熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程xyzodSn Fourier實驗定律實驗定律:成正比導(dǎo)數(shù)法方向的方向度沿曲面與物體溫的熱量面積流過一個無窮小法線方向內(nèi)沿物體在無窮小時段nudSdQdSnt .),(dSdtnuzyxkdQ 注：負(fù)號是因為熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè)，.異號與故nudQ 第1頁/共18頁., 它所包圍的區(qū)域記為內(nèi)任取一閉曲面在物體G.),(2121 ttdtdSnuzyxkQtt的全部熱量為流進(jìn)閉曲面到從時刻.),(),(),(),(),(),(,122121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxctzyxutzyxutt 它所吸收的熱量是變化到

2、溫度從中在時間間隔., 為密度為比熱其中 c第2頁/共18頁由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無熱源時，由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無熱源時， dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221 2112ttttttt 通過邊界的流入量熱量熱量第3頁/共18頁交換積分次序交換積分次序 210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc 則有熱傳導(dǎo)的齊次方程均是任意的及注意到,21 tt. 0 zukzyukyxukxtuc 第4頁/共18頁2

3、11212t tt ttt ttt t 熱量 熱量通過邊界的流入量 熱源的生成量若物體內(nèi)部有熱源，若物體內(nèi)部有熱源，程則有熱傳導(dǎo)的非齊次方).,(tzyxfzukzyukyxukxtuc 第5頁/共18頁數(shù)學(xué)模型2( , , , )uauf x y z tt 二維的情形：22222( , , )uuuaf x y ttxy一維的情形：222( , )uuaf x ttx其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C，222222xyz 如果物體是均勻的，且各向同性的，則有如果物體是均勻的，且各向同性的，則有第6頁/共18頁邊界條件給定溫度函數(shù) u(x,y,z,t) 在物體表面的限制。

4、一般來有三種類型：(0,)( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t第一類邊界條件：初始條件給出物體在初始時刻 t=0 的溫度( , , ,0)( , , )u x y zx y z第二類邊界條件：(0,)( , , , )ukg x y z tn第三類邊界條件：(0,)( , , , )uug x y z tn第7頁/共18頁由方程與定解條件可以描述一個特定的物理現(xiàn)象，它構(gòu)成一個定解問題混合問題：初始問題：222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 222,0,0(0, )( , ) 0,0( ,0)( )0 xuuax l ttxutu l ttu

5、xxx l 第8頁/共18頁考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有擴(kuò)散源，來研究物體內(nèi)部分子的濃度在時刻 t 的分布規(guī)律。物理模型數(shù)學(xué)模型( , , , )uD uf x y z tt 其中：u(x,y,z,t)表示于時刻 t 在 (x,y,z) 處的分子濃度f (x,y,z,t)表示單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)D 為擴(kuò)散系數(shù)第9頁/共18頁第10頁/共18頁 )(|0|, 0|0,002xuuuLxuautLxxxxt )()(),(tTxXtxu 0)()0(0)()()0()( LXXLXtTXtT222222/)/( XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXTl 未

6、知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 分離結(jié)果00)()0(0222 TaTLXXXX 第11頁/共18頁)exp()(22taAtTkkk 0sin)(0)0(sincos)( LDLXCXxDxCxX LkxxXkkk/,sin)( NkLkkLL ,/0sin l 空間方程解出l 非零解條件l 非零解l 時間方程解出l 分離結(jié)果的求解00)()0(0222 TaTLXXXX 第12頁/共18頁xtaAtTxXtxukkkkkk sin)exp()()(),(22 xAxkk sin)( 11sin),(22kktakkkxeAtxuuk l 初始條件要求l 分離結(jié)果的合成l 再合

7、成半通解l 系數(shù)的確定xdxxLAkLk sin)(20 l 過程小結(jié)l分離變量分別求解合成半通解由初始條件確定系數(shù)第13頁/共18頁xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),( txuu第14頁/共18頁)cos(sin|0|, 0|0, 0002xBAxuuuxuautxxxxtNktakATkxXkkk),exp(),sin(220)()0(0, 0)()(),(222XXXXTaTtTxXtxu0,3sin2sinsi

8、n2sinsinsin)cos(sin2212132121kkABAAAxAxAxAxBxAkxAxBAx122sin)exp(kkkxtakAul 代入初始條件l 分離變量l 分別求解l 合成半通解第15頁/共18頁)(|0|, 0|0, 0002xuuuLxuautLxxxxxxt)exp(, 2 , 1 , 0,/),cos(222tawATwkLkwwxXkkk)()(),(tTxXtxu0)( )0( LXXXXTaT/ )/(2)()(0 xXAAxkk10)()(kkkxXtTTul 初始條件要求l 未知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 本征運動l 半通解第16頁/共18頁xAuuuxuautxxxxxxt2002cos|0|, 0|0, 000022, 1),exp(),cos(ATXNktakATkxXkkk0)( )0( 0, 0)()(),(222XXXX