廣州越秀最好補習班-恒高一對一-中考輔助線作法.

1、新王牌初三數(shù)學鄺老師專用資料中考添加輔助線專題復習【知識要點】 平面幾何是中學數(shù)學的一個重要組成部分，證明是平面幾何的重要內(nèi)容。許多初中生對幾何證明題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證明題，往往束手無策。在這里我們介紹"添加輔助線"在平面幾何中的運用。一 、三角形中常見輔助線的添加1. 與角平分線有關(guān)的 可向兩邊作垂線。 可作平行線，構(gòu)造等腰三角形 在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形2. 與線段長度相關(guān)的 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可 補短：證明某兩條線

2、段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可 倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。 遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的 考慮三線合一 旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)二 、四邊形 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.1、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法 平行四邊形是最常

3、見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題. 作菱形的高；連結(jié)菱形的對角線.3、與矩形有輔助線作法 . 計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.4、與正方形有關(guān)輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對

4、稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.5、與梯形有關(guān)的輔助線的作法 和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.三 、圓1遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。 作用： 利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的

5、一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。2遇到有直徑時 常常添加（畫）直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。 3遇到90度的圓周角時 常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。4遇到弦時常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。5遇到有切線時 （1）常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點） 作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加連結(jié)圓上一點和切點 作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦

6、切角定理。6遇到證明某一直線是圓的切線時 （1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。 作用：若OA=r，則l為切線。 （2） 若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑） 作用：只需證OAl，則l為切線。 （3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線 7  遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。 作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系； 垂直關(guān)系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三

7、個頂點的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。9遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點 作用：外心到三角形各頂點的距離相等。10遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。 作用：利用切線的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識。11遇到兩圓相交時常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等。 作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)； 垂徑定理。12遇到兩圓相切時常常作連心線、公切線 作用： 利用連心線性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。13 遇

8、到三個圓兩兩外切時常常作每兩個圓的連心線。 作用：可利用連心線性質(zhì)。 14遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質(zhì)。人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試

9、試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證

10、明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點、作中線，中線處長加倍看；底角倍半角分線，有時也作處長線；線段和差及倍分，延長截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；四邊形、對角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線；兩腰處長義一點，亦可平移對角線；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特

11、殊邊，作出垂線就解決；實際問題莫要慌，數(shù)學建模幫你忙；圓中問題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連；切點圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復雜圖形多分解；以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便?！練v年考卷形勢分析及中考預測】平面幾何是歷年來中考和競賽的必考內(nèi)容，其題目的靈活性遠遠是代數(shù)題目所不能比擬的，從簡單的選擇填空到較為復雜的中考壓軸題甚至競賽中的壓軸題，出題范圍極為廣泛，難易程度差距較大，對于學生的數(shù)學知識綜合運用能力考察較多?？v觀近6年廣州市的中考試題，分值分布大約在60分左右，其中簡單的題目大約占43

12、分，其余的17分較難，每年必有一道幾何壓軸題，分值14分，經(jīng)常和實際問題，動點問題及函數(shù)問題結(jié)合，難度較大，應(yīng)引起同學們的高度重視。題目難主要難在輔助線的添加，尤其像特殊四邊形及圓中的問題，從中考考綱來看，2011年廣州市中考命題，同往年相比，變化不大，壓軸題中可能會以三角形或四邊形結(jié)合動點問題給出，或者以圓中相關(guān)知識為背景，結(jié)合動點，函數(shù)問題給出，區(qū)分度較大。、ABECD【考點精析】考點1. 三角形：例1 如圖，AB=CD，E為BC中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。例3 如圖95，設(shè)O是正三角形ABC內(nèi)一點，已知AOB=115°，BOC=125°。求以線段OA，O

13、B，OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。圖95BACOABCDMN例4 如圖所示，ABC是邊長為4的正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N兩點，連結(jié)MN，求AMN的周長.【舉一反三】2、如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCA 3如圖921，設(shè)O是正三角形ABC內(nèi)一點，已知AOB=80°，BOC=135°，求以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。BOAC圖921考點2. 四邊形：例5 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點

14、，四邊形OCDE是平行四邊形. 求證:OE與AD互相平分.例6 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 例7 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.例8 如圖，在正方形ABCD中，E為內(nèi)部一點且是正三角形，求的度數(shù)ABCDE例9 如圖，ABCD，M、N分別為AD、BC中點，MN交AC、BD于G、H點。 求證：GH=（CDAB）ADCBMNHG【舉一反三】1. 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.2. 如圖6，四邊形ABCD是

15、菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.3如圖：正方形ABCD，AE+CF=EF，求證：AEBFCD4、如圖，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，對角線ACBD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面積?？键c3. 圓：例10 （2010江蘇泰州，18，3分）如圖O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為，則試求弦AC、BD所夾的銳角 例11 (2010年安徽蕪湖市)如圖所示，在圓O內(nèi)有折線OABC，其中OA8，AB12， AB60°，試求BC的長為.例12（2010山東臨沂）如圖,是半圓的直徑,為圓心,、是半圓的

16、弦，且.(1)判斷直線是否為的切線，并說明理由；(2)如果，求的長。例13（2010江蘇宿遷）（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑， P為AB延長線上任意一點，C為半圓ACB的中點，PD切O于點D，連結(jié)CD交AB于點EPBAEOCD求證：（1）PD=PE；（2）【舉一反三】 圖12已知：如圖12，在中，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交于點，且（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的面積2.（天河一模）如圖，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE。 （1）求證：ACAE；ACBD

17、E （2）求ACD外接圓的半徑。3（荔灣十校一模）如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點，C=BAD，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長.（2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A B C D2（廣雅一模）平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B、C不重合）如圖,將COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB邊上選取適當?shù)狞cE，將BDE沿DE翻折，得

18、到GDE，并使直線DG，DF重合（1）圖中，若COD翻折后點F落在OA邊上，寫出 D、E點坐標，并且求出直線DE的解析式（2）設(shè)（1）中所求直線DE與x軸交于點M，請你猜想過點M、C且關(guān)于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點的個數(shù)，在圖的圖形中，通過計算驗證你的猜想（3）圖中，設(shè)E（10，b），求b的最小值圖圖3、（2010年福建省南安市）（13分）如圖1，在中，另有一等腰梯形（）的底邊與重合，兩腰分別落在AB、AC上，且G、F分別是AB、AC的中點（1）直接寫出AGF與ABC的面積的比值；（2）操作：固定，將等腰梯形以每秒1個單位的速度沿方向向右運動，直到點與點重合時停止設(shè)運動時間為秒，運動后

19、的等腰梯形為（如圖2）探究1：在運動過程中，四邊形能否是菱形？若能，請求出此時的值；若不能，請說明理由FGABDCE圖2探究2：設(shè)在運動過程中與等腰梯形重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式AFG(D)BC(E)圖1（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長（2011湖南衡陽10分）如圖，在矩

20、形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQPD，交直線BC于點Q（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQAC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60°，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：

21、AE=AD.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，過點D作DEBC，垂足為E，并延長DE至F，使EFDE聯(lián)結(jié)BF、CD、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形 （2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EF

22、GP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當BOP=300時，求點P的坐標；（）如圖，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結(jié)果即可）（2012廣西貴港8分）如圖，在ABCD中，延長CD

23、到E，使DECD，連接BE交AD于點F，交AC于點G。（1）求證：AFDF；（2）若BC2AB，DE1，ABC60°，求FG的長。（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.（2012寧夏區(qū)6分）在O中，直徑ABCD于點E，連接CO并延長

24、交AD于點F,且CFAD.求D的度數(shù).（2012黑龍江牡丹江3分）如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O則下列結(jié)論ABFCAE，AHC=1200，AH+CH=DH，AD 2=OD·DH中，正確的是【 】A. B. C. D. （2012重慶市10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作MECD于點E，1=2（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME（2012貴州黔南12分）如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上

25、的點，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2）延長EF交正方形BCD的外角平分線CP于點P（圖2），試判斷AE與EP大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由。（2012山東東營10分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中

26、，ADBC（BCAD），B90°，ABBC，E是AB上一點，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積2.（2012山東濱州9分）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線通過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論4. （2011遼寧大連11分）在ABC中，A90°，點D在線段BC上，EDBC，B

27、EDE，垂足為E，DE與AB相交于點F當ABAC時，（如圖1），EBF_°；探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；當ABkAC時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）5. （2011黑龍江省綏化、齊齊哈爾、黑河、大興安嶺、雞西8分）在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EFAB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EGCG（1）將BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想（2）將BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明9. （2011重慶分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，CD=2，BDCD過點C作CEAB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF（1）求EG的長；（2）求證：CF=AB+AF 十對稱變換：對稱變換是幾何變換中的基本變換之一，利用軸對稱變換作對稱點，是我們研究“最短路線”的常用方法。有利于把折線轉(zhuǎn)化到同一直線上研究。典型例題：例1. （2