2013年山西省中考數(shù)學(xué)試卷

1、第 1頁（共 30頁） 2013年山西省中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共 12 小題，每小題 2 分，共 24 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合要求的。） 1. （2 分）計(jì)算：2 X（ -3）的結(jié)果是（ ） A. 6 B.- 6 C.- 1 D. 5 2. （2 分）不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（ ） （元） 5Q 血 r （ 25. （13 分）數(shù)學(xué)活動(dòng) -求重疊部分的面積. 問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題： 如圖 1,將兩塊全等的直角三角形紙片厶 ABC 和ADEF 疊放在一起，其中/ ACB= / E=90 , BC=DE=6 AC=FE=8 頂點(diǎn) D 與邊

2、AB 的中點(diǎn)重合，DE 經(jīng)過點(diǎn) C, DF 交AC 于點(diǎn) G.求重疊部分（ DCG 的面積.第 9頁（共 30頁） （1） 獨(dú)立思考：請回答老師提出的問題. （2） 合作交流：希望”小組受此問題的啟發(fā)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，使 DE 丄 AB 交 AC 于點(diǎn) H, DF 交 AC 于點(diǎn) G,如圖 2,你能求出重疊部分（ DGH）的面 積嗎？請寫出解答過程. （3） 提出問題：老師要求各小組向 希望”小組學(xué)習(xí)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，再 提出一個(gè)求重疊部分面積的問題. 愛心”小組提出的問題是：如圖 3,將ADEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，DE, DF 分別交 AC 于 點(diǎn)M , N,使 DM=

3、MN,求重疊部分（ DMN）的面積. 任務(wù)：請解決 愛心”小組提出的問題，直接寫出 DMN 的面積是 _ 請你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問題，并在圖 4 中畫出 如圖，拋物線 yhx2-x-4 與 x 軸交與 A, B 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn)C,連接 BC,以 BC 為一邊， 點(diǎn) 0 為對稱中心作菱形 BDEC 點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（m, 0）,過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 I 交拋物 線于點(diǎn) Q. （1） 求點(diǎn) A, B, C 的坐標(biāo). （2） 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 I 分別交 BD, BC 于點(diǎn) M

4、 , N.試探究 m 為何值時(shí)，四邊形 CQMD 是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形 CQBM 的形狀，圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖 1 的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)） 26. （14 分）綜合與探究: 第 10頁（共 30頁） 并說明理由. （3）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 EB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn) Q,使厶 BDQ 為直角三角形？若存 2013年山西省中考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 、選擇題（共 12 小題，每小題 2 分，共 24 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合要求的。） 1. （2 分）計(jì)算：2 X（ -3）的結(jié)果是（ ） A. 6 B.- 6 C.- 1 D. 5 【解答

5、】解：2X（- 3） =-6; 故選：B. 2 （2分）不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（） 【解答】解： 2， 請說明理由. 第 11頁（共 30頁） 解不等式得，x 3，第 12頁（共 30頁） 故不等式的解集為：20), y2=0.12x (x0)； （2）由題意，得 當(dāng) y1y2 時(shí)，0.1x+60.12x,得 XV 300; 當(dāng) y1=y2 時(shí)，0.1x+6=0.12x,得 x=300; 當(dāng) y1 300; 當(dāng) 100wxv300 時(shí)，選擇乙種方式合算； 當(dāng) x=300 時(shí)，甲、乙兩種方式一樣合算； 當(dāng) 300vx450 時(shí)，選擇甲種方式合算. 答：印制 100300 （含 100）份

6、學(xué)案，選擇乙種印刷方式較合算，印制 300 份學(xué) 案，甲、乙兩種印刷方式都一樣合算，印制 300450 （含 450）份學(xué)案，選 擇甲種印刷方式較合算. 25. （13 分）數(shù)學(xué)活動(dòng) - 求重疊部分的面積. 問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題： 如圖 1,將兩塊全等的直角三角形紙片厶 ABC 和ADEF 疊放在一起，其中/ ACB= / E=90 , BC=DE=6 AC=FE=8 頂點(diǎn) D 與邊 AB 的中點(diǎn)重合，DE 經(jīng)過點(diǎn) C, DF 交 AC于點(diǎn) G.求重疊部分（ DCG 的面積. （1） 獨(dú)立思考：請回答老師提出的問題. （2） 合作交流：希望”小組受此問題的啟發(fā)，將 DEF

7、 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，使 DE 丄 AB 交 AC 于點(diǎn) H, DF 交 AC 于點(diǎn) G,如圖 2,你能求出重疊部分（ DGH）的面 積嗎？請寫出解答過程. （3） 提出問題：老師要求各小組向 希望”小組學(xué)習(xí)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，再 提出一個(gè)求重疊部分面積的問題. 解得: ,ki=0.12, 第 28頁（共 30頁） 愛心”小組提出的問題是： 如圖 3,將ADEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， DE, DF 分別交 AC 于 點(diǎn) M , N,使 DM=MN,求重疊部分（ DMN）的面積. 任務(wù)：請解決 愛心”小組提出的問題，直接寫出 DMN 的面積是一. 請你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求

8、的問題，并在圖 4 中畫出 圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖 1 的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）. 【解答】解：（1）【獨(dú)立思考】 / ACB=90, D 是 AB 的中點(diǎn), DC=DA=DBZ B=Z DCB. 又 ABCA FDE 二/ FDE=/ B. / FDE=/ DCB 二 DG/ BC. / AGD=Z ACB=90，二 DG 丄 AC. 又v DC=DA 是 AC 的中點(diǎn)， CG=AChx 8=4, DG=BC= X 6=3, 二 SxDGC=CG?DG=X 4 X 3=6. （2）【合作交流】 解法一：如下圖所示: ABCX FDE 二/ B=/ 1. v/ C=90, ED

9、丄 AB, 第 29頁（共 30頁） / A+Z B=90, / A+Z 2=90, / B=Z 2,：Z 1 = Z 2, GH=GD vZ A+Z 2=90, Z 1+Z 3=90, ：Z A=Z 3,： AG=GD : AG=GH 即點(diǎn) G 為 AH 的中點(diǎn). 在 RtAABC 中,AB= = =10, v D 是 AB 中點(diǎn),: ADAAB=5. 在厶 ADH 與厶 ACB 中, VZ A=Z A, Z ADH=Z ACB=90 , ADHAACB : ,即 ,解得 DH, : SADGF=_SAADH=- X - X DH?AD= X X 5= . 解法二：同解法一，G 是 AH 的

10、中點(diǎn). 連接 BH , VDE 丄 AB , D 是 AB 中點(diǎn), E - C 、 LA 普圏2 : AH=BH 設(shè) AH=x,貝 U CH=8- x. 在 RtA BCH 中,CHF+BC2=BH2 即：（8-x） 2+36=點(diǎn),解得 x= : SAABHAH?BC= X X 6=. : SADGF=_SADH=- X -SAABH=_ X=. 解法三：同解法一 ,Z 仁Z 2. 連接 CD,由（1）知,Z B=Z DCB=/ 1,第 25頁(共 30頁) ./ 仁/ 2=Z B=Z DCB DGIHA BDC. 過點(diǎn) D 作 DM 丄 AC 于點(diǎn) M , CN 丄 AB 于點(diǎn) N. 5DG

11、FF X X 5X= (3) 【提出問題】 解決愛心”小組提出的問題. 如答圖 4,過點(diǎn) D 作 DK 丄 AC 于點(diǎn) K,則 DK/ BC, 又v點(diǎn) D 為 AB 中點(diǎn)， DK=BC=3 答圏4 v D 是 AB 的中點(diǎn)，/ ACB=90, CD=AD=BD 點(diǎn) M 是 AC 的中點(diǎn)， .DMhBC= x 6=3. 在 RtAABC 中，AB= =10, -AC?BC=AB?CN S DGFF ?S BDCF ？ 第 31頁（共 30頁） DM=MN,：/ MND=Z MDN，由（2）可知/ MDN=Z B, / MND=Z B,又 I / DKN=Z C=90, DKNA ACB 二 ，即

12、 _，得 KNA . 設(shè) DM=MN=x，貝U MK=X-. 在 RtADMK 中，由勾股定理得：MK+DKMD2, 即：（x-）2+32=X，解得 x=， 二 SDMN=MN?DKhX X 3=一. 此題答案不唯一， 示例： 如答圖 5,將厶 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， 使 DE 丄 BC 于點(diǎn) M， DF交 AC 于點(diǎn) N,求重疊部分（四邊形 DMCN）的面積. 26. （14 分）綜合與探究： 如圖，拋物線 yhx2-x-4 與 x 軸交與 A, B 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn)C,連接 BC,以 BC 為一邊， 點(diǎn) 0 為對稱中心作菱形 BDEC 點(diǎn) P 是 x 軸

13、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（m, 0）,過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 I 交拋物 線于點(diǎn) Q. （1） 求點(diǎn) A, B, C 的坐標(biāo). （2） 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 I 分別交 BD, BC 于點(diǎn) M , N.試探究 m 為何值時(shí)，四邊形 CQMD 是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形 CQBM 的形狀， 并說明理由. （3） 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 EB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是否存在點(diǎn) Q，使厶 BDQ 為直角三角形？若存 在，請直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 第 32頁（共 30頁） 【解答】解：（1）當(dāng) y=0 時(shí)，-x2-x-4=0，解得 xi=- 2，X2=8,

14、點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè)， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-2, 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（8, 0）. 當(dāng) x=0 時(shí)，y=- 4， 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，- 4）. （2）由菱形的對稱性可知，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（0, 4）. 設(shè)直線 BD 的解析式為 y=kx+b，則 解得 k= - -，b=4. 直線 BD 的解析式為 y=-x+4. 11 丄 x 軸， 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（m，- -m+4），點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（m，-m2-m - 4）. 如圖，當(dāng) MQ=DC 時(shí)，四邊形 CQMD 是平行四邊形， （-_m+4）- （-m2-_m - 4） =4-（ - 4）. 化簡得：m2- 4m=0, 解得 mi=0

15、 （不合題意舍去），m2=4. 當(dāng) m=4 時(shí)，四邊形 CQMD 是平行四邊形. 此時(shí)，四邊形 CQBM 是平行四邊形. 解法一： m=4, 點(diǎn) P 是 0B 的中點(diǎn). 第 33頁（共 30頁） 11 丄 x 軸， I/ y 軸， BPMMA BOD, BM=DM， 四邊形 CQMD 是平行四邊形, DM CQ, BM CQ, 四邊形 CQBM 是平行四邊形. i D / / /戸 N / / 2 解法二：設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kix+bi，則 解得 ki二一,bi=-4. 故直線 BC 的解析式為 yhx-4.又/ lx 軸交 BC 于點(diǎn) N, x=4 時(shí)，y= - 2, 點(diǎn) N 的

16、坐標(biāo)為(4,- 2), 由上面可知，點(diǎn) M的坐標(biāo)為(4, 2),點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(4,- 6). MN=2-(- 2) =4, NQ=-2-(- 6) =4, MN=QN, 又四邊形 CQMD 是平行四邊形， 第 34頁（共 30頁） DB/ CQ, / 3=7 4, 在 BMN 與厶 CQN 中， BMNA CQN (ASA) BN=CN 四邊形 CQBM 是平行四邊形. (3) 拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn) Q,分別是 Qi (- 2, 0), Q2 (6,- 4). 若厶 BDQ 為直角三角形，可能有三種情形，如答圖 2 所示： 此時(shí)以 BD 為直徑作圓，圓與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之 Q 點(diǎn)

17、. P 在線段 EB 上運(yùn)動(dòng)， - 8XQ8,而由圖形可見，在此范圍內(nèi)，圓與拋物線并無交點(diǎn), 故此種情形不存在. 以點(diǎn) D 為直角頂點(diǎn). 連接 AD,v 0A=2, 0D=4, 0B=8, AB=10, 由勾股定理得：AD= _, BD= _, AD2+BD2=AB2 , ABD 為直角三角形，即點(diǎn) A 為所求的點(diǎn) Q. 第 29頁(共 30頁) -Qi （- 2, 0）; 以點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn). 如圖，設(shè) Q2點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y）,過點(diǎn) Q2作 Q2K 丄 x 軸于點(diǎn) K,則 Q2C- y, OK=x BK=8- x. 易證 QzKPA BOD, 一，即一，整理得：y=2x- 16. 點(diǎn) Q 在拋物線上，二 y=x2 x- 4. : - 4=2x- 16,解得 x=6 或 x=8, 當(dāng) x=8 時(shí)，點(diǎn) Q2與點(diǎn) B 重合，故舍去； 當(dāng) x=6 時(shí)，y=- 4, 二 Q2 （6,- 4）. 綜上所述，符合題意的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（-2, 0）或（6,- 4）.于是可得，小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的化簡結(jié)果是 一 故答案為二，. 20. （7 分）解方程：（2x- 1） * 1 2=x （3x+2）- 7. 【解答】解：（2x- 1） 2