最新恒成立能成立問題總結(jié)(詳細(xì))(共15頁)

1、恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個重點、難點問題。這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個固定的思想方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準(zhǔn)確地把握快速解決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規(guī)處理。1、 函數(shù)法（1） 構(gòu)造一次函數(shù) 利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決 對于一次函數(shù)有： 例1 若不等式對滿足的所有都成立，求的范 圍。 解析：將不等式化為：， 構(gòu)造一次型函數(shù)： 原命題等價于對滿足的，使恒成立。由函數(shù)圖象是一條線段，知應(yīng)解得 ，所以的范圍是。小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來是解

2、關(guān)于的不等式問題轉(zhuǎn)化為以為變量，為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習(xí):(1)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 （2）對于的一切實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍。（答案：或）（二）構(gòu)造二次函數(shù) 利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。 對于二次函數(shù)有： （1）上恒成立； （2）上恒成立 （3）當(dāng)時，若上恒成立 若上恒成立 （4）當(dāng)時，若上恒成立 若上恒成立例2若關(guān)于的二次不等式：的解集為，求的取值范圍. 解：由題意知，要使原不等式的解集為，即對一切實數(shù)原不等式都成立。 只須 . 的取值范圍是說明：1、本題若無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮的情況，但對本

3、題講時式子不恒成立。2、只有定義在R上的恒二次不等式才能實施判別式法；否則，易造成失解。練習(xí)：1、 已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍。 （答案） 2、已知函數(shù)在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（答案）提示：構(gòu)造一個新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分類討論，使問題得到圓滿解決。（三）、利用函數(shù)的最值-分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊即分離參變量，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。注意參數(shù)的端點值能否取到需檢驗。類型一 ： “”型 一、（恒成立） （1）恒

4、成立；（2）恒成立；二、（能成立、有解）：（1）能成立；（2） 能成立； 三、（恰成立） （1）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為； （2）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為. 四、（方程有解） 方程在某個區(qū)間上有解，只需求出在區(qū)間上的值域A使。例3：設(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍。 解：如果時，恒有意義對恒 成立，恒成立。 令，又，則 對恒成立，又在上為減函數(shù)， ，例4：若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍。 解： 設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在R上能成立,即，解得例5不等式有解，求的取值范圍。解：不等式有解能成立能成立， 所以。例6（2008年上海）已知函數(shù)f(x)2

5、x若不等式2t f(2t)+m f(t)0對于t1,2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：本題可通過變量分離來解決當(dāng)時，即，故的取值范圍是例7（1990年全國）設(shè)，其中a為實數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時有意義，求a的取值范圍解：本題即為對于，有恒成立這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)于是有的最大值為，從而可得如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實際,采取合理有效的方法進行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)

6、的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值類型二：“”型例8 已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若當(dāng)x0,1時，f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍. 解 f(x)g(x)在x0,1恒成立，即在x0,1恒成立在0,1上的最大值小于或等于零.令，.x0,1，F(xiàn)(x)0，即F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.f(x)F(0)=1-t0，即t1. 類型三：“”型 （恒成立和能成立交叉）：（1） 成立 ；例9已知兩個函數(shù)，其中為實數(shù)。（1）對任意，都有成立，求的取值范圍；（2）存在，使成立，求的取值范圍；（3）對任

7、意，都有，求的取值范圍。 解析：（1）設(shè)問題轉(zhuǎn)化為時，恒成立，故。令，得。由，故由。（2） 據(jù)題意：存在，使成立在有解，故，由（1）知，于是得。（3） 分析：它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別。對任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：，由，得，易得，又，. 故，令。例10：（2010山東）已知函數(shù). ()當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍. 解析：()當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，恒成立，此時，函數(shù)在 單調(diào)遞減； 當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減. （）

8、當(dāng)時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)， 所以對任意，有， 又已知存在，使，所以，（） 又 當(dāng)時，與（）矛盾； 當(dāng)時，也與（）矛盾； 當(dāng)時，. 綜上，實數(shù)的取值范圍是.例11已知函數(shù)，若對任意x1，x2-2,2，都有f(x1)g(x2)，求c的范圍.解 因為對任意的x1，x2-2,2，都有f(x1)g(x2)成立，f(x)maxg(x)min.f(x)=x2-2x-3，令f(x)0得x3或x-1；f(x)0得-1x3.f(x)在-2,-1為增函數(shù)，在-1,2為減函數(shù).f(-1)=3，f(2)=-6，f(x)max=3.c-24.類型四： “”型 例12：已知函數(shù)，若對任意xR，都

9、有f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x1-x2|的最小值為_.解 對任意xR，不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立，f(x1)，f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)y=sinx，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是，即半個周期.又函數(shù)的周期為4，|x1-x2|的最小值為2.類型五：例13 (2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx這四個函數(shù)中，當(dāng)0x1x21時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解 本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知y=log2x符合題意.類型六：.“0”型 例14 已知函

10、數(shù)f(x)定義域為-1,1，f(1)=1，若m，n-1,1，m+n0時，都有，若f(x)t2-2at+1對所有x-1,1，a-1,1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解 任取-1x1x21，則.由已知0，又x1-x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x)在-1,1上為增函數(shù).f(1)=1，x-1,1，恒有f(x)1.要使f(x)t2-2at+1對所有x-1,1，a-1,1恒成立，即要t2-2at+11恒成立，故t2-2at0恒成立.令g(a)=t2-2at，只須g(-1)0且g(1)0，解得t-2或t=0或t2.評注 形如不等式“0”或“0”恒成立，實際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時要

11、注意此種類型不等式所蘊涵的重要信息.類型七：“|f(x1)f(x2)|t(t為常數(shù))”型例15已知函數(shù)f(x)=-x4+2x3，則對任意t1，t2-,2(t1t2)都有|f(x1)-f(x2)|_恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t1=_，t2=_時取等號.解 因為|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|恒成立，由，x-,2，易求得，.|f(x1)-f(x2)|2.類型八：“|f(x1)-f(x2)|x1-x2|”型例16 已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b，對于x1,x2(0,)(x1x2)時總有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|成立，求實數(shù)a的范圍.解 由f(x)=x3+ax+b，得f(

12、x)=3x2+a，當(dāng)x(0,)時，af(x)1+a.|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，-1a0.評注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)連線的斜率(x1x2)的取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，可以解決形如|f(x1)-f(x2)|m|x1-x2|或|f(x1)-f(x2)|m|x1-x2|(m0)型的不等式恒成立問題.（4） 數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的

13、聯(lián)系, 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用構(gòu)造對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象法求解。 1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2） 函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。 例17 已知，求實數(shù)a的取值范圍。 解析：由，構(gòu)造出兩個函數(shù)并在同一直角坐標(biāo)系中作出它們的圖象，如果兩個函數(shù)分別在處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。x-2-4yO-4例18設(shè) , ,若恒有成立,求實數(shù) 的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距

14、離滿足 解得（舍去)練習(xí)：若對任意,不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。練習(xí)：1、已知二次函數(shù)滿足，而且，請解決下列問題（1） 求二次函數(shù)的解析式。 （2） 若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。（3） 若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。（4） 若在區(qū)間上有解 ，求的取值范圍。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計在對大學(xué)生進行店鋪經(jīng)營風(fēng)格所考慮的因素問題調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有50%人選擇了價格便宜些，有28%人選擇服務(wù)熱情些，有30%人選擇店面裝潢有個性，只有14%人選擇新穎多樣。如圖（1-5）所示2、已知函數(shù)，若在區(qū)間是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。 答案：3、已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍。400-500元1326% 答案：4、已知函數(shù)的值域，函數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是 。答：。5、已知函數(shù)，（二）大學(xué)生對DIY手工藝品消費態(tài)度分析，成立，則實數(shù)的取值范圍是 答：“漂亮女生”號稱全國連鎖店，相信他們有統(tǒng)一的進貨渠道。店內(nèi)到處貼著“10元以下任選”，價格便宜到令人心動。但是轉(zhuǎn)念一想，發(fā)夾2.8元，發(fā)圈4.8元，皮夾子9.8元，好像和平日討價還價殺來的心理價位也差不多，只不過把一只20元的發(fā)夾還到5元實在辛苦，現(xiàn)在明碼標(biāo)價倒也省心省力。 1、，則實數(shù)的取值范圍是 .十字繡 編制類 銀飾制品類 串珠首飾類分析 ，.2