平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測法

1、7 7 平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測法平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測法7.1 概述7.2 時(shí)間序列的自相關(guān)分析7.3 單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)7.4 ARMA模型的建模 回總目錄7.1 概概 述述 時(shí)間序列 取自某一個(gè)隨機(jī)過程，則稱： ty 一、平穩(wěn)時(shí)間序列過程是平穩(wěn)的隨機(jī)過程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化而變化過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化而變化回總目錄回本章目錄 寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：設(shè)時(shí)間序列 ty，對于任意的t,k和m，滿足： mttyEyEkmtmtkttyyyy,cov,cov則稱 寬平穩(wěn)。 ty回總目錄回本章目錄q Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測方法。 他們的工作為實(shí)際工作者提供了

2、對時(shí)間序列進(jìn)行分析、 預(yù)測，以及對ARMA模型識別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu) 化的建模方法，并且具有統(tǒng)計(jì)上的完善性和牢固的理 論基礎(chǔ)。q ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機(jī)序列的最常用的一種模型；回總目錄回本章目錄 ARMA模型三種基本形式：q 自回歸模型（AR：Auto-regressive）；q 移動平均模型（MA：Moving-Average）；q 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）?；乜偰夸浕乇菊履夸?如果時(shí)間序列 滿足 其中 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且滿足： 則稱時(shí)間序列 服從p階自回歸模型。 t

3、 ty 二、自回歸模型 tytptpttyyy.11l回總目錄回本章目錄 0Var , 02ttE 自回歸模型的平穩(wěn)條件：滯后算子多項(xiàng)式 ppBBB.11的根均在單位圓外，即 0B的根大于1。 回總目錄回本章目錄 如果時(shí)間序列 滿足則稱時(shí)間序列 服從q階移動平均模型。 或者記為 。平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。 ttyB ty11.tttq t qy ty 三、移動平均模型MA(q) 回總目錄回本章目錄 四、ARMA(p,q)模型如果時(shí)間序列 ty滿足：qtqttptpttyyy.1111則稱時(shí)間序列 服從(p,q)階自回歸移動平均模型。 ty或者記為： ttByB回總目錄回本章目錄q q=0，

4、模型即為AR(p)；q p=0，模型即為MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情況：回總目錄回本章目錄例題分析 設(shè) cossintXActBct，其中A與B為兩個(gè)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量，方差為1；0c為一常數(shù)。試證明：tX寬平穩(wěn)?；乜偰夸浕乇菊履夸涀C明： cossin0tE XE ActBct 22,cossincossincoscoscossinsincossinsincoscossinsincos ()r s tE ActBctAcsBcsE AcsctABctcsABctcsBctcscsctctcsc ts均值為0，tX,r s t只與t-s有關(guān)，所以寬平穩(wěn)?；乜偰夸浕乇菊履夸?.2

5、時(shí)間序列的自相關(guān)分析 q自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方 法，它簡單易行, 較為直觀，根據(jù)繪制的自 相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初 步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。q 利用自相關(guān)分析法可以測定時(shí)間序列的隨機(jī)性 和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。一、自相關(guān)分析回總目錄回本章目錄（1）自相關(guān)函數(shù)的定義 滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： tktkyyr,cov則自相關(guān)函數(shù)為： tktyykkr其中 22ttyyEyEt回總目錄回本章目錄 當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫為： 0rrkk（2）樣本自相關(guān)函數(shù)nttkntkttkyyyyyy121其中 nyyntt/1回總目錄回本章目錄q 樣本

6、自相關(guān)函數(shù)可以說明不同時(shí)期的數(shù) 據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到 1之間，值越接近于1，說明時(shí)間序列的 自相關(guān)程度越高?；乜偰夸浕乇菊履夸洠?）樣本的偏自相關(guān)函數(shù)是給定了的條件下，ty與滯后k期時(shí)間序列之間的條件相關(guān)。定義表示如下：kk111,111,11kjjkjkkjjkjkk1k,.3 , 2k其中， jkkkkjkjk, 1, 1,121,ktttyyy回總目錄回本章目錄 時(shí)間序列的隨機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則：q 若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入 置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性；q 若較多自相關(guān)函數(shù)落在

7、置信區(qū)間之外， 則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。回總目錄回本章目錄 判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是： q若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)在k3時(shí)都落入置 信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；q若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū) 間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性?；乜偰夸浕乇菊履夸浂?、ARMA模型的自相關(guān)分析 q AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自 相關(guān)函數(shù)拖尾；q MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏 自相關(guān)函數(shù)拖尾； （可用以上兩個(gè)性質(zhì)來識別AR和MA模型的階數(shù)）q ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都

8、 是拖尾的?；乜偰夸浕乇菊履夸?.3 單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn) 一、單位根檢驗(yàn) 利用迪基福勒檢驗(yàn)（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯佩榮檢驗(yàn)（Philips-Perron Test），也可以測定時(shí)間序列的隨機(jī)性，這是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗(yàn)方法，與前者不同的是，后一個(gè)檢驗(yàn)方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況?；乜偰夸浕乇菊履夸洠?）隨機(jī)游動 如果在一個(gè)隨機(jī)過程中， 的每一次變化均來自于一個(gè)均值為零的獨(dú)立同分布，即ty隨機(jī)過程 ty滿足： tttyy1.2 , 1t其中 t獨(dú)立同分布，并且： 0tE 22ttEVar稱這

9、個(gè)隨機(jī)過程是隨機(jī)游動。它是一個(gè)非平穩(wěn)過程。 回總目錄回本章目錄 （2）單位根過程 設(shè)隨機(jī)過程 ty滿足： tttyy1.2 , 1t其中 1 t為一個(gè)平穩(wěn)過程并且 0tEsstt,cov.2, 1 ,0s回總目錄回本章目錄（3） 協(xié)整關(guān)系q 如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其某個(gè) 線性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時(shí)間序 列間就被稱為有協(xié)整關(guān)系存在；q 這是一個(gè)很重要的概念，我們利用Engle- Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法和Johansen協(xié)整檢驗(yàn) 法可以測定時(shí)間序列間的協(xié)整關(guān)系?；乜偰夸浕乇菊履夸?.4 ARMA模型的建模模型的建模 一、模型階數(shù)的確定 （1）基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階

10、方法 對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)?；乜偰夸浕乇菊履夸浘唧w方法如下：q對于每一個(gè)q,計(jì)算 1q2qMq.（M 取為 或者 ），考察其中滿足 n10/nqiikn12211或者qiikn12212的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。如果 01qk k， 都明顯地異于零，而 (轉(zhuǎn)下頁)回總目錄回本章目錄10q20qMq 0.均近似于零，并且滿足上述不等式之一的 k的個(gè)數(shù)達(dá)到其相應(yīng)的比例，則可以近似地判定 k是 步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列 0q ty為 0()MA q。,回總目錄回本章目錄q 類似，我們可通過計(jì)算序列kk其中滿足 ，

11、考察nkk1或者nkk2是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。即可以近似的個(gè)數(shù)地判定kk是 步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列 0p ty為 0()AR p?；乜偰夸浕乇菊履夸泀 如果對于序列 kkk和截尾，即不存在上述的 來說，均不0p0q和判定平穩(wěn)時(shí)間序列 ，則可以 ty為ARMA模型。 回總目錄回本章目錄（2）基于F 檢驗(yàn)確定階數(shù)（3）利用信息準(zhǔn)則法定階（AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則）此外常用的方法還有：回總目錄回本章目錄二、模型參數(shù)的估計(jì)（1）初估計(jì) q AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計(jì)特例：一階自回歸模型AR(1)： 11二階自回歸模型AR(2)： 21211112121221回總目錄回本

12、章目錄q MA(q)模型參數(shù)估計(jì) 特例：一階移動平均模型MA(1)：12112411二階移動平均模型MA(2)： 2221211112221221回總目錄回本章目錄q ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì) 由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，比較困難，有幾種方法可以進(jìn)行。一般利用統(tǒng)計(jì)分析軟件包完成。 回總目錄回本章目錄（2）精估計(jì) ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計(jì)，一般 采用極大似然估計(jì)，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù) 雜性，無法直接給出參數(shù)的極大似然估 計(jì)，只能通過迭代方法來完成，這時(shí)， 迭代初值常常利用初估計(jì)得到的值?；乜偰夸浕乇菊履夸?三、ARMA(p,q)序列預(yù)報(bào) 設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列 ty是一個(gè)ARMA(p,q)過程，

13、則其最小二乘預(yù)測為： 11,.,yyyElyTTtq AR(p)模型預(yù)測 plylylyTpTt.11,.2 , 1lTTT回總目錄回本章目錄q ARMA(p,q)模型預(yù)測 1,.,yyEiTiTT其中： jljlylyTjqjTpjjt11T回總目錄回本章目錄q 預(yù)測誤差預(yù)測誤差為： 11110.llltlttlttlyyle 步線性最小方差預(yù)測的方差和預(yù)測步長 有關(guān), 而與預(yù)測的時(shí)間原點(diǎn)t無關(guān)。預(yù)測步長越大，預(yù)測誤差的方差也越大，因而預(yù)測的準(zhǔn)確度就會降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長期預(yù)測模型。ll回總目錄回本章目錄q 預(yù)測的置信區(qū)間 預(yù)測的95%置信區(qū)間： 21212120.96. 1ltly回總目錄回本章目錄例題分析設(shè)120.30.4ttttXXX為一AR(2)序列，其中 (0,1)tWN。求tX的自協(xié)方差函數(shù) k。 例 1回總目錄回本章目錄解答：0112Yule-Walker方程為：1212即：0110.30.41020.30.4回總目錄回本章目錄20120.30.41且：聯(lián)合上面三個(gè)方程，解出：0100/63150/63255/63120.30.4kkk1k回總目錄回本章目錄 例 2考慮如下AR(2) 序列：121.50.30.5ttttXXX (0,