多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【包含偏導(dǎo)數(shù)】

1、節(jié)8.4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.c n/gaoshu2/less on/8.4fuheha nshuqi.§ 8.4多元函數(shù)求導(dǎo)法則dk _i, . / -A- 【定理】若函數(shù)，及八都在點(diǎn)可導(dǎo)；函數(shù) 1I在對(duì)應(yīng)點(diǎn)I 門(mén)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，-4-1則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)'可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為<iz _& du & dy(1)證明：設(shè)獲得增量-,這時(shí)-J1； ' - ' J'的對(duì)應(yīng)增量為丄A；,函數(shù)丨川'''的對(duì)應(yīng)增量為邑。據(jù)假定,函數(shù) 一* I在點(diǎn)I *I具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而有Az = *

2、山+殳人牛+ y血+扛廠(chǎng)Av這里,當(dāng)加T 0 , Av T 0時(shí)，昌T 0，巧 T 0。上式兩邊除以訂得Az _Ai* & ZivZAv1 = * 11 * + £、 + Sn M眩&址AfAt而當(dāng)T 時(shí)，有； H V '',從而Audu Avc/v> ,> Afdt Atdt所以H 2 lim 二 出TO 2& dudv( 1!l 1_= dT八-JtZiXl故復(fù)合函數(shù)- 八u- 在點(diǎn)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)可用(1)式計(jì)算用同樣的方法，可把定理推廣到復(fù)合函數(shù)的 中間變量多于兩個(gè) 的情形。例如，設(shè)2=/(v,w)與址=曲)二曲)川二*)復(fù)合而

3、得到 函數(shù)£=/祕(mì)忒切。 Z1 Ait X. A 4i J- dL- 若址二職"二怦n " 丿在點(diǎn)r可導(dǎo)，Z=/(W)對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且dz _&du彥cfv&dco二?.frm:;？如.it(2)在公式(1)與(2)中的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù)。上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。例如,設(shè)dE與址皿了 擾復(fù)合而得到函數(shù)Z = /（奴心了），0（天），若 '二二二：廠(chǎng)二m '在點(diǎn)''.!具有對(duì)錄及.'的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)-在對(duì)應(yīng)點(diǎn)' 1具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則_在點(diǎn)1'

4、 . 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且0艮內(nèi)一 0 盪喬逢喬 + + 乩莎總¥ 一一 = QA透¥ E *dz事實(shí)上,求時(shí)，看作常量，因此中間變量i及仍可看作一元函數(shù)而應(yīng)用上述定理。 但篇二，泊二今茂嚴(yán)均是的二元函數(shù),所以應(yīng)把 式中的:直導(dǎo)數(shù)記號(hào)改為八 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào),再將.換成上，這樣便得到了 式。、".”管 曽1 ?卅/w “ t 一 m Cfift r z 、 f r 、類(lèi)似地，設(shè) J' -1- 及- '均在點(diǎn)'-'具有對(duì)丨及的偏導(dǎo)數(shù),而函數(shù)' 廠(chǎng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)' ' ' 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)2 = /（勿卞

5、丿），旅卞J）,曲（忑刃）在點(diǎn)''的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,且& _ &和 診和 逢血| rH & 總屍 ch & 3m &< = ”. 1 ,1 F C 廠(chǎng);&7 r（4）例如,若'''有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而八、'偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)z =可看作上述情形中當(dāng)¥二,血二丿的特殊情形,因此（4）式變成&&&& Hl & =|-&& di逢負(fù)逢4di 內(nèi)d（o dt &場(chǎng)等式兩邊均出現(xiàn)了起或八,盡管記號(hào)一樣，但其意義有本質(zhì)的差別,以第

6、一式加以闡明: dz.左邊的是將復(fù)合函數(shù) 曠八中的'看作常數(shù),而對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)；右邊的：；是把函數(shù).'中的二及*看作常數(shù),而對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)。因此,為了避免麻煩，我們往往將上述兩式的形式寫(xiě)為2 - &di矗 &di& 0多元復(fù)舍函救求（偏導(dǎo)數(shù)法則的注釋復(fù)合函數(shù)疋二于（0匕J）,如TJ）,這里I=鞏工）它的偏導(dǎo)數(shù)為r別莎別-創(chuàng) &一別&瓦 十 + 別-A別¥ 左一岌邊-別 二 - 湮一空&¥ r由該復(fù)合函數(shù)變量間的關(guān)系鏈，可對(duì)此求（偏）導(dǎo)數(shù)法則作如下解釋?zhuān)篸z求川，可沿第一條線(xiàn)路對(duì)：求導(dǎo)，再沿第二條線(xiàn)路對(duì)：求導(dǎo)，最后把兩個(gè)

7、結(jié)果相加。而沿第一條線(xiàn)路對(duì)求導(dǎo)，相當(dāng)于把.分別視為常量就成了 的函數(shù)，而1又是'的& di函數(shù),求導(dǎo)結(jié)果自然是廠(chǎng) 廠(chǎng)（這與一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 很類(lèi)似）；而沿第二條線(xiàn)路對(duì)、求導(dǎo)，相當(dāng)于把-1 '分別視為常量，'就成了的函數(shù)，而'又是1的函數(shù),求導(dǎo)結(jié)果自然是廠(chǎng)。上述變量關(guān)系圖象一根鏈子,它將變量間的相互依賴(lài)關(guān)系形象地展示出來(lái)。對(duì)某個(gè)變量求 導(dǎo),就是沿企及該變量的各條線(xiàn)路分別求導(dǎo),并把結(jié)果相加,這一法則稱(chēng)之為鎖鏈法則。這一法則可簡(jiǎn)單地概括為 【例1】設(shè)-H： -,而匸二二，,，求川和“ I I解：廠(chǎng) ，廠(chǎng)JI U. I=e sin vcosv * 1=ysinU + y) + cos(x +_y)l& _ & di &=住"gin# + 龍 +總"cosv 4二已荻xEin(x +尹)+ cos(x y)例2】設(shè)