勾股定理思維導(dǎo)圖+題型總結(jié)

1、1( 一) 勾股定理1：勾股定理如果直角三角形 的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為 c, 那么 a2+b2 c2我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.弦要點(diǎn)詮釋：勾股2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC 中，C 90 ，則 ca2b2， bc2a 2，ac2b2）（ 2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（ 3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題3：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾

2、股定理的思路是圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：baac bccbcaab41ab(b a)2c2DC方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD，2，化簡(jiǎn)可證EHGF方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積baAcB四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S41abc22ab c22AaD大正方形面積為 S(ab) 2a 22abb2所以 a 2b2c2cbEca111BbCS梯形(ab)(ab )S梯形2S ADES ABE2abc2，化簡(jiǎn)得證方法三：2，2224：

3、勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a 2b 2c2中， a ， b ， c 為正整數(shù)時(shí)，稱 a ， b ， c 為一組勾股數(shù)記住常見勾股數(shù)可以提高解題速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 ；8,15,17 ；9,40,41 等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)： n21,2n, n21 （ n2, n 為正整數(shù)）；2n1,2n 22n,2 n22n1 （ n 為正整數(shù)） m2n2 ,2 mn, m2n 2 （ mn, m ， n 為正整數(shù)）5、注意：（ 1）勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。（ 2）勾

4、股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。（ 3）勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò)誤。A（ 4）推理格式： ABC為直角三角形c222222b AC +BC=AB.（或 a +b =c ）CaB（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a、b、c，且滿足 a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法， 它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（ 1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為： c；（ 2）

5、驗(yàn)證 c2 與 a2+b2 是否具有相等關(guān)系，若 c2 a2+b2，則 ABC是以 C為直角的直角三角形（若 c2>a2+b2，則 ABC是以 C 為鈍角的鈍角三角形； 若 c2<a2+b2，則 ABC為銳角三角形） 。3（定理中 a ， b ， c 及 a2b2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a ，b ， c 滿足 a 2c2b2，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是 b 為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直

6、角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)， 這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。六、隨堂練習(xí)1在 Rt ABC 中，C90 ， A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別為 a 、 b 和 c若 a2 ， b 4 ，則 c =； 斜邊上的高為.若 b3， c 4 ，則 a =.斜邊上的高為.a3， b_ . 斜邊上的高為.若 b10 ，則 a =，且 c2b1， b_ . 斜邊上的高為.若 c2 ，且 a33 ，則 c =2正方形的邊長(zhǎng)為 3，則此正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為.3正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為 4，則此正方形的邊長(zhǎng)為.4

7、有一個(gè)邊長(zhǎng)為dm 50 的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，求圓的直徑至少多長(zhǎng)5一旗桿離地面 6m 處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8m 處，求旗桿折斷之前有多高？46. 如圖，一個(gè) 3m 長(zhǎng)的梯子 AB斜靠在一豎直的墻 AO 上，這時(shí) AO 的距離為 2.5m ，如果梯子頂端 A 沿墻下滑 0.5m ，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 嗎？勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是 16，求這個(gè)等腰三角形的面積。2、已知：如圖， B=D=90°， A=60°， AB=4，CD=2。求：四邊形 ABCD的面積。ADBC3：在

8、ABC中， AB=13，AC=15，高 AD=12，則 BC的長(zhǎng)為多少？A4：已知如圖，在 ABC中，C=60°， AB=43 ，AC=4，AD是 BC邊上的高，求 BC的長(zhǎng)。CDB5、如圖，在 Rt ABC中， ACB=90°， CDAB于 D，設(shè) AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。C111求證：（ 1） a 2b2h2（2） a b chADB（ 3）以 ab，h，ch 為三邊的三角形是直角三角形練習(xí)6. 如圖， ABC中， AB=AC， A=45o， AC的垂直平分線分別交AB、 AC于 D、E，若 CD=1，則5BD等于 ()A1BCD7. 已知一直角三角形的

9、斜邊長(zhǎng)是 2，周長(zhǎng)是 2+ 6 ，求這個(gè)三角形的面積8. 如圖 Rt ABC ，C90AC3,BC4 , 分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積CAB6. 如圖， ABC中， AB=AC=20，BC=32，D 是 BC上一點(diǎn)，且 AD AC，求 BD的長(zhǎng)7. 如圖， ABC中， ACB=90°， AC=BC，P 是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足 PA=3，PB=1，?PC=2，求 BPC的度數(shù)8. 已知 ABC中， ACB=90°， AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D 點(diǎn)。求 CD長(zhǎng)（ 2） BE平分 ABC,交 AC于 E，求 CE長(zhǎng)BBDACAEC6專題二

10、勾股定理的證明1、如圖，直線 l 上有三個(gè)正方形 a， b，c ，若 a， c 的面積分別為 5和 11，則 b 的面積為（）bacl（） 4（） 6（） 16（） 552、如圖是 2002 年 8 月在北京召開的第 24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形 ABCD 和 EF 都是正方形 . 證： ABF DAEAEHDBFGC3、圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為( mn) 的正方形，小穎將nmm圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖m 能驗(yàn)證的式子是（）n圖圖22222第3題圖A (m n) (mn)4mnB (m n)(mn )2mnC (mn)22mnm2n2D ( m n)(m n) m2 n2專

11、題三網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖 1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）（ A） CD、EF、GH （ B） AB、EF、GH （ C） AB、CD、 GH （ D） AB、CD、EFA7CB2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是（）AA0B 1C 2D 3B3、（ 2010 年四川省眉山市）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為C1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則 ABC的度數(shù)為（）AA90° B 60°C 45°D 30°4、如圖，小正方形邊

12、長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC，則C邊 AC上的高為（）32B.35C.35D.45A. 21055B5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、的三角形所畫的三角形是直角三角形嗎 ?說明理由6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1，在圖中畫出面積為 2 的三個(gè)形狀不同的三角形（要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專題四實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8），水池中離岸邊 D 點(diǎn) 1.5 米的 C 處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分 BC的長(zhǎng)是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B 恰好落到 D 點(diǎn)，并求水池的深度 AC.

13、82、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5 米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高 1.5 米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向 220 千米 B 處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為 12 級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20 千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15 千米 / 時(shí)的速度沿北偏東 30o方向往 C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響 .（ 1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說

14、明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？專題五梯子問題91、如果梯子的底端離建筑物9 米，那么 15 米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？2、一架方梯長(zhǎng) 25 米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻 7 米，（ 1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？3、如圖，梯子 AB斜靠在墻面上， ACBC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端 A 沿 AC方向下滑 x 米時(shí)，梯足 B 沿 CB方向滑動(dòng) y 米，則 x 與 y 的大小關(guān)系是（）AA.xyB.xyC.xyD.不能確定B

15、C專題六最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了（）步路（假設(shè) 2 步為 1 米），卻踩傷了花草A 、6B、5C 、 4D、 32、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20 ，高 AB為 10， BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn) A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程。BCAD3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為 20 ，高 AB為 10 ，在圓柱的下底面 A 點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端 C 點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多少？C104、如圖，假如這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯， AD 是杯底直徑，

16、C 是杯口一點(diǎn)，其他已知條件不變，螞蟻從外部點(diǎn) A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高 CD的中點(diǎn) E處，最短該走多遠(yuǎn)呢？ ( 杯BC子的厚度不計(jì)）EAD5、如圖，一只螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為 1 米，且封閉的正方體盒子外部的頂點(diǎn)A 向頂點(diǎn) B 爬行，問這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？BA6、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為 20cm，點(diǎn)B 到點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？CB2010A157、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A 和 B 是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)， A 點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B

17、點(diǎn)去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B 點(diǎn)的最短路程是多少？.B110.22A03專題七 折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6， BC=8。現(xiàn)將直角邊 AC沿直線 AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與 AE重合，求 CD的長(zhǎng)AECDB2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A 與 B 重合，A折痕為 DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出 CE的長(zhǎng)嗎？DCEB3、如圖 , ABC的三邊 BC=3，AC=4、AB=5,把 ABC沿最長(zhǎng)邊 AB翻折后得到 ABC，則 CC的長(zhǎng)等于（）AC'6121324A. 5B.5C.5D.5BC專題八折疊四邊

18、形1、折疊矩形 ABCD的一邊 AD,點(diǎn) D落在 BC邊上的點(diǎn) F 處, 已知 AB=8CM,BC=10CM,求（ 1）CF的AD12ECBF長(zhǎng)（2）EC的長(zhǎng) .2、在矩形紙片 ABCD中， AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B 與點(diǎn) D 重合，折痕為AEBEF，求（ 1） DE的長(zhǎng)；（ 2）EF 的長(zhǎng)。DFCC'3. 矩形紙片 ABCD的邊長(zhǎng) AB=4，AD=2將矩形紙片沿 EF折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_.GDFCAEB第3題圖4、如圖 2-3 ，把矩形 ABCD沿直線 BD向上折疊， 使點(diǎn) C落在 C的位置上， 已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面積為 _5、如圖 5，將正方形 ABCD折疊，使頂點(diǎn) A 與 CD邊上的點(diǎn)邊 AB折疊后與 BC邊交于點(diǎn) G。如果 M為 CD邊的中點(diǎn)，且M重合，折痕交 AD于 E，交 BC于 F，DE=6，求正方形 ABCD的面積DMCEGFAB136、矩形 ABCD中， AB=6，BC=8，先把它對(duì)折，折痕為EF，展開后再沿 BG折疊，使 A 落在 EF上的 A1，求第二次折痕 BG的長(zhǎng)。CBEA'FDG專