高中物理奧林匹克競賽專題：第10章-機械振動ppt課件

1、第十章第十章機機 械械 振振 動動1 10.2 10.2 阻尼振動阻尼振動 10.3 10.3 受迫振動受迫振動 共振共振 10.4 10.4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 拍拍 第十章第十章 機械振動機械振動10.1 簡諧振動簡諧振動2 機械振動：機械振動： 物體位置在某一值附近來回往復的變化物體位置在某一值附近來回往復的變化 廣義振動：廣義振動： 一個物理量在某一定值附近往復變化一個物理量在某一定值附近往復變化 該物理量的運動方式稱為振動該物理量的運動方式稱為振動 物理量：物理量：iQHEr等等等等10.1 簡諧振動簡諧振動3共振共振( (簡諧振動簡諧振動 振動振動受迫振動受迫振動自在振動

2、自在振動阻尼自在振動阻尼自在振動無阻尼自在振動無阻尼自在振動無阻尼自在非諧振動無阻尼自在非諧振動無阻尼自在諧振動無阻尼自在諧振動振動的方式振動的方式: :4重要的振動方式是重要的振動方式是 簡諧振動簡諧振動物理上：普通運動是多個簡諧振動的合成物理上：普通運動是多個簡諧振動的合成數(shù)學上：數(shù)學上： 付氏級數(shù)付氏級數(shù) 付氏積分付氏積分也可以說也可以說 簡諧振動是振動的根本模型簡諧振動是振動的根本模型或說或說 振動的實際建立在簡諧振動的根底上振動的實際建立在簡諧振動的根底上留意：以機械振動為例闡明振動的普通性質留意：以機械振動為例闡明振動的普通性質5一、諧振動的判據一、諧振動的判據表征了系統(tǒng)的能量表征

3、了系統(tǒng)的能量位移位移xkm0 xxA振幅振幅最大位移最大位移由初始條件決議由初始條件決議tAxcos1.1.運動學表達式運動學表達式廣義：振動的物理量廣義：振動的物理量彈簧諧振子彈簧諧振子特征量：特征量：6位相位相 周相周相系統(tǒng)的周期性系統(tǒng)的周期性 固有的性質固有的性質稱固有頻率稱固有頻率21T圓頻率圓頻率t相位相位初相位初相位角頻率角頻率tAxcos 取決于時間零點的選擇取決于時間零點的選擇初位相初位相頻率頻率T周期周期72. 2. 動力學方程動力學方程以彈簧諧振子為例以彈簧諧振子為例kmx0 xkx設彈簧原長為坐標原點設彈簧原長為坐標原點22dtxdmkx 022xmkdtxd0222xd

4、txd由牛頓第二定律由牛頓第二定律令令mk2簡諧振動簡諧振動整理得整理得8例題例題1 1 復擺物理擺的振動復擺物理擺的振動mg22sindtdJmgl0sin22Jmgldtd對比諧振動方程知：對比諧振動方程知：但假設做小幅度擺動但假設做小幅度擺動 即當即當sincol由轉動定律由轉動定律022Jmgldtd得得動力學方程動力學方程0222xdtxd普通情況不是諧振動普通情況不是諧振動時時滿足的方程：滿足的方程：9Jmgl2Jmgl21mglJT2振動的物理量振動的物理量 tJmglmcos固有圓頻率固有圓頻率角位移角位移振動表達式振動表達式0222xdtxd022Jmgldtd對比對比10思

5、索思索: :1.1.證明單擺小幅度擺動時的運動是簡諧振動證明單擺小幅度擺動時的運動是簡諧振動并求出振動的頻率。并求出振動的頻率。2.2.假設令一單擺的頻率與本例中的復擺的頻率假設令一單擺的頻率與本例中的復擺的頻率相等相等, ,單擺的擺長單擺的擺長l l 應為多少？應為多少？此擺長此擺長 l l 叫復擺的等值單擺長叫復擺的等值單擺長111 1簡諧振動表達式簡諧振動表達式0222xdtxdtAxcos從對象的運動規(guī)律出發(fā)從對象的運動規(guī)律出發(fā)電學規(guī)律電學規(guī)律 力學規(guī)律等力學規(guī)律等簡諧振動的規(guī)范方式簡諧振動的規(guī)范方式T小結小結2 2動力學方程動力學方程簡諧振動的判據簡諧振動的判據12二、簡諧振動的描畫

6、二、簡諧振動的描畫tAxcostAdtdxsin2costAxtAdtda22coscos2tAa1.1.解析描畫解析描畫均是作諧振動的物理量均是作諧振動的物理量ax,13頻率一樣頻率一樣振幅的關系振幅的關系Am2Aam相位差相位差超前超前 落后落后例題例題2 一質點沿一質點沿 x 軸作簡諧振動，原點為平衡軸作簡諧振動，原點為平衡位置。知周期位置。知周期T=0.2s,當計時開場當計時開場t =0時，質點時，質點的位移的位移 x0= 0.3m, 初速度初速度 =9.42 m/s。求：質點的運動方程。求：質點的運動方程。0解：由解：由tAxcostA sin14代入初始條件：代入初始條件：cos0

7、Ax sin0A)(001xtg得得22020 xAm424. 01042. 93 . 0222）（A質點的圓頻率質點的圓頻率rad/s102 . 022T質點的振幅質點的振幅154)3 . 01042. 9(1tg質點的初位相質點的初位相質點的振動方程質點的振動方程m)410cos(424. 0tx2.2.曲線描畫曲線描畫ToxtAAaA216例題例題3. 3. 簡諧振動的振動曲線如下圖。簡諧振動的振動曲線如下圖。 求：求： 、及振動方程。及振動方程。 xA1ot-AA/2解：由圖可知解：由圖可知0t2/0Ax 003代入振動方程，得：代入振動方程，得：00111xt23165 )365co

8、s(tAx振動方程振動方程看斜率看斜率173.3.旋轉矢量描畫旋轉矢量描畫用勻速圓周運動用勻速圓周運動 幾何地描畫諧振動幾何地描畫諧振動規(guī)定規(guī)定xoAAA tAxcosx端點在端點在 x x 軸上的投影式軸上的投影式逆時針轉逆時針轉以角速度以角速度)cos(tAxt 上半圓諧振上半圓諧振動速度小于零動速度小于零; 下半圓諧振下半圓諧振動速度大于零動速度大于零;18tAxcos1 1直觀地表達振動形狀直觀地表達振動形狀優(yōu)點優(yōu)點當振動系統(tǒng)確定了振幅以后當振動系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動的關鍵就是相位表述振動的關鍵就是相位 即即表達式中的余弦函數(shù)的綜量表達式中的余弦函數(shù)的綜量)(t而旋轉矢量圖而旋轉矢

9、量圖可直觀地顯示該綜量可直觀地顯示該綜量分析解析式分析解析式可知可知用圖替代了文字的表達用圖替代了文字的表達xoAxt19x旋轉矢量與軸夾角為零旋轉矢量與軸夾角為零12xoAA如如 在在 t t 時辰彈簧振子質點時辰彈簧振子質點 在正的端點在正的端點Ax 0t意味意味3t 質點經二分之一振幅處質點經二分之一振幅處向負方向運動向負方向運動意味意味2Ax 020A質點過平衡位置向負方向運動質點過平衡位置向負方向運動32t43t5Axt同樣同樣432 0 0向負方向運動向負方向運動2Ax 00 x 02或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向運動向正向運動22cos2coscos2tAat

10、AtAxxaAAA2由圖看出：速度超前位移由圖看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2稱兩振動同相稱兩振動同相2 2 方便地比較振動步伐方便地比較振動步伐位移與加速度位移與加速度稱兩振動反相稱兩振動反相0假假設設23例題例題4 4 質量為質量為m m的質點和勁度系數(shù)為的質點和勁度系數(shù)為k k的彈簧的彈簧組成的彈簧諧振子組成的彈簧諧振子,t =0,t =0時時, ,質點過平衡位置質點過平衡位置且向正方向運動。且向正方向運動。3方便計算方便計算用熟習的圓周運動替代三角函數(shù)的運算用熟習的圓周運動替代三角函數(shù)的運算求：物體運動到負的二分之一振幅處求：物體運動到負的二分之一振幅處時所用的最短時間

11、。時所用的最短時間。解：設解：設t t時辰到達末態(tài)時辰到達末態(tài)由知畫出由知畫出t=0t=0時辰的旋轉矢量圖時辰的旋轉矢量圖24tt67mk/670txo再畫出末態(tài)的旋轉矢量圖再畫出末態(tài)的旋轉矢量圖由題意選藍實線所示的位矢由題意選藍實線所示的位矢設始末態(tài)位矢夾角為設始末態(tài)位矢夾角為得得繁復的三角函數(shù)的運算用勻速圓周運動的一個運動關系求得繁復的三角函數(shù)的運算用勻速圓周運動的一個運動關系求得t由于由于25如如 彈簧諧振子彈簧諧振子系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒以彈簧原長為勢能零點以彈簧原長為勢能零點ckxm222121)(cos21)(sin2122222tkAtmAkm22222212121mAkx

12、m221kA三、簡諧振動的能量三、簡諧振動的能量kmx0 x26222212121kAkxm討論討論1) 1) 普適普適2AE 2) 2) 時間平均值時間平均值PKEE241kA3) 3) 由諧振動能量求振動由諧振動能量求振動Ckxm)2121(22dtddtddtdx022 kxdtxdm0222xdtxd27例題例題5 5 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k k的輕彈簧掛在質量為的輕彈簧掛在質量為m m半徑為半徑為R R的勻質圓柱體的對稱軸上的勻質圓柱體的對稱軸上使之作無滑動的滾動使之作無滑動的滾動證明：圓柱體的質心作諧振動證明：圓柱體的質心作諧振動 并求出諧振動的角頻率并求出諧振動的角頻率有時由諧振

13、動能量求諧振動的特征量會更方便有時由諧振動能量求諧振動的特征量會更方便kc28const.212121222cccJmkx彈簧原優(yōu)點為坐標原點彈簧原優(yōu)點為坐標原點設原點處為勢能零點設原點處為勢能零點質心在質心在 xc xc 位置時系統(tǒng)的機械能位置時系統(tǒng)的機械能為為解：振動系統(tǒng)解：振動系統(tǒng) 機械能守恒機械能守恒 建坐標如圖建坐標如圖留意上式中的留意上式中的是剛體轉動的角速度是剛體轉動的角速度kcxo29.const212121222cccJmkx221mRJcRccmkxcc224321兩邊對兩邊對 t t 求導數(shù)求導數(shù), , 得得03222ccxmkdtxd將將代入上式代入上式得得 與動力學方

14、程比較知與動力學方程比較知物理量物理量xcxc的運動方式是簡諧振動的運動方式是簡諧振動30mk32kmT232圓頻率圓頻率周期周期作業(yè)作業(yè)10.2 10.3 10.8 10.9 10.11 10.1431一、阻尼振動一、阻尼振動 系統(tǒng)在振動過程中遭到粘性阻力作用后系統(tǒng)在振動過程中遭到粘性阻力作用后, , 能量將隨時間逐漸衰減。能量將隨時間逐漸衰減。 系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù)比例系數(shù) 叫阻力系數(shù)叫阻力系數(shù) 關系式為關系式為: : f二、阻尼振動的動力學方程二、阻尼振動的動力學方程10.2 10.2 阻尼振動阻尼振動3222dtxdmdtdxkx022dt

15、dxmxmkdtxdm2令令稱阻尼系數(shù)稱阻尼系數(shù)mk20系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)固有頻率由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有整理得整理得式中式中kmxox彈性F阻力f33022022xdtdxdtxd假設無阻尼假設無阻尼是諧振動的方式是諧振動的方式存在阻尼存在阻尼仍振動但能量會衰減仍振動但能量會衰減從物理上思索：從物理上思索：阻尼振動方程為阻尼振動方程為三、振動表達式三、振動表達式 所以所以, ,解的方式必定是在諧振動的根解的方式必定是在諧振動的根底上乘上一衰減因子底上乘上一衰減因子. .34)cos(0teAxt220即方式為：即方式為：可以證明：可以證明：tx三種阻尼振動三種阻尼振動過阻尼：過阻尼：0

16、臨界阻尼：臨界阻尼：0欠阻尼：欠阻尼：0過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼xt03510.3 受迫振動受迫振動 共振共振 一、受迫振動一、受迫振動 振動系統(tǒng)在外界驅動力的作用下維持等幅振動振動系統(tǒng)在外界驅動力的作用下維持等幅振動 1.受迫振動的動力學方程受迫振動的動力學方程 設驅動力按余弦規(guī)律變化設驅動力按余弦規(guī)律變化 即即tFFdcos0tFdtdxkxdtxdmdcos022由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有36mk20m2mFh0thxdtdxdtxdcos22022整理得整理得其中其中固有頻率固有頻率阻尼因子阻尼因子2.2.穩(wěn)定形狀的振動表達式穩(wěn)定形狀的振動表達式 受迫振動系統(tǒng)到達

17、穩(wěn)定時受迫振動系統(tǒng)到達穩(wěn)定時, ,應做與驅應做與驅動力頻率一樣的諧振動。動力頻率一樣的諧振動。其表達式為：其表達式為：)cos(tAxd37用旋轉矢量法可求出上式的用旋轉矢量法可求出上式的A A和和thxdtdxdtxddcos22022)cos(tAxd)2cos(tAdtdxd)cos(222tAdtxddd代入上式，得到：代入上式，得到：38A20dA22dAh222022)()2(AAAhdd2220222)()2(ddhA畫恣意時辰旋轉矢量圖畫恣意時辰旋轉矢量圖由圖可知：由圖可知：得得驅動力初驅動力初相為零相為零2202arctgdd位移與驅動力的相位差位移與驅動力的相位差thtAt

18、AtAddddddcos)cos()2cos(2)cos(20239在弱阻尼即在弱阻尼即 0 0的情況的情況下下系統(tǒng)的振動速度和振幅都到達最大值系統(tǒng)的振動速度和振幅都到達最大值 共振共振當當 = = 0 0 時時2220222)()2(ddhA二、共振二、共振 2202共振 共振景象共振景象 普遍普遍 有利有弊有利有弊4010.4 10.4 諧振動的合成諧振動的合成一、兩個振動方向一樣的簡諧振動的合成一、兩個振動方向一樣的簡諧振動的合成二、二、N N個振動方向一樣的簡諧振動的合成個振動方向一樣的簡諧振動的合成三、三、 拍拍四、四、 兩個垂直方向簡諧振動的合成兩個垂直方向簡諧振動的合成41 當一

19、個物體同時參與幾個諧振動時當一個物體同時參與幾個諧振動時 就需思索振動的合成問題就需思索振動的合成問題 本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況 本節(jié)所討論的同頻率的諧振動合成結果本節(jié)所討論的同頻率的諧振動合成結果 是波的干涉和偏振光干涉的重要根底是波的干涉和偏振光干涉的重要根底 本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動合成結果本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動合成結果 可以給出重要的實踐運用可以給出重要的實踐運用42一、振動方向一樣、振動頻率一樣一、振動方向一樣、振動頻率一樣的的 兩個諧振動的合成兩個諧振動的合成21xxcos(cos(21AA)2010tt線性疊加線性疊加21xxxxo1A1

20、02A20A0t結果：結果：仍是諧振動仍是諧振動振動頻率仍是振動頻率仍是振動的振幅振動的振幅cos2212221AAAAA雙光束干涉的實際根底雙光束干涉的實際根底43cos2212221AAAAA 假假設設021AAA21AAA反相反相 合振動減弱合振動減弱同相同相 合振動加強合振動加強特殊結果：特殊結果： 假假設設21AA 假假設設兩振動同相兩振動同相兩振動反相兩振動反相12AA 0A能夠的最強振動能夠的最強振動“振動加振動振動加振動不振不振動動102044 二、振動方向一樣、振動頻率一樣、振幅一二、振動方向一樣、振動頻率一樣、振幅一樣、相鄰相位差一樣的樣、相鄰相位差一樣的N N個簡諧振動的

21、合成。個簡諧振動的合成。 taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN45xaARN2sin2aR 2sin2RA2sin2sinNaNxxxxx321線性相加線性相加用旋轉矢量法求解用旋轉矢量法求解由圖得由圖得462sin2sinNaA 普通情況普通情況特例特例1 12k, 2, 1, 0kaNaA aa主極大主極大A2 22kNNk , 0的倍數(shù)的整數(shù)的倍數(shù)的整數(shù)0A極小極小xaR473 3) 12(kN, 2, 1, 0kRA2次極大次極大多光束干涉的實際根底多光束干涉的實際根底特例特例1 12k, 2, 1, 0kaNaA aa主極大主極大A2 22kN

22、Nk , 0的倍數(shù)的整數(shù)的倍數(shù)的整數(shù)0A極小極小48三、三、 振動方向一樣、頻率略有差別的、振動方向一樣、頻率略有差別的、 振幅相等的、兩個諧振動的合成振幅相等的、兩個諧振動的合成-拍拍分振動：分振動：tAxtAx202101coscos21線性相加：線性相加：ttAxxx2cos2cos22121021結論：結論： 合成已不再是諧振動合成已不再是諧振動 但思索到但思索到 1 1 2 2 可以用諧振動表達式等效來加深認識可以用諧振動表達式等效來加深認識49ttAxxx2cos2cos22121021分析：分析：2121221那么那么tA2cos2210較較t2cos21隨時間變化緩慢隨時間變化緩慢將合成式寫成諧振動方式將合成式寫成諧振動方式ttAxcos)(tAtA2cos2)(210509tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振動可看做是振幅緩變的諧振動合振動可看做是振幅緩變的諧振動合成振動如圖示合成振動如圖示表達式為表達式為ttAx2cos2cos22121051| 21vvv拍 拍拍 合振動的周期性的強弱變化叫做拍合振動的周期性的強弱變化叫做拍拍頻拍頻 單位時間內合振動加強或減弱的次數(shù)單位時間內合振動加強或減弱的