地，已知乙的速度為，問，甲的速度為多少？【分析】如果設甲的速度為，則乙出發(fā)前甲走過的路程為，乙出發(fā)后甲走

9、過的路程為，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 甲x km3x km 乙 50×3 km【等量關(guān)系式】乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為；一列快車從乙站出發(fā)，速度為。兩車相向而行，慢車先出發(fā)，快車開出后多少時間兩車相遇？【分析】如果設快車開出后兩車相遇，則慢車走過的路程為，快車走過的路程為100。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 慢車60x100x快車 448km【等量關(guān)系式】總路程=快車出

10、發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行、不同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問題就會迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會在后面練習中給出習題。（）結(jié)合應用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應用。1） 相向而行+背向而行例：A，B兩地相距，小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過后兩人相遇；再過，小明余下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？ 【分析】如果設小明騎車的速度為，小麗

11、騎車的速度為，相遇前小明走過的路程為，小麗走過的路程為；相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為，小麗走過的路程為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 小明 小麗 相遇前xyAB36kmx-0.5y0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程 相遇后小明余下的路程=2×相遇后小麗余下的路程【列出方程組】2)同向而行+相向而行例：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米/時的速度前進，突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新

12、會合，經(jīng)過了多長時間？【分析】由題意“1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進10千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時間為，不妨設1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合的時間為。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊員 1號隊員35x45x10km【等量關(guān)系式】1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時間所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)1號隊員走的路程=10?！玖谐龇匠獭孔ⅲ荷婕按祟悊栴}的還有同向而行+相背而行、追及+同向而行、追及+相背而行、追及+相向而行，只要把它們分成單個類型，按照題意一步一

13、步求解，這里就不一一舉例了，此類問題會在后面練習中給出習題。舉一反三：1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40級，乙平均每分鐘爬樓梯50級，甲先出發(fā)，結(jié)果兩人同時到達樓頂。問從樓底到樓頂共有樓梯多少級？2甲，乙兩人在相距的兩地相背而行，后甲，乙兩人相距，已知甲的速度為，求乙的速度。3.小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，（1如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小明站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明能追上小彬。4.一隊學生去校外進行軍事野營訓練。他們以的速度行進，走了的時候，學校要將

14、一個緊急通知傳給隊長。通訊員從學校出發(fā)，騎自行車以的速度按原路追上去，隊長出發(fā)后經(jīng)過多少時間接到通知？5.兩輛汽車同時從A地出發(fā)，沿一條公路開往B地。甲車比乙車每小時多行8千米，甲車比乙車早40分鐘到達途中的C地，當乙車到達C地時，甲車正好到達B地。已知C至B地的路程是40千米，求乙車每小時行多少km？6.A，B兩地相距，甲，乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行。已知甲車速度為，乙車速度為，經(jīng)過多少小時兩車相距。7甲乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距900千米的AB兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是每小時25千米，乙車的速度是每小時20千米。請問：（1）甲車第一次從后面追上乙車是在出發(fā)后多長時

15、間？（2）甲車在第一次從后面追上乙車之后又經(jīng)過多長時間第二次從后面追上乙車？（3）甲乙兩車第二次迎面相遇是在出發(fā)后多長時間？4.行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位“1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相當于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要，乙開汽車從A地到B地需要，如果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇。【分析】題目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程

16、無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢？為此，我們不妨設A與B的距離為,經(jīng)過后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：，可以把兩邊的消去，得到方程，立馬得出。說明路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。舉一反三：1.甲從A地到B地需要，乙從A地到B地需要，甲，乙兩人同時從A地出發(fā)，甲先到達B地后掉頭向A方向行駛，問，甲，乙兩人從A地同時出發(fā)到兩人相遇需要多長時間？2.甲開汽車從A地到B地需，乙騎摩托車從B地到A地需。如果乙騎摩托車從B地出發(fā)往A地，后甲開汽車從A地往B地，那么甲出發(fā)多少時間與乙相遇？5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)

17、形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例1：運動場跑道周長，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋?，他們從同一地點沿跑道的同一方向同時出發(fā)，后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過兩人第二次相遇呢？如果不是，請說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O爺爺?shù)呐懿剿俣葹?，則小紅的跑步速度為【等量關(guān)系式】小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m【列出方程】注：再過兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為的圓形軌道上運

18、動。甲車的速度較快，當兩車反向運動時，每相遇一次;當兩車同向運動時，每相遇一次，求兩車的速度。【分析】設甲，乙兩車的速度分別為和?！镜攘筷P(guān)系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周長 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長【列出方程組】舉一反三：1.甲，乙兩人在周長長的環(huán)形跑道上競走，已知乙的速度是，甲的速度是乙的1.25倍，乙在甲前。問多少分鐘后，甲可以追上乙？2.甲，乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔相遇一次;同向而行，每隔相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙兩人每分鐘個跑幾圈？6.水流問題一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的

19、一種類型，它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度 水速：水流動的速度順水速度：船順流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度順速=船速水速逆速=船速水速船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2流水速度=（順流速度逆流速度）÷2路程=順流速度× 順流航行所需時間路程=逆流速度×逆流航行所需時間例1：某船在的航道上航行，順流航行需，逆流航行需。求船在靜水中航行的速度和水流的速度?！痉治觥吭O船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為和，順流的速度為，逆流的速度為，再利用上面的公式?！镜攘筷P(guān)系式】順速=船速水速逆速=船

20、速水速【列出方程】 例2：甲，乙兩艘貨船，甲船在前30千米處逆水而行，乙船在后追趕。甲乙兩人的靜水速度分別是36千米/小時和42千米/小時,水流速度是4千米/小時，求甲船行多少時間被乙船追上？【分析】已知甲乙兩人的靜水速度和水流速度，可以分別求出甲乙兩人的逆水速度，分別為32千米/小時和38千米/小時。不妨設甲船行小時后被乙船追上，再根據(jù)公式路程=逆流速度×逆流航行所需時間，則甲行駛的路程為千米，乙行駛的路程為千米，這樣就可以把此問題轉(zhuǎn)化為追擊問題?！镜攘筷P(guān)系式】甲行駛的路程+30=乙行駛的路程【列出方程】舉一反三：1.一艘小船逆水而行，到A地時隨聲帶的一個重要的水壺掉入水中隨波而下

21、。半小時之后船行到B地，發(fā)現(xiàn)丟失了水壺，立即返回尋找，終于在距離A地5千米的地方追上水壺，然后又用了10分鐘返回A地，求從B地順水行到A地時用了多少分鐘？七、初中數(shù)學結(jié)合函數(shù)圖象解決“行程問題”數(shù)形結(jié)合的思想在函數(shù)章節(jié)的具體應用 函數(shù)章節(jié)，是學生學習的難點，也是重點內(nèi)容之一。有了函數(shù)的思想好多中考中的實際問題便能迎刃而解。學函數(shù)要掌握好函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并能利用函數(shù)圖像，解決實際應用問題，真正的體會到數(shù)形結(jié)合在函數(shù)章節(jié)的具體應用。下面剖析幾個實例，讓同學們清楚地認識到這一點。 例1 已知：如圖1，A、B兩地相距4千米，上午8：00，甲從A地出發(fā)步行到B地，8：20乙從B地出發(fā)騎自行車到A地，甲

22、、乙兩人離A地的距離（千米）與所用的時間（分）之間的關(guān)系如圖所示。由圖中的信息可知，乙到達A地的時間為（ ） A. 8：30 B. 8：35 C. 8：40 D. 8：45點撥：結(jié)合題意，甲、乙兩人離A地的距離（千米）與所用的時間（分）之間的關(guān)系如圖所示，可以推出：從原點出發(fā)的這條線段是甲的圖象，另一條是乙的圖象。容易求得甲的解析式為：當時，從而求出乙的速度為：（千米/分），則乙到達A地的時間為：（分），故選C。例2 如圖2，OA、BA分別表示甲、乙兩名學生運動的一次函數(shù)圖象，圖中s和t分別表示運動路程和時間，根據(jù)圖象快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A. 2.5米B. 2米C. 1.5米D.

23、 1米點撥：從圖上分析可知，甲、乙相距12米，甲速度快，經(jīng)過了8秒，甲追趕上了乙，兩個人相遇。就可以得到：8秒甲比乙多走了12米，即每秒多走1.5米。正確答案選C。 例3 圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（千米）和行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，給出下列說法：汽車共行駛了120千米；汽車在行駛途中停了0.5小時；汽車在這個行駛過程中的平均速度為千米/小時；汽車自出發(fā)后34.5小時之間行駛的速度在逐漸減少。其中正確的說法有（ ） A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個 點撥：從圖象看出，汽車往返于120千米的兩地，

24、去時停留了0.5小時，共用了3個小時，回來用了1.5小時，所以汽車一共行駛了240千米；汽車在行駛途中停了0.5小時；汽車在這個行駛過程中的平均速度為（千米/小時）；車自出發(fā)后34.5小時之間行駛的平均速度為（千米/小時）。故選A。 例4 甲、乙兩名同學進行登山比賽，圖表示甲同學和乙同學沿相同的路線同時從山腳出發(fā)到達山頂過程中，各自行進的路程隨時間變化的圖象，根據(jù)圖象的有關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題： （1）分別求出表示甲、乙兩同學登山過程中路程s（千米）與時間t（時）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍） （2）當甲到達山頂時，乙行進到山路上的某點A處，求A點距山頂?shù)木嚯x； （3）在（2）的條件下

25、，設乙同學從A處繼續(xù)登山，甲同學到達山頂后休息1小時，沿原路下山；在點B處與乙相遇，此時點B與山頂距離為1.5千米，相遇后甲、乙各自按原來的路線下山和上山，求乙到達山頂時，甲離山腳的距離是多少千米？點撥：（1）。（2）當甲到達山頂時，走了12千米，當時，代入，可得，此時乙距離山頂：（千米），即A點距山頂?shù)木嚯x為4千米。 （3）解法一：乙同學在一小時內(nèi)走了2千米，距離山頂還有2千米時，甲同學下山，可以求出點D的坐標為（5，12）。由題意可知道，甲與乙在點B處相遇，此時點B與山頂距離為1.5千米，所以B點的縱坐標為代入，得，即，所以直線DB的解析式為，由當時，t6，把t6代入，所以乙到達山頂時，甲離山腳的距離是6千米。