哈工大最優(yōu)控制實驗報告

1、一階倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制實驗報告課程名稱：最優(yōu)控制 課程時間：2015年春 授課教師：李傳江 學(xué)生姓名： 學(xué)生學(xué)號： 所在組別：Group 04哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院2015年6月目錄1.一階倒立擺實物圖32.一階倒立擺工作示意圖及相關(guān)參數(shù)33.一階倒立擺系統(tǒng)受力分析圖44.一階倒立擺系統(tǒng)建模45. 線性微分方程模型推導(dǎo)56. 系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取57.系統(tǒng)狀態(tài)空間模型建立與分析68.LQR與倒立擺位置與轉(zhuǎn)角的控制111.一階倒立擺實物圖2.一階倒立擺工作示意圖及相關(guān)參數(shù) M：小車質(zhì)量，1.1kgm：擺桿質(zhì)量，0.1kg b：小車摩擦系數(shù)，0.1N/ m/s l：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到質(zhì)心的長度,0.25m

2、 I：擺桿慣量，0.0034kg·m2F：加在小車上的力 x：小車位置 ：擺桿與垂直向上方向的夾角 ：擺桿與垂直向下方向的夾角(擺桿初始位置為豎直向下)3.一階倒立擺系統(tǒng)受力分析圖4.一階倒立擺系統(tǒng)建模分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M&x& = F bx& N由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：即：為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程：5. 線性微分方程模型推導(dǎo)6. 系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取將如上所示兩個運動方程進行拉式變換與整理可

3、求得：xUx=mlsMml2+IM+Ims3+bml2+Ibs2-M+mmgls-mglbxAx=mlI+ml2s2-mgl代入相關(guān)參數(shù)，求得：xUx=25s11s3+0.965s2-300s-25xAx=259.65s2-250針對數(shù)學(xué)模型xAx,采用ITAE優(yōu)化技術(shù)設(shè)計最優(yōu)PID 控制器對其擺角進行控制令Gcs=kp+kDs+kis , Gps=1閉環(huán)傳遞函數(shù)s=25(kDs2+kps+ki)9.65s3+25kDs2+25kp-250s+25ki即s3+25kD9.65s2+25kp-2509.65s+25ki9.65=s3+1.75ns2+2.15n2s+n3根據(jù)ts<5s,令n

4、=1.5rad/s代入等式，解得：kD=1.01，kp=11.87，ki=1.3并由此設(shè)計Gps=1.31.01s2+11.87s+1.3仿真：由圖像得：ts=4.6s,p=2.7%滿足技術(shù)指標(biāo)要求。7.系統(tǒng)狀態(tài)空間模型建立與分析以 為狀態(tài)變量，為輸出變量，分別推導(dǎo)以作用在小車上的力u 為輸入和以小車運行的加速度 x 為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間描述(1) u 為輸入xx=0 1 0 00 -b(I+ml2)A m2l2gA 00 0 0 10 -mlbA mgM+mA 0xx +0I+ml2A0mlA uY=1 0 0 00 0 1 0xx其中A=M+mI+Mml2代入數(shù)據(jù)得：xx=0 1 0 00

5、 -0.088 0.057 00 0 0 10 -0.023 109.1 0xx +00.8802.27 uY=1 0 0 00 0 1 0xx(2) x 為輸入xx=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 mglI+ml2 0xx +010mlI+ml2 xY=1 0 0 00 0 1 0xx代入數(shù)據(jù)得：xx=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 25.9 0xx +0102.59 xY=1 0 0 00 0 1 0xx針對傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型，分析開環(huán)系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，給出單位階躍響應(yīng)結(jié)果，并針對狀態(tài)空間模型，分析系統(tǒng)的能控能觀性(1) u 為輸入由傳遞函數(shù)模型

6、：xUx=25s11s3+0.965s2-300s-25仿真：由仿真圖像知：系統(tǒng)不穩(wěn)定由狀態(tài)空間模型：xx=0 1 0 00 -0.088 0.057 00 0 0 10 -0.023 109.1 0xx +00.8802.27 uY=1 0 0 00 0 1 0xx轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：xx=0 0 0 00 10.45 0 00 0 -10.45 00 0 0 -0.088xx +2.5-2.852.86-3.05 uY=4 0 0 3.270 -0.038 -0.038 0xx有正實部特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是能觀且能控。（2）x為輸入由傳遞函數(shù)模型：xAx=259.65s2-250仿真：由

7、仿真圖像知：系統(tǒng)不穩(wěn)定由狀態(tài)空間模型：xx=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 25.9 0xx +0102.59 xY=1 0 0 00 0 1 0xx轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：xx=5.09 0 0 00 -5.09 0 00 0 0 0.50 0 0 0xx +0.820.8201 xY=0 0 2 00.31 -0.31 0 0xx有正實部特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。8.LQR與倒立擺位置與轉(zhuǎn)角的控制根據(jù)性能指標(biāo)的要求，應(yīng)用LQR 方法設(shè)計控制器對一階倒立擺的位置x 和擺桿角度 進行控制，下圖是U = -70.7107 -45.1390 144.1095 29.0517時，倒立擺在受到

8、擾動之后的位置與擺角的變化曲線:下面討論不同Q和R選取下。系統(tǒng)性能的不同變化：1.Q為單位陣，R=1A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 25.39 0;>> B=0 0 0 0;0 1 0 2.59;0 0 0 0;0 2.59 0 6.7;>> C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;>> P=are(A,B,C)P = 2.1400 1.7896 -5.5242 -1.0789 1.7896 3.2654 -10.7376 -2.0902 -5.5242 -10.7376 76.3209 14.7219

9、 -1.0789 -2.0902 14.7219 2.9398U=0 1 0 2.59*PU = -1.0047 -2.1481 27.3922 5.52392.Q為單位陣，R=10P = 3.1049 4.3201 -14.5898 -2.8889 4.3201 11.9248 -42.4104 -8.3951 -14.5898 -42.4104 535.5802 105.9318 -2.8889 -8.3951 105.9318 21.0549U = -0.3162 -0.9818 23.1953 4.61373. Q=50000 0 0 0;0 1000 0 0;0 0 1000 0;0

10、 0 0 300; R=10;P = 1.0e+004 * 3.1918 0.9688 -2.0543 -0.4013 0.9688 0.4089 -0.9100 -0.1753 -2.0543 -0.9100 2.1834 0.4070 -0.4013 -0.1753 0.4070 0.0789U = -70.7107 -45.1390 144.1095 29.05174. Q=500 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 0; R=10;P = 1.0e+003 * 0.4853 0.2355 -0.5790 -0.1182 0.2355 0.1695 -0.443

11、8 -0.0920 -0.5790 -0.4438 1.7722 0.3353 -0.1182 -0.0920 0.3353 0.0671U = -7.0711 -6.8632 42.4549 8.18845. Q=5000000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 0; R=10;P = 1.0e+006 * 2.2507 0.5066 -0.9992 -0.1983 0.5066 0.1261 -0.2515 -0.0499 -0.9992 -0.2515 0.5031 0.0998 -0.1983 -0.0499 0.0998 0.0198U = -707.10

12、41 -318.3025 712.1133 141.31076. Q=50000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0.01 0;0 0 0 0; R=10;P = 1.0e+004 * 2.8255 0.7983 -1.6907 -0.3355 0.7983 0.2787 -0.6199 -0.1230 -1.6907 -0.6199 1.4404 0.2859 -0.3355 -0.1230 0.2859 0.0567U = -70.7107 -39.9583 120.4811 23.91047. Q=50000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 100 0;0 0 0 0; R=1;

13、P = 1.0e+004 * 2.4594 0.6049 -1.2195 -0.2422 0.6049 0.1731 -0.3577 -0.0711 -1.2195 -0.3577 0.7493 0.1487 -0.2422 -0.0711 0.1487 0.0296U = -223.6068 -109.9873 274.9783 54.53558. Q=50000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 100 0;0 0 0 0; R=100;P = 1.0e+004 * 3.4806 1.2114 -2.7915 -0.5541 1.2114 0.5585 -1.3891 -0.2757 -

14、2.7915 -1.3891 3.9271 0.7793 -0.5541 -0.2757 0.7793 0.1547U = -22.3607 -15.5655 62.9130 12.48409. Q=50000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1000; R=10;P = 1.0e+004 * 3.1703 1.0051 -2.2091 -0.4154 1.0051 0.4119 -0.9854 -0.1764 -2.2091 -0.9854 2.6244 0.4380 -0.4154 -0.1764 0.4380 0.0802U = -70.7107 -44.8345 149.1420 31.242110. Q=50000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 100000; R=10;P = 1.0e+005 * 0.5516 0.3042 -0.9310 -0.1202 0.3042 0.2406 -0.9069 -0.0959 -0.9310 -0.9069 4.6130 0.3668 -0