2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)：10：圓錐曲線2

1、2012高考真題分類匯編：圓錐曲線三、解答題部分19.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點(diǎn)在橢圓上知，。 同理。 由得， 。 是定值。 20.【2012高考真題浙江

2、理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力?！敬鸢浮?)由題：； (1)左焦點(diǎn)(c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線OP的方程：yx，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設(shè)直線AB的方程為l：y(m0)，代入

3、橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當(dāng)|m2|，即m3 或m0(舍去)時(shí)，(SABP)max此時(shí)直線l的方程y21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn)。 ()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題考查綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大。在求

4、解點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要注意首先寫(xiě)出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?/p>

5、，所以當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，. （）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，. 而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得，

6、故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 23.【2012高考真題北京理19】（本小題共14分）【答案】解：（1）原曲線方程可化簡(jiǎn)得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡(jiǎn)得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。24.【2012高考真題廣東理20】（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A

7、、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】本題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到最值與探索性問(wèn)題，意在考查學(xué)生的綜合分析問(wèn)題與運(yùn)算求解的能力。25.【2012高考真題重慶理20】（本小題滿分12分（）小問(wèn)5分（）小問(wèn)7分） 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為，線段 的中點(diǎn)分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò) 做直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使，求直線的方程【答案】【命題立意】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，直線的一般式方程以及直線與

8、圓錐曲線的綜合問(wèn)題.26.【2012高考真題四川理21】(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍?！敬鸢浮勘绢}主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題新課標(biāo)理20】（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值.【答案】（1

9、）由對(duì)稱性知：是等腰直角，斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 圓的方程為 （2）由對(duì)稱性設(shè)，則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得： 得：，直線 切點(diǎn) 直線坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為.28.【2012高考真題福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率.過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.（）求橢圓E的方程.（）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、平面向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知

10、識(shí)，考查推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.29.【2012高考真題上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸進(jìn)線的平行線，求該直線與另一條漸進(jìn)線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值.【答案】過(guò)點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，,則到直線的距離為.設(shè)到直線的距離為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問(wèn)

11、題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運(yùn)用可以大大節(jié)省解題時(shí)間，本題屬于中檔題 30.【2012高考真題陜西理19】本小題滿分12分）已知橢圓，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。 【答案】 31.【2012高考真題山東理21】（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（）求拋物線的方程；（）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)

12、明理由；（）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的最小值.【答案】32.【2012高考真題江西理21】 （本題滿分13分）已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足.（1） 求曲線C的方程；（2） 動(dòng)點(diǎn)Q（x0，y0）（-2x02）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D,E，且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說(shuō)明理由?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)

13、學(xué)思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，定點(diǎn)，定值，探討性問(wèn)題等；二、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，定點(diǎn)，定值，探討性問(wèn)題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來(lái)考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大，因?yàn)樗鼈兌际强季V要求理解的內(nèi)容.33.【2012高考真題全國(guó)卷理21】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無(wú)效）已知拋物線C：y=(x+1)2與圓M：（x-1）2+()2=r2(r0)有一個(gè)公共點(diǎn)，且在A處兩曲線的切線為同一直線l

14、.（）求r；（）設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離.【答案】34.【2012高考真題天津理19】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足【答案】35.【2012高考真題湖南理21】（本小題滿分13分）www.z%zstep.co*&m在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設(shè)P(x0,y0)（y0±3）為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】（）解法1 ：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡(jiǎn)得曲線的方程為.解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過(guò)P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.于是整理得 設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分