隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性課件

1、隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性隨機過程隨機過程 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性2主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： v隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性 v連續(xù)時間隨機過程的微分和積分連續(xù)時間隨機過程的微分和積分 v隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性 v聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程v正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程 v馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性3隨機變量隨機變量 與時間無關與時間無關 隨機過程隨機過程 與時間相關與時間相關 隨機信號分析隨機信號分

2、析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性41.1 隨機過程的基本概念及統(tǒng)計特性隨機過程的基本概念及統(tǒng)計特性 自然界事物的變化分為兩大類：自然界事物的變化分為兩大類：確定性確定性過程過程和和隨機隨機過程過程。確定性過程：確定性過程： 1 1）每次試驗得到的觀測）每次試驗得到的觀測 過程都相同。過程都相同。 2 2）具有確定形式的變化）具有確定形式的變化 過程，或可用一個時過程，或可用一個時 間間t的確定函數(shù)表示。的確定函數(shù)表示。隨機過程：隨機過程： 1 1）每次試驗得到的觀測）每次試驗得到的觀測 過程都不同。過程都不同。 2 2）沒有確定的變化形式）沒有確定的變化形式 或不能用一個時間或不能用

3、一個時間t 的確定函數(shù)表示。的確定函數(shù)表示。正弦信號正弦信號示波器的噪聲電壓示波器的噪聲電壓隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性5一一 定義定義 1.1.接收機噪聲電壓觀測方式：對相同接收機同時觀測接收機噪聲電壓觀測方式：對相同接收機同時觀測050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505從試驗可知，每次得到的結果不同，且變化的規(guī)律從試驗可知，每次得到的結果不同，且變化的規(guī)律不能用不能用一個一個確定的函數(shù)來描述確定的函數(shù)來描述噪聲電壓的起伏波形噪聲電壓的起伏波形 隨機信號分析隨機信號分析

4、教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性62 2、觀察具有隨機振幅、觀察具有隨機振幅 或隨機相位或隨機相位 的電壓波形的電壓波形0( )cos()V tAtA若若A A和和 為常數(shù)，為常數(shù)， 是（是（0 0，2 2）的隨機取值的隨機變）的隨機取值的隨機變量，電壓波形為量，電壓波形為0隨機相位信號隨機相位信號 01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性70( )cos()V tAt若 和 為常數(shù)， 是隨機取值

5、的隨機變量，電壓波形為0A隨機振幅信號隨機振幅信號 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性8 樣本函數(shù)：樣本函數(shù)： ， ， ， ，都是，都是 時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。 )(1tx)(2tx)(3tx)(txn 隨機性：一次試驗，隨機過程必取一個樣隨機性：一次試驗，隨機過程必取一個樣 本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有 隨機性。因此，隨機過程不僅是隨機性。因此，隨機過程不僅是 時間時間t 的函數(shù)，還是可能結果的的函數(shù)，還是可能結果的 函數(shù)，記為函數(shù)，記為 ，簡寫成，簡寫成 。 ),( tX)(tX隨機信號分析隨機信號分析

6、教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性9=3 3 、隨機過程的定義、隨機過程的定義( , )X t定義定義1 1：設隨機試驗設隨機試驗E E的樣本空間為的樣本空間為S=S= ，對其每一個元素，對其每一個元素 都以某種法則確定一個樣本函數(shù)都以某種法則確定一個樣本函數(shù) ，由全部，由全部元素元素 所確定的所確定的一族樣本函數(shù)一族樣本函數(shù) 稱為隨機過程，簡記稱為隨機過程，簡記為為 。 )3 , 2 , 1(ii),(itX)(tXS隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性10S定義定義2 2 ：設有一個過程設有一個過程X(t) X(t) ，若對于每一個固定的時刻，若對于每一個

7、固定的時刻 ， 是一個隨機變量，則是一個隨機變量，則X(t)X(t) 稱為隨機過程。稱為隨機過程。 (1,2,3)jtj ( , )jX t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性11隨機過程的一般表征隨機過程的一般表征 隨機過程隨機過程),(tX樣本函數(shù)集合樣本函數(shù)集合( ,),1, 2,iXti 為了簡便起見，隨機過程常省略代表試驗結果的為了簡便起見，隨機過程常省略代表試驗結果的參量參量。隨機過程常用大寫字母。隨機過程常用大寫字母 表示，樣表示，樣本函數(shù)常用小寫字母本函數(shù)常用小寫字母 表示，表示，k表表示第示第k個樣本函數(shù)。個樣本函數(shù)。12( ),( ),( )kx

8、 tx tx t)(),(tYtX樣本變量集合樣本變量集合 隨機過程隨機過程),(tX(,),1, 2,iXti隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性12 上面兩種隨機過程的定義，從兩個角度描述上面兩種隨機過程的定義，從兩個角度描述了隨機過程。具體的說：了隨機過程。具體的說： 作觀測時，常用作觀測時，常用定義定義1，這樣通過觀測的試驗，這樣通過觀測的試驗樣本來得到隨機過程的統(tǒng)計特性；樣本來得到隨機過程的統(tǒng)計特性； 對隨機過程作理論分析時，常用對隨機過程作理論分析時，常用定義定義2，這樣，這樣可以把隨機過程看成為可以把隨機過程看成為n維隨機變量，維隨機變量， n越大采樣

9、越大采樣時間越小，所得到的統(tǒng)計特性越準確。時間越小，所得到的統(tǒng)計特性越準確。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性13隨機過程隨機過程 四種不同情況下的理解：四種不同情況下的理解： 一個隨機過程一個隨機過程 一個確知的時間函數(shù)一個確知的時間函數(shù)一個隨機變量一個隨機變量一個確定值一個確定值t 1 和和 都是變量都是變量t2 是變量而是變量而 固定固定3 固定而固定而 是變量是變量 t4 和和 都固定都固定 t( , )X t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性14二二 隨機過程的分類隨機過程的分類 1 按隨機過程的時間和狀態(tài)來分類按隨機過程

10、的時間和狀態(tài)來分類 連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機過程：對隨機過程任一時刻：對隨機過程任一時刻 的的取值取值 都是連續(xù)型隨機變量。都是連續(xù)型隨機變量。 1t)(1tX 離散型隨機過程離散型隨機過程：對隨機過程任一時刻：對隨機過程任一時刻 的的取值取值 都是離散型隨機變量。都是離散型隨機變量。 1t)(1tX隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性15 離散隨機序列：隨機過程的時間離散隨機序列：隨機過程的時間t只能取某只能取某些時刻，如些時刻，如 ， 2 ，.，n ，且這時，且這時得到的隨機變量得到的隨機變量 是離散型隨機變量，是離散型隨機變量，即時間和狀態(tài)是離散的。相當于采樣

11、后再即時間和狀態(tài)是離散的。相當于采樣后再量化。量化。 t t t )(tnX 連續(xù)隨機序列：隨機過程的時間連續(xù)隨機序列：隨機過程的時間t只能取某只能取某些時刻，如些時刻，如 ， 2 ，.，n ，且這時，且這時得到的隨機變量得到的隨機變量 是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量，即時間是離散的。相當于對連續(xù)型隨機過即時間是離散的。相當于對連續(xù)型隨機過程的采樣。程的采樣。t t t )(tnX 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性16狀態(tài)狀態(tài)時刻時刻連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機過程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機序列連續(xù)隨機序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機過程離散型隨機過程離散離散連續(xù)連

12、續(xù)離散隨機序列離散隨機序列離散離散離散離散隨機過程按時間和狀態(tài)的分類隨機過程按時間和狀態(tài)的分類隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性172 按樣本函數(shù)的形式來分類按樣本函數(shù)的形式來分類 不確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本不確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值不能被預測。例如接收機噪聲電壓函數(shù)的值不能被預測。例如接收機噪聲電壓波形。波形。 確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值能被預測。例如，樣本函數(shù)為正弦信數(shù)的值能被預測。例如，樣本函數(shù)為正弦信號。號。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性18

13、 3 按概率分布的特性來分類按概率分布的特性來分類高斯隨機過程高斯隨機過程瑞利隨機過程瑞利隨機過程對數(shù)正態(tài)隨機過程對數(shù)正態(tài)隨機過程馬爾可夫隨機過程馬爾可夫隨機過程 4 按統(tǒng)計特性來分類按統(tǒng)計特性來分類平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程非平穩(wěn)隨機過程非平穩(wěn)隨機過程 5 按隨機過程在頻域的帶寬分類按隨機過程在頻域的帶寬分類寬帶隨機過程寬帶隨機過程窄帶隨機過程窄帶隨機過程白噪聲白噪聲有色噪聲有色噪聲隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性19三三 隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布 隨機過程是一族時間函數(shù)，在一次具體試驗中、隨機過程是一族時間函數(shù)，在一次具體試驗中、函數(shù)族中哪一個函數(shù)

14、（樣本）出現(xiàn)時是服從某種概率函數(shù)族中哪一個函數(shù)（樣本）出現(xiàn)時是服從某種概率分布的，因而對隨機信號不能采用通常的對確定性信分布的，因而對隨機信號不能采用通常的對確定性信號的表述方法，而必須用概率統(tǒng)計，即統(tǒng)計特性的描號的表述方法，而必須用概率統(tǒng)計，即統(tǒng)計特性的描述方法。述方法。1、概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)或概率分布函數(shù)的描述方法是全面、或概率分布函數(shù)的描述方法是全面、 完整的描述方法。完整的描述方法。2、數(shù)字特征數(shù)字特征（期望、方差、相關函數(shù)）的描述方法（期望、方差、相關函數(shù)）的描述方法 是的宏觀、概括的描述方法。是的宏觀、概括的描述方法。 統(tǒng)計特性的描述方法分為兩個大類：統(tǒng)計特性的描述方法分為兩

15、個大類：隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性20 當儀器記錄隨機過程當儀器記錄隨機過程X(t)的變化過程時候，一般不可能的變化過程時候，一般不可能也沒有必要連續(xù)的記錄全部過程，而只要記下也沒有必要連續(xù)的記錄全部過程，而只要記下X(t)在確定時在確定時刻刻t1, t2, , tn上的量。上的量。 由隨機過程的定義可知，在確定由隨機過程的定義可知，在確定t值上，隨機過程變?yōu)殡S值上，隨機過程變?yōu)殡S機變量，儀器記錄的結果是機變量，儀器記錄的結果是n維隨機變量維隨機變量X(t1),X(t2),X(tn)，如果說記錄時間間隔如果說記錄時間間隔t= ti-ti-1相當小相當小(

16、(n足夠大足夠大) )時，多維隨時，多維隨機變量機變量 X(t1), X(t2) , X(tn) 可以足夠完整表示出隨機過程可以足夠完整表示出隨機過程X(t)。 在一定近似程度上，可以通過研究多維隨機變量來代替在一定近似程度上，可以通過研究多維隨機變量來代替對隨機過程的研究，且對隨機過程的研究，且n取值越大，代替的越精確。當取值越大，代替的越精確。當n時，隨機過程的概念可以作為多維隨機變量的概念在維數(shù)無時，隨機過程的概念可以作為多維隨機變量的概念在維數(shù)無窮大情況的自然推廣。窮大情況的自然推廣。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性21一維概率分布函數(shù)一維概率分布函數(shù)

17、隨機過程隨機過程X(t)X(t)在任意在任意t ti i T T的取值的取值X(tX(t1 1) )是一維隨機變量。是一維隨機變量。概率概率PX(tPX(t1 1)x)x1 1 是取值是取值x x1 1，時刻，時刻t t1 1的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為F Fx x(x(x1 1;t;t1 1) ) =PX(t=PX(t1 1)x)x1 1 ，稱作隨機過程，稱作隨機過程X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 隨機變量：隨機變量：( )XFxP Xx隨機過程：隨機過程：( , )( )XFx tP X tx若若 的偏導數(shù)存在，連續(xù)隨機過程概率密度函的偏導數(shù)存在，連續(xù)隨機過程概率密度函數(shù)為數(shù)

18、為( , )( , )XXFx tfx tx( , )XFx t一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 一維概率分布和概率密度只描述了任意一個時刻的統(tǒng)計一維概率分布和概率密度只描述了任意一個時刻的統(tǒng)計特征，僅僅描述了各個孤立點時刻統(tǒng)計特性，不能反映特征，僅僅描述了各個孤立點時刻統(tǒng)計特性，不能反映隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。隨機過程統(tǒng)計特性：概率分布函數(shù)隨機過程統(tǒng)計特性：概率分布函數(shù) 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性22二維概率分布函數(shù)二維概率分布函數(shù) FX(x1,x2;t1,t2)=PX(t1)x1, X

19、(t2)x2 為了描述在任意兩個時刻為了描述在任意兩個時刻t t1 1和和t t2 2的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系, ,可以引入二維隨機變量可以引入二維隨機變量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F FX X(x(x1 1,x,x2 2；t t1 1,t,t2 2) )，它是二隨機事件，它是二隨機事件X(tX(t1 1)x)x1 1 和和X(tX(t2 2)x)x2 2 同時出同時出現(xiàn)的概率，即現(xiàn)的概率，即稱為隨機過程稱為隨機過程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)。的二維分布函數(shù)。 若若F FX X(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2) )

20、對對x x1 1，x x2 2的二階混合偏導存在，即的二階混合偏導存在，即 21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX為隨機過程為隨機過程X(X(t) )的二維概率密度。的二維概率密度。 二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)注意：注意：X(X(t1 1) )及及X(X(t2 2) )為同一隨機過程上的隨機變量。為同一隨機過程上的隨機變量。 二維分布比一維分布包含可更多的信息，但仍不二維分布比一維分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反應出隨機過程的全部統(tǒng)計特性。能完整的反應出隨機過程的全部統(tǒng)計特性。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性23n

21、維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)12121122( ,; , , )( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX txnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( 隨機過程隨機過程 在任意在任意n個時刻個時刻 的取值的取值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX 構成構成n維隨機變量維隨機變量 即為即為n維空間的隨機矢量維空間的隨機矢量X。類似的，可以定義隨。類似的，可以定義隨 機過程機過程 的的n維分布函數(shù)和維分布函數(shù)和n維概率密

22、度函數(shù)為維概率密度函數(shù)為 顯然，顯然，n越大隨機過程的越大隨機過程的n n維分布律描述的特性維分布律描述的特性也越趨完善，理論上說，可以無限增加也越趨完善，理論上說，可以無限增加n ，使，使 n 維維分布律更加全面地反應分布律更加全面地反應X(X(t) )的統(tǒng)計特性，但實際上，的統(tǒng)計特性，但實際上，n 越大分析處理會變得越復雜。越大分析處理會變得越復雜。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性24性質(zhì)：性質(zhì)： 1212( ,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , ,)1XnFt tt 1212( ,; , , )0Xnnfx xx t tt12

23、1212n( ,; , ,)1Xnnnfx xx t tt dx dxdx重121212nm1212( ,; , , )( ,; , ,)XnnmmnXmmfx xx t tt dxdxdxfx xxt tt 重若若 統(tǒng)計獨立，則有統(tǒng)計獨立，則有 )(,),(),(21ntXtXtX12121122( ,; , , )( ; )(; )(; )XnnXXXnnfx xx t ttfx tfx tfx t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性25四四 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征隨機隨機變量變量的數(shù)字特征的數(shù)字特征（期望、方差、相關系數(shù)）（期望、方差、相關系數(shù)）

24、 通常是通常是確定值確定值。隨機隨機過程過程的數(shù)字特征的數(shù)字特征（期望、方差、相關函數(shù)期望、方差、相關函數(shù)） 通常是通常是確定性函數(shù)確定性函數(shù)。 隨機過程的數(shù)字特征的計算方法隨機過程的數(shù)字特征的計算方法:先把時間先把時間t固定，然后用隨機變量的分析方法固定，然后用隨機變量的分析方法來計算。來計算。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性261 數(shù)學期望（均值函數(shù)）數(shù)學期望（均值函數(shù)） ( )( )( , )XmtE X txf x t dx 顯然，顯然， 是某一個是某一個平均函數(shù)平均函數(shù)，隨機過，隨機過程的諸樣本在它的附近起伏變化，如圖所示：程的諸樣本在它的附近起伏變

25、化，如圖所示： )(tmX隨機過程的均值是時間隨機過程的均值是時間t的函的函數(shù)，稱為數(shù)，稱為均值函數(shù)。均值函數(shù)。物理意義物理意義：如果隨機過程表示：如果隨機過程表示接收機的輸出電壓，那么它的接收機的輸出電壓，那么它的數(shù)學期望就是輸出電壓的瞬時數(shù)學期望就是輸出電壓的瞬時統(tǒng)計平均值。統(tǒng)計平均值。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性27 統(tǒng)計均值是對隨機過程中統(tǒng)計均值是對隨機過程中所有樣本函數(shù)所有樣本函數(shù)在時間在時間t的所的所有取值進行概率加權平均，所以又稱為有取值進行概率加權平均，所以又稱為集合平均集合平均。它反。它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計意義下的平均變化規(guī)律，映了樣本函數(shù)

26、統(tǒng)計意義下的平均變化規(guī)律，是所有樣本是所有樣本函數(shù)在各個時刻擺動的中心。函數(shù)在各個時刻擺動的中心。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性282 2 均方值和方差均方值和方差 隨機過程隨機過程 在任一時刻在任一時刻t的取值是一個隨的取值是一個隨機變量機變量 。我們把。我們把 二階原點矩稱為隨機過二階原點矩稱為隨機過程的程的均方值均方值，把二階中心矩記作隨機過程的，把二階中心矩記作隨機過程的方差方差。即即： )(tX)(tX22222( )( )( ; )( )( )( )( ) XXXXtE Xtx fx t dxtD X tE X tmt222( )( )( )XXt

27、E Xtmt且且 方差、均方值都是時間方差、均方值都是時間t的函數(shù)，描述了隨的函數(shù)，描述了隨機過程諸樣本函數(shù)圍繞數(shù)學期望的分散程度。機過程諸樣本函數(shù)圍繞數(shù)學期望的分散程度。)(tX隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性29物理意義：物理意義：如果如果 表示噪聲電壓，則表示噪聲電壓，則均方值均方值 表示消耗在單位電阻上的瞬表示消耗在單位電阻上的瞬時功率統(tǒng)計平均值。時功率統(tǒng)計平均值。方差方差 表示消耗在單位電阻上的瞬時交表示消耗在單位電阻上的瞬時交流功率統(tǒng)計平均值。流功率統(tǒng)計平均值。 )(tX)(2tXE)(tXD標準差：標準差： 2( )( )( )XXD X ttt=

28、實際應用中，標準差用它作為描述隨機過實際應用中，標準差用它作為描述隨機過程散布程度的指標。程散布程度的指標。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性30方差方差22( )( ( )( ) XXtE X tm t22( )( )XE X tm t)(tx-單位電阻上的電壓單位電阻上的電壓2( ) 1x t-消耗在單位電阻上的瞬時功率消耗在單位電阻上的瞬時功率-消耗在單位電阻上的瞬時交流功率消耗在單位電阻上的瞬時交流功率2 ( )( )1xx tm t-消耗在單位電阻上的瞬交流功率的消耗在單位電阻上的瞬交流功率的 統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值2( ( )( )1xE x tm t消

29、耗在單位電消耗在單位電阻上的總的平阻上的總的平均功率均功率平均交流平均交流功率功率平均直流平均直流功率功率222( )( )( )XXE Xttmt 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性313 自相關函數(shù)自相關函數(shù) 數(shù)學期望和方差是描述隨機過程在各個孤立點數(shù)學期望和方差是描述隨機過程在各個孤立點時刻的重要數(shù)字特征。它們反應不出來整個隨機過時刻的重要數(shù)字特征。它們反應不出來整個隨機過程不同時間的內(nèi)在聯(lián)系。程不同時間的內(nèi)在聯(lián)系。 比較具有相同數(shù)學期望和方差的兩個隨機過程。比較具有相同數(shù)學期望和方差的兩個隨機過程。 隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以

30、統(tǒng)計特性32 自相關函數(shù)用來描述自相關函數(shù)用來描述隨機過程任意兩個時刻狀隨機過程任意兩個時刻狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用用 描述。描述。 ),(21ttRX121212121212( , )( )( )( ,; , )XXRt tE X t X tx x fx x t t dx dx 描述了整個隨機過程描述了整個隨機過程任任意兩個不同時刻意兩個不同時刻的內(nèi)在關的內(nèi)在關系：線性相關性系：線性相關性若若 則則12ttt212( , )( , )( )( )( )XXRt tRt tE X t X tE Xt隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性33自相

31、關函數(shù)的物理意義自相關函數(shù)的物理意義1212( , )( )( )XRt tE X t X t自相關函數(shù)可正可負，其絕對值越大，表示相關性越自相關函數(shù)可正可負，其絕對值越大，表示相關性越 強。一般說來，時間相隔越遠，相關性越弱，自相關強。一般說來，時間相隔越遠，相關性越弱，自相關 函數(shù)的絕對值也越弱，當兩個時刻重合時，其相關性函數(shù)的絕對值也越弱，當兩個時刻重合時，其相關性 應是最強的，所以應是最強的，所以 最大。最大。( , )XRt t反映不同隨機過程的波形變化反映不同隨機過程的波形變化隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性344 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 若用隨機

32、過程的兩個不同時刻之間的二階若用隨機過程的兩個不同時刻之間的二階混合中心矩來定義相關函數(shù)，我們稱之為混合中心矩來定義相關函數(shù)，我們稱之為自協(xié)自協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)，簡稱，簡稱協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。用。用 表表示，它反映了任意兩個時刻的起伏值之間相關示，它反映了任意兩個時刻的起伏值之間相關程度。程度。 ),(21ttKX)()(),(2121tXtXEttKX1122( )( )( )( )XXE X tmtX tmt112212( )( )( )( )XXX tmtX tmtdx dx 中中心心化化自自相相關關函函數(shù)數(shù)隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性35自協(xié)方差和

33、自相關函數(shù)的關系自協(xié)方差和自相關函數(shù)的關系 112212111212211212( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( , )( , )( )( )XXXXXXXXXXE X tmtX tmtE X t X tmt E X tmKt tRt ttE X tmt mtmt mt自協(xié)方差和方差的關系自協(xié)方差和方差的關系 221( , )( )(,) )XXXKt tKt tE X tmt2( )( )XXtDtttt21令令則則自相關系數(shù)自相關系數(shù) 121212112212( ,)( ,)(,)( , )(,)( )()XXXXXXXKt tKt tttKt tK

34、tttt隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性36隨機過程的隨機過程的不相關不相關和和獨立獨立以及以及正交正交的關系：的關系：121212( ,)( ,)( )( )XXXXKt tRt tmt mt如果如果 , 則稱則稱 和和 是是不相關不相關的。的。如果如果 , 則稱則稱 和和 是是正交正交的。的。)(2tX0),(21ttKX1( )X t0),(21ttRX1( )X t)(2tX如果如果 則稱隨機則稱隨機過程在過程在 和和 時刻的狀態(tài)是相互時刻的狀態(tài)是相互獨立獨立的。的。),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX1t2t正交正交獨立獨立不

35、相關不相關充分條件充分條件正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性37例：求隨機相位正弦波例：求隨機相位正弦波 的數(shù)字期的數(shù)字期望，方差及自相關函數(shù)。式中，望，方差及自相關函數(shù)。式中， 為常數(shù)，是為常數(shù)，是區(qū)間區(qū)間0， 上均勻分布的隨機變量。上均勻分布的隨機變量。 0( )sin()x tt02解：由題可知：解：由題可知： 000( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt數(shù)學期望數(shù)學期望0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02E

36、fddsin 0E同理( )0 xm t隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性38方差方差22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011cos2cos2 sin 2sin 2 2t Et Esin2 cos2 0EE21( )2xt隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性3912120 10 20 10 20 20 10 20 1012( , )( )( )sin()sin(

37、)1cos(2 )cos()211cos()cos()22XRt tE X t X tEttEtttttttt自相關函數(shù)自相關函數(shù)隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性40( )X tVt例例 設隨機過程設隨機過程 ，其中，其中V V是在（是在（0 0，1 1）是均）是均 勻分布的隨機變量，求過程勻分布的隨機變量，求過程X X（t t）的均值和自相）的均值和自相 關函數(shù)。關函數(shù)。隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性41 ( )( )( )XE g xg x fx dx10( )( )( )2XVtE X xxfx dxvtfv dvvtdv

38、1212121 21 201( , )( )3VR t tvt vt fv dvv t t dvt t解解 由于由于X和和V之間有確定的函數(shù)關系之間有確定的函數(shù)關系x=vt，使用求隨機變，使用求隨機變 量函數(shù)的期望值運算的規(guī)則：量函數(shù)的期望值運算的規(guī)則：有有相關函數(shù)：相關函數(shù)：隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性42例例 設隨機振幅信號為設隨機振幅信號為 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)，V是標準正態(tài)隨機變量。是標準正態(tài)隨機變量。 求該隨機信號的均值、方差、相關函數(shù)和協(xié)方求該隨機信號的均值、方差、相關函數(shù)和協(xié)方 差函數(shù)。差函數(shù)。tVtX0sin)(0隨機信號分析隨機信號分析教學教學組組隨機過程的基本概念以統(tǒng)計特性4300( )( ) sinsin 0XmtE X tE VttE V解解tVtDtXDtX02022sin)(sin)()(212120 10 20 10 2( , )( )( )sinsinsinsinXRt tE X t X ttt E Vtt2010221121sinsin)()()()(),(tttmtXtmtXEttKXXX