五年級(jí)奧數(shù)教程85138

1、平均數(shù)（一）專題簡(jiǎn)析：把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等， 求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問(wèn)題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)二總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù)例 1 有 4 箱水果，已知蘋(píng)果、梨、橘子平均每箱 42 個(gè)，梨、橘子、桃平均每箱 36 個(gè)，蘋(píng)果和桃平均每箱 37 個(gè)。一箱蘋(píng)果多少個(gè)？分析與解答：（1） 1 箱蘋(píng)果+ 1 箱梨+ 1 箱橘子=42X3=136 （個(gè)）；（2）1 箱桃+ 1 箱梨+ 1 箱橘子=36X3=108 （個(gè)）（3）1 箱蘋(píng)果+ 1 箱桃=37X2=72 （個(gè)）

2、由（1）（ 2）兩個(gè)等式可知：1 箱蘋(píng)果比 1 箱桃多 126108=18 （個(gè)），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1 箱桃 有（74 18）- 2=28 （個(gè)），1 箱蘋(píng)果有 28+ 18=46 （個(gè)）。1 箱蘋(píng)果和 1 箱桃共有多少個(gè)：37X2=74 （個(gè)）1 箱蘋(píng)果比 1 箱桃多多少個(gè)：42X3 36=18 （個(gè)）1 箱蘋(píng)果有多少個(gè)：28+ 18=46 （個(gè)）練習(xí)一1, 一次考試，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁 二人平均分 95 分。問(wèn)：甲、丁各得多少分？2,甲、 乙、 丙、 丁四人稱體重， 乙、丙、丁三人共重120 千克，甲、丙、丁三人共 重126

3、千克，丙、丁二人的平均體重是 40 千克。求四人的平均體重是多少千克？3,甲、乙、丙三個(gè)小組的同學(xué)去植樹(shù)，甲、乙兩組平均每組植樹(shù)18 棵，甲、丙兩 組平均每組植樹(shù) 17 棵，乙、丙兩組平均每組植樹(shù) 19 棵。三個(gè)小組各植樹(shù)多少棵？例 2 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分； 男生平均每人 90.5 分。求這個(gè)班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高 92 - 91.2=0.8 （分），而男生每人比全班平均分低91.2 90.5=0.7 （分）。全體女生高出全班平均分 0.8X21 = 16.8 （分），應(yīng)補(bǔ)給每 個(gè)男生 0.7 分，16.8

4、里包含有 24 個(gè) 0.7，即全班有 24 個(gè)男生。練習(xí)二1, 兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳 152 下。甲組有 6 人，平均每人跳 140 下，乙組平均每人跳 160 下。乙組有多少人？2,有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是 92.5 千克，已知一塊地是 5 畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5 千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是 85 千克。這塊田是多少畝？3,把甲級(jí)和乙級(jí)糖混在一起，平均每千克賣(mài)7 元，乙知甲級(jí)糖有 4 千克，平均每千 克8 元；乙級(jí)糖有 2 千克，平均每千克多少元？例 3 某 3 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 2,如果把其中一個(gè)數(shù)改為 4,平均數(shù)就變成了 3。被改 的數(shù)原來(lái)是多少？分析：原來(lái)三個(gè)數(shù)的和

5、是 2X3=6,后來(lái)三個(gè)數(shù)的和是 3X3=9, 9 比 6 多出了 3,是 因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了 4。因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是 4 3=1。練習(xí)三1,已知九個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 72,去掉一個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。 去掉的 數(shù)是多少？2,有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是 9。如果把其中的一個(gè)數(shù)改為 1,那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為&這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？3,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄 分?jǐn)?shù)時(shí)，把自己的分錯(cuò)抄成了 87 分，因此，算得四人的平均分是 88 分。求甲在這 次考試中得了多少分？例 4 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī) 91.5 分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)

6、將一位同學(xué)的 98 分誤作 89 分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是91.7 分，五一班有多少名同學(xué)？分析：98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成績(jī)上升91.7 91.5=0.2 （分）。9 里面包含有幾個(gè) 0.2，五一班就有幾名同學(xué)。練習(xí)四1, 五（1）班有 40 人，期中數(shù)學(xué)考試，有 2 名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平 均分為 92 分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為 100 分，這次五（1）班同學(xué)期中考試的平 均分是多少分？2,某班的一次測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是 91.3 分。復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)把張靜的 89 分誤看作 97 分計(jì) 算，經(jīng)重新計(jì)算，該班平均成績(jī)是 91.1 分

7、。問(wèn)全班有多少同學(xué)？3, 五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 18，把其中一個(gè)數(shù)改為 6 后，這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 16。這個(gè) 改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？例 5 把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是 38。前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 27,后三個(gè)數(shù) 的平均數(shù)是 48。中間一個(gè)數(shù)是多少？分析：先求出五個(gè)數(shù)的和：38X5=190,再求出前三個(gè)數(shù)的和：27X3=81，后三個(gè)數(shù)的和：48X3=144。用前三個(gè)數(shù)的和加上后三個(gè)數(shù)的和，這樣，中間的那個(gè)數(shù)就 算了兩次，必然比 190 多，而多出的部分就是所求的中間的一個(gè)數(shù)。練習(xí)五1,甲、乙、丙三人的平均年齡為 22 歲，如果甲、乙的平均年齡是 18 歲，乙、丙的 平均年齡是 25 歲，那么乙的

8、年齡是多少歲？2, 十名參賽者的平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？3,下圖中的O內(nèi)有五個(gè)數(shù) A、B、C、D、E, 內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有O中的 平均數(shù)。求 C 是多少？平均數(shù)（二）例 1 小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是 84 分，這次要考 100 分，才能把平均成績(jī) 提高到86 分。問(wèn)這是他第幾次測(cè)驗(yàn)？分析與解答：100 分比 86 分多 14 分，這 14 分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分 84 分中 去，使其平均分成為 86 分。每次填補(bǔ) 86- 84=2 （分），14 里面有 7 個(gè) 2,所以，前

9、面已經(jīng)測(cè)驗(yàn)了 7 次，這是第 8 次測(cè)驗(yàn)。練習(xí)一1,老師帶著幾個(gè)同學(xué)在做花，老師做了 21 朵，同學(xué)平均每人做了 5 朵。如果師生 合起來(lái)算，正好平均每人做了 7 朵。求有多少個(gè)同學(xué)在做花？2,一位同學(xué)在期中測(cè)驗(yàn)中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門(mén)功課的平均成績(jī)是94 分，如果 數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門(mén) 95 分。已知他數(shù)學(xué)得了 100 分，問(wèn)這位同學(xué)一共考了多少門(mén) 功課？3, 兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳 152 次。甲組有 6 人，平均每人跳 140 次， 如果乙組平均每人跳 160 次，那么，乙組有多少人？例 2 小亮在期末考試中，政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、自然五科的平均成績(jī)是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平

10、均 91.5 分，政治、英語(yǔ)兩科平均 86 分，英語(yǔ)比語(yǔ)文多 10 分。小亮的各科成績(jī)是多少分？分析與解答：因?yàn)檎Z(yǔ)文、英語(yǔ)兩科平均分 84 分，即語(yǔ)文+英語(yǔ)=168 分，而英語(yǔ)比語(yǔ) 文多10 分，即英語(yǔ)語(yǔ)文=10 分，所以，語(yǔ)文是（16810）+ 2=79 分，英語(yǔ)是 79 + 10=89分。又因?yàn)檎?、英語(yǔ)兩科平均 86 分，所以政治是 86X2 89=83 分；而政 治、數(shù)學(xué)兩科平均分 91.5 分，數(shù)學(xué)是 91.5X2 83=100 分；最后根據(jù)五科的平均成 績(jī)是 89 分可知，自然分是 89X5（ 79+89 + 83+ 100） =94 分。練習(xí)二1,甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 82

11、,甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是 86,乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是 77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？2, 小華的前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是 80 分，這一次得了 100 分，正好把這幾次 的平均分提高到 85 分。這一次是他第幾次測(cè)驗(yàn)？3,五個(gè)數(shù)排一排，平均數(shù)是 9。如果前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 乙 后四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是10,那么，第一個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？例 3 兩地相距 360 千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?10 小時(shí)，已知這條河的水流速 度為每小時(shí) 6 千米。往返兩地的平均速度是每小時(shí)多少千米？分析與解答：用往返的路程除以往返所用的時(shí)間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須

12、先求出逆水行全程時(shí)所用的時(shí)間。因?yàn)?60 + 10=36（千米）是順?biāo)俣?，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水 速度是 36 6=30（千米）。而逆水速度=靜水速度-水流速度，所以汽艇的逆水速度 是 30 6=24（千米）。逆水行全程時(shí)所用時(shí)間是 360-24=15（小時(shí)），往返的平均 速度是 360X2+（ 10+ 15） =28.8 （千米）。練習(xí)三1, 甲、乙兩個(gè)碼頭相距 144 千米，汽船從乙碼頭逆水行駛 8 小時(shí)到達(dá)甲碼頭，已知 汽船在靜水中每小時(shí)行駛 21 千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時(shí)到達(dá)乙碼頭？2, 艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行 165 千米。已知客輪的

13、靜水速度是每小時(shí) 30 千米，水速每小時(shí) 3 千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時(shí)？3，甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小時(shí)，返回原地需要 10 小時(shí)；乙船逆水航行同 樣的一段水路需要 20 小時(shí)，返回原地需要多少小時(shí)？例 4 幼兒園小班的 20 個(gè)小朋友和大班的 30 個(gè)小朋友一起分餅干，小班的小朋友每 人分10 塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2 塊。求一共分掉多少塊餅干？分析與解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30+20）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因?yàn)榇蟀嗟男∨笥衙咳吮却?、小班小朋友的平均?shù)多2 塊，30 個(gè)小朋友一共多 2X30=60（塊） ，

14、 這 60 塊平均分給 20 個(gè)小班的小朋友， 每人可得 60 + 20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10+ 3=13 （塊）。一共分掉13X（30+ 20） =650 （塊）。練習(xí)四1, 數(shù)學(xué)興趣小組里有 4 名女生和 3 名男生，在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，女生的平均分是 90 分，男生的平均分比全組的平均分高 2 分，全組的平均分是多少分？2, 兩組同學(xué)跳繩，第一組有 25 人，平均每人跳 80 下；第二組有 20 人，平均每人 比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多 5 下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？3,一個(gè)技術(shù)工帶 5個(gè)普通工人完成了一項(xiàng)任務(wù)，每個(gè)普通工人各得120 元， 這位技 術(shù)工人的收入比

15、他們 6 人的平均收入還多 20 元。問(wèn)這位技術(shù)工得多少元？例 5 王強(qiáng)從 A 地到 B 地，先騎自行車(chē)行完全程的一半，每小時(shí)行12 千米。剩下的步行，每小時(shí)走 4 千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時(shí)多少千米？分析與解答：求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時(shí)間。由于題中沒(méi)有告訴我們 A 地到 B 地間的路程，我們可以設(shè)全程為 24 千米（也可以設(shè)其他 數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時(shí)間是12+ 12+ 12+ 4=4 （小時(shí)），再用 244 就能得到行全程的平均速度是每小時(shí) 6 千米。練習(xí)五1, 小明去爬山，上山時(shí)每小時(shí)行 3 千米，原路返回時(shí)每小時(shí)行 5 千米。求小明往返

16、 的平均速度。2,運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練， 他在前一半路程中每分鐘跑150 米，后一半路程中每分鐘 跑100 米。求他在整個(gè)長(zhǎng)跑中的平均速度。3,把一份書(shū)稿平均分給甲、 乙二人去打，甲每分鐘打30 個(gè)字，乙每分鐘打 20 個(gè) 字。打這份書(shū)稿平均每分鐘打多少個(gè)字？第 3 周長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)同學(xué)們都知道，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)二（長(zhǎng)+寬）X2,正方形的周長(zhǎng)二邊長(zhǎng)X4。長(zhǎng)方 形、正方形的周長(zhǎng)公式只能用來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。如何應(yīng)用所學(xué) 知識(shí)巧求表面上看起來(lái)不是長(zhǎng)方形或正方形的圖形的周長(zhǎng)，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已 學(xué)知識(shí)，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計(jì)算它們的 周長(zhǎng)。例 1 有

17、 5 張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長(zhǎng) 6 厘米的正方 形，重疊的部分為邊長(zhǎng)的一半，求重疊后圖形的周長(zhǎng)。思路與導(dǎo)航 根據(jù)題意，我們可以把每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的一半同時(shí)向左、右、上、下平移（如圖 b），轉(zhuǎn)化成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的周長(zhǎng)和原來(lái) 5 個(gè)小正 方形重疊后的圖形的周長(zhǎng)相等。因此，所求周長(zhǎng)是18X4=72 厘米。練習(xí)一1, 下圖由 8 個(gè)邊長(zhǎng)都是 2 厘米的正方形組成，求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。2, 下圖由 1 個(gè)正方形和 2 個(gè)長(zhǎng)方形組成，求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。3, 有 6 塊邊長(zhǎng)是 1 厘米的正方形，如例題中所說(shuō)的這樣重疊著，求重疊后圖形 的周長(zhǎng)。例 2 一塊長(zhǎng)方形木板，沿著它的

18、長(zhǎng)度不同的兩條邊各截去 4 厘米，截掉的面積為 192 平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長(zhǎng)是多少厘米？思路導(dǎo)航 把截掉的 192 平方厘米分成AB、C 三塊（如圖），其中 AB 的面積 是192-4X4=176（平方厘米）。把 A 和 B 移到一起拼成一個(gè)寬 4 厘米的長(zhǎng)方形，而 此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是這塊木板剩下部分的周長(zhǎng)的一半。 176-4=44 （厘米），現(xiàn)在這塊 木板的周長(zhǎng)是 44X2=88 （厘米）。練習(xí)二1, 有一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)減少 4 米，寬減少 2 米，面積就比原來(lái)減少 44 平方 米，且剩下部分正好是一個(gè)正方形。求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)。2, 有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是 8 厘米，寬是 3 厘

19、米，如果按下圖疊放在一起， 這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少？3,有一塊長(zhǎng)方形廣場(chǎng)， 沿著它不同的兩條邊各劃出2 米做綠化帶，剩下的部分 仍是長(zhǎng)方形，且周長(zhǎng)為 280 米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？例 3 已知下圖中，甲是正方形，乙是長(zhǎng)方形，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少？思路導(dǎo)航 從圖中可以看出，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（a+ b）x2,三條豎著的線段和是 bx2。所 以，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)是（a + b）x2 + bx2,即 2a+ 4b。練習(xí)三1 ，有一張長(zhǎng) 40 厘米，寬 30 厘米的硬紙板，在四個(gè)角上各剪去一個(gè)同樣大小的 正方形后準(zhǔn)備做一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，求

20、被剪后硬紙板的周長(zhǎng)。2, 一個(gè)長(zhǎng) 12 厘米，寬 2 厘米的長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形正好拼成下圖（1）所示長(zhǎng) 方形，求所拼長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。3, 求下面圖形（圖 2）的周長(zhǎng)（單位：厘米）。圖（1）圖（2）例 4 下圖是邊長(zhǎng)為 4 厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長(zhǎng)。思路導(dǎo)航我們把陰影部分周長(zhǎng)中左邊的 5 條線段全部平移到左邊，其和正好 是 4 厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。因此，陰影部 分的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)是 4 厘米的正方形的周長(zhǎng)是相等的。練習(xí)四1 ，求下面圖形的周長(zhǎng)（單位：厘米）。2,在（）里填上“”、“V”或“二”。甲的周長(zhǎng)（）乙的周長(zhǎng)3, 下圖中的每一小段的長(zhǎng)度都相等

21、，求圖形的周長(zhǎng)。例 5 如下圖，陰影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的長(zhǎng)方形的周 長(zhǎng)。分析 根據(jù)題意可知，最大長(zhǎng)方形的寬就是正方形的邊長(zhǎng)。因?yàn)锽C=EFCF=DE 所以，AB+ BO CF=ABk FE+ ED=9 6=15 （厘米），這正好是最大長(zhǎng)方形周 長(zhǎng)的一半。因此，最大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（9+ 6）X2=30 （厘米）。練習(xí)五1, 下面三個(gè)正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來(lái)正方形的周長(zhǎng)發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）2,下面是一個(gè)零件的平面圖， 圖中每條短線段都是5 厘米，零件長(zhǎng) 35 厘米， 高30 厘米。這個(gè)零件的周長(zhǎng)是多少厘米？3, 有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方

22、形，長(zhǎng) 7 厘米，寬 3 厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的 周長(zhǎng)第 4 周 長(zhǎng)方形、正方形的面積專題簡(jiǎn)析:長(zhǎng)方形的面積二長(zhǎng)X寬，正方形的面積二邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)。掌握并能運(yùn)用這兩個(gè)面積 公式，就能計(jì)算它們的面積。但是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們常常會(huì)遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比 較復(fù)雜、不能簡(jiǎn)單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實(shí)掌握有關(guān)概 念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通的求長(zhǎng) 方形、正方形面積的問(wèn)題，從而正確解答。例 1 已知大正方形比小正方形邊長(zhǎng)多 2 厘米，大正方形比小正方形的面積大 40 平 方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？分析 從圖

23、中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的 40 平方厘 米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面積相等。因此，用 40 平方厘米減去陰影部分 的面積，再除以 2 就能得到長(zhǎng)方形 A 和 B 的面積，再用 A 或 B 的面積除以 2 就是小 正方形的邊長(zhǎng)。求到了小正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算大、小正方形的面積就非常簡(jiǎn)單了。練習(xí)一1,有一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng) 20 米，寬 15 米。在它的四周向外筑一條寬 2 米的小路， 求小路的面積。2，正方形的一組對(duì)邊增加 30 厘米，另一組對(duì)邊減少 18 厘米，結(jié)果得到一個(gè)與原正 方形面積相等的長(zhǎng)方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3，把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加 5

24、分米，寬增加 8 分米后，得到一個(gè)面積比原長(zhǎng)方形多 181 平方分米的正方形。求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少分米？例 2 一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長(zhǎng)方形，其中三個(gè)長(zhǎng)方形的面積如下圖所求，求第四個(gè)長(zhǎng)方形的面積。分析 因?yàn)?AEXCE=6 DEXEB=35 把兩個(gè)式子相乘 AEXCEXDEXEB=35X 6, 而CEX EB=14 所以 AEXDE=35 1-V勞 動(dòng)執(zhí)*-rrF勞 動(dòng)執(zhí)41十、上表中，將每列上下兩個(gè)字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學(xué)愛(ài)）。求第 460 組是什么？例題 5 8888100 個(gè) 8 -7,當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？分析從豎式中可以看出，

25、被除數(shù)除以 7,每次除得的余數(shù)以 1、4、6、5、2、0 不斷 重復(fù)出現(xiàn)。我們可以用 100 除以 6,觀察余數(shù)就知道所求問(wèn)題了。100-6=164余數(shù)是 4 說(shuō)明當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是 1、4、6、5、2、0 中的第 4 個(gè)數(shù)，即 5。 練習(xí)五1,4444100 個(gè) 4 - 3 當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？2,4444100 個(gè) 4 -6 當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？3,11111000 個(gè) 1 -7 當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？第 12 周盈虧問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：盈虧問(wèn)題又叫盈不足問(wèn)題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果 按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會(huì)有不足（虧），

26、求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分 3 塊，多 12 塊；如果每人分 4 塊，少 8 塊。小朋友有多少人？餅干有多少 塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題。盈虧問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈+虧）+兩次所分之差二人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題，它們被分為四類：1, 兩盈：兩次分配都有多余；2, 兩不足：兩次分配都不夠；3, 盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4, 不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題演變過(guò)來(lái)的。解題時(shí)我們可以記?。?,“兩虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差+兩次分得的差二參與分配對(duì)象總

27、數(shù)；2,“兩盈”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差+兩次分得的差二參與分配對(duì)象總數(shù)；3,“ 一盈一虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和+兩次分得的差二參與分配對(duì)象總數(shù)。例 1 某校乒乓球隊(duì)有若干名學(xué)生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總 數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊(duì) 共有多少名學(xué)生？分析 （1）由“少一個(gè)女生，增加一個(gè)男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：女生比男生多 2 人；（2）“少一個(gè)男生，增加一個(gè)女生”后，女生就比男生多 2 + 2=4 人，這時(shí)男 生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有 4X2=8 人。原來(lái)女生有 8仁 7 人，男生有 7 2=5 人，

28、共有 7 + 5=12 人。練習(xí)一1,學(xué)校買(mǎi)來(lái)了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10 盒，彩色粉筆增加 8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買(mǎi) 10 盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買(mǎi)來(lái)兩種粉筆各多少盒？2,操場(chǎng)上有兩堆貨物，如果甲堆增加 80 噸，乙堆增加 25 噸，則兩堆貨物一樣重； 苦甲、乙兩堆各運(yùn)走 5 噸，剩下的乙堆正好是甲堆的 3 倍。兩堆貨物一共有多少 噸？3，五（1）班的優(yōu)秀學(xué)生中，苦增加 2 名男生，減少 1 名女生，則男、女生人數(shù)同 樣多；苦減少 1 名男生，增加 1 名女生，則男生是女生的一半。這些優(yōu)秀學(xué)生中 男、女生各多少人？例 2 幼兒園老師拿出蘋(píng)果發(fā)給

29、小朋友。如果平均分給小朋友，則少4 個(gè)；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給 4 個(gè)，則老師自己也能留下 4 個(gè)。有多少個(gè)小朋友？共有多少個(gè)蘋(píng) 果？分析 如果平均分給小朋友，則少 4 個(gè)，說(shuō)明小朋友人數(shù)大于 4;如果每個(gè)小朋友只 發(fā)給 4個(gè)，則教師也能留下 4 個(gè)，說(shuō)明每人少拿若干個(gè)，就少拿 4+ 4=8 個(gè)蘋(píng)果。因 為小朋友人數(shù)大于 4,所以，一定是每人少拿 1 個(gè)，有 8-仁 8 個(gè)小朋友，有 8X4 + 4=36 個(gè)蘋(píng)果。練習(xí)二1, 給小朋友分梨，如果每人分 4 個(gè)，則多 9 個(gè)；如果每人分 5 個(gè)，則少 6 個(gè)。有多 少個(gè)小朋友？有多少個(gè)梨？2, 老把一些鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。每人 5 支則多 4 支，每

30、人 7 支則少 4 支。老師有多 少支鉛筆？獎(jiǎng)給多少個(gè)三好學(xué)生？3,有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6 人；如 果減少一條船，正好每條船上坐 9 人。這個(gè)班一共有多少個(gè)同學(xué)？例 3 幼兒園老師將一筐蘋(píng)果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人 5 個(gè)余 10 個(gè)； 如果分給小班的學(xué)生每人 8 個(gè)缺 2 個(gè)。已知大班比小班多 3 人，這筐蘋(píng)果有多少個(gè)？ 分析 如果大班減少 3 人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人 5 個(gè)就多 余 3X5+ 10=25個(gè)。 由于兩班人數(shù)相等， 小班每人多分 3 個(gè)就要多分 （25+2） 個(gè)蘋(píng) 果， 用 （25 + 2）+（ 8-5）

31、就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是 9 人，再用 9X8-2 就求出 了這筐蘋(píng)果有多少個(gè)。練習(xí)三1, 一些學(xué)生搬一批磚，每人搬 4 塊，其中 5 人要搬兩次；如果每人搬 5 塊，就有兩 人沒(méi)有磚可搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2, 老師給幼兒園小朋友分糖，每人 3 塊還多 10 塊；如果減少 2 個(gè)小朋友再分，每 人 4塊還多 7 塊。原來(lái)有多少個(gè)小朋友？有多少塊糖？3,筑路隊(duì)計(jì)劃每天筑路 720 米，正好按期筑完。實(shí)際每天多筑 80 米，這樣，比原 計(jì)劃提前 3 天完成了筑路任務(wù)。要筑的路有多長(zhǎng)？例 4 幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6 塊；如果只分給中班的小朋友，平

32、均每人可以多分得4 塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？分析 這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6 塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分 4 塊。說(shuō)明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的 6+ 4=1.5 倍。因此， 這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6X1.5=9 塊，一共可分到 6 +9=15 塊餅干。練習(xí)四1,老師把一批書(shū)借給甲組同學(xué)，平均每人借 4 本。如果只借給甲組的女同學(xué)，每人 可借6 本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？2，甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做 8 朵，正好送給五年級(jí)每個(gè)同學(xué)一朵。如果把這 些紅花讓甲組同學(xué)單獨(dú)做，每人要多做 4 朵。如果把

33、這些紅花讓乙組同學(xué)單獨(dú)做， 每人要做幾朵？3,老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班，每人可得12 塊；如果只分給中班和小班，每人只能分到 4 塊。如果這袋糖只分給中班，每人可分到幾塊？例 5 全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9 個(gè)同學(xué)；如果增加一條船，每條船正好坐 6 個(gè)同學(xué)。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？分析 根據(jù)題意可知：每船坐 9 人，就能減少一條船，也就是少 9 個(gè)同學(xué)；每船坐 6 人，就要增加一條船，也就是多出 6 個(gè)同學(xué)。因此，每船坐 9 人比每船坐 6 人可多 坐 9 + 6=15人，15 里面包含 5 個(gè)（9- 6）,說(shuō)明有 5 條船。知道了有 5 條船，就可 以求全班人數(shù)

34、：9X（5 1） =36 人。練習(xí)五1,老師把一籃蘋(píng)果分給小班的同學(xué)，如果減少一個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)正好分得5 個(gè)；如果增加一個(gè)同學(xué)，正好每人分得 4 個(gè)。這籃蘋(píng)果一共有多少個(gè)？2,五年級(jí)同學(xué)去劃船， 如果增加一只船，正好每只船上坐7 人；如果減少一只船，正好每只船上價(jià) 8 人。五年級(jí)共有多少人？3,一個(gè)旅游團(tuán)去旅館住宿，6 人一間，多 2 個(gè)房間；若 4 人一間又少 2 個(gè)房間。旅 游團(tuán)共有多少人？第 13 周 長(zhǎng)方體和正方體（一）專題簡(jiǎn)析在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體的問(wèn)題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問(wèn)題要注意幾點(diǎn)：1，必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來(lái)；2,

35、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過(guò)割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3, 求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過(guò)變形的方法來(lái)解決。例題 1 一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是 多少平方厘米？（單位：厘米）分析 （1 ）可以把零件沿虛線分成兩部分來(lái)求它的體積，左邊的長(zhǎng)方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長(zhǎng)方體的體積是 10X（6-2）X2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是 80X2=160 （立方厘米）；（2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正 好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積 相等

36、。因此，此零件的表面積就是（10X6+ 10X4+2X2）X2=232 （平方厘米）。想一想：你還能用別的方法來(lái)計(jì)算它的體積嗎？練習(xí)一1 ，一個(gè)長(zhǎng) 5 厘米，寬 1 厘米，高 3 厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如圖），剩 下部分的表面積和體積各是多少？2,把一根長(zhǎng) 2 米的長(zhǎng)方體木料鋸成 1 米長(zhǎng)的兩段，表面積增加了 2 平方分米， 求這根木料原來(lái)的體積。3, 有一個(gè)長(zhǎng) 8 厘米，寬 1 厘米，高 3 厘米的長(zhǎng)方體木塊，在它的左右兩角各切 掉一個(gè)正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？例題 2 有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單

37、位：厘米）分析 （1）先求出長(zhǎng)方體的體積，8X5X6=240 （立方厘米），由于挖去了一 個(gè)孔，所以體積減少了 2X2X2=8（立方厘米），這個(gè)零件的體積是 240-8=232 （立 方厘米）；（2）長(zhǎng)方體完整的表面積是（8X5+ 8X6 + 6X5）X2=236 （平方厘米），但 由于挖去了一個(gè)孔，它的表面積減少了一個(gè)（2X2）平方厘米的面，同時(shí)又增加了 凹進(jìn)去的5 個(gè)（2X2）平方厘米的面，因此，這個(gè)零件的表面積是236+ 2X2X4=252（平方厘米）。練習(xí)二1, 有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2,有一個(gè)棱長(zhǎng)是 4 厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)

38、是1 厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3, 如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么得到的物體的 體積和表面積各是多少？例題 3 一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積 比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了 50 平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？分析一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成新的長(zhǎng)方體，其表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體增加了 4 塊正方形的面積，每塊正方形的面積是 50-4=12.5 （平方厘米）。正方體有 6 個(gè)這樣的面，所以，原來(lái)正方體的表面積是12.5X6=75 （平方厘米）。練習(xí)三1, 把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體木塊粘成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)

39、方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和減少了 46 平方厘米，而長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方體的 2 倍。如 果拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 24 厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2, 一根長(zhǎng) 80 厘米，寬和高都是 12 厘米的長(zhǎng)方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè) 最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3, 把 4 塊棱長(zhǎng)都是 2 分米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的表面積最多會(huì)減少 多少平方分米？例題 4 把 11 塊相同的長(zhǎng)方體磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。已知每塊磚的體積是288 立方厘米，求大長(zhǎng)方體的表面積。分析 要求大長(zhǎng)方體的表面積，必須知道它的長(zhǎng)、寬和高。我們用 a、b、h 分 別表示小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，顯

40、然，a=4h,即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a，磚的體積 是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由 1/6a3=288 可知，a=12, b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 12X2=24 厘米，寬 12 厘米，高是 8+ 3=11 厘米，表面積就不 難求了。練習(xí)四1, 一塊小正方體的表面積是 6 平方厘米，那么，由 1000 個(gè)這樣的小正方體所 組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2, 一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 385 立方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體 的表面積。3,有 24 個(gè)正方體， 每個(gè)正方體的體積都是1 立方厘米，用這些正方體可以拼 成幾

41、種不同的長(zhǎng)方體？用圖畫(huà)出來(lái)。例題 5 一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209 平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？分析 長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高二長(zhǎng)x（寬+高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11x19=11x（17+2）,即長(zhǎng)、寬、高分別為 11、17、2 厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容 易了。練習(xí)五1,有一個(gè)長(zhǎng)方體， 它的前面和上面的面積和是88 平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都 是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？2,一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、 寬、 高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是96 立方厘米

42、，求它的表 面積。3,一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之長(zhǎng)相等，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是6分米、4 分米、25 分米，求正方體體積。第十四周 長(zhǎng)方體和正方體（二）專題簡(jiǎn)析在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況： 把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物 體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問(wèn)題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1, 將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；2, 兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來(lái)物體體積的和；3，物體浸入水中，排開(kāi)的水的體積等于物體的體積。例題 1 有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱

43、空著。從里面量，甲水 箱長(zhǎng) 40厘米，寬 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱長(zhǎng) 30 厘米，寬 24 厘米，深 25 厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘 米？分析 由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水 箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積 +乙水箱的底面）X水面的高度。這 樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40X32X20=25600 （立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40X32+ 30X24=2000 （平方厘米），就能得到后來(lái)水面的 咼度。練習(xí)一1, 有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng) 8 分米、寬 6 分米、水深 3 分

44、米，乙水池空著，它長(zhǎng) 6 分米、寬和高都是 4 分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中 水面同樣高。問(wèn)水面高多少？2, 有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng) 40 厘米、寬 30 厘米、深 35 厘米，箱中水面 高 10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng) 20 厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水 面高多少厘米？3, 段鋼材長(zhǎng) 15 分米，橫截面面積是 1.2 平方分米。如果把它煅燒成一橫截 面面積是 0.1 平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長(zhǎng)。例 2 將表面積分別為 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體 熔成一個(gè)大正方體(不計(jì)損耗)，求這個(gè)大正方體的體積。分析 因

45、為正方體的六個(gè)面都相等，而 54=6X9=6X(3X3),所以這個(gè)正方體 的棱是3 厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6X(4X4),棱長(zhǎng)是 4厘米；150=6X(5X5),棱長(zhǎng)是 5 厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積， 這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)二1,有三個(gè)正方體鐵塊， 它們的表面積分別是24 平方厘米、54 平方厘米和 294 平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。2, 將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng) 方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 13 厘米，寬 7 厘米，求它的高。3, 把 8 塊邊長(zhǎng)是 1

46、 分米的正方體鐵塊熔成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面 積是多少平方分米？例題 3 有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng) 5 分米、寬 4 分米、高 6 分米，里面注有 水，水深3 分米。如果把一塊邊長(zhǎng) 2 分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分 米？分析 鐵塊的體積是 2X2X2=8(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了 8 立 方分米的空間，因此，水上升的體積也就是 8 立方分米，用這個(gè)體積除以底面積(5X4)就能得到水上升的高度了。練習(xí)三1, 有一個(gè)小金魚(yú)缸，長(zhǎng) 4 分米、寬 3 分米、水深 2 分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升 0.8 分米。這塊假山石的體積是多少立方分米?2, 有一個(gè)

47、正方體容器，邊長(zhǎng)是 24 厘米，里面注滿了水。有一根長(zhǎng) 50 厘米，橫截面是 12 平方厘米的長(zhǎng)方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問(wèn)：會(huì)溶出多少立方 厘米的水？3, 有一塊邊長(zhǎng)是 5 厘米的正方體鐵塊，浸沒(méi)在一個(gè)長(zhǎng)方體容器里的水中。取出 鐵后，水面下降了 0.5 厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是多少平方厘米？例題 4 有一個(gè)長(zhǎng)方體容器（如下圖），長(zhǎng) 30 厘米、寬 20 厘米、高 10 厘米，里面 的水深6 厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘 米？分析 首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來(lái)以后，水流動(dòng)了，但體積沒(méi)有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)

48、底面積是20X10=200 平方厘米的長(zhǎng)方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)四1, 有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸長(zhǎng) 3 分米，寬和高都是 2 分米；乙缸長(zhǎng) 4 分米、寬 2 分米，里面的水深 1.5 分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？2, 有一塊邊長(zhǎng) 2 分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)方體，這長(zhǎng)方體的截 面是一個(gè)長(zhǎng) 4 厘米、寬 2 厘米的長(zhǎng)方形，求它的長(zhǎng)。3, 像例題中所說(shuō)，如果讓長(zhǎng) 30 厘米、寬 10 厘米的面朝下，這時(shí)的水深又是多 少厘米？例題 5 長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別為10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘

49、米？分析 長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別是長(zhǎng)x寬、長(zhǎng)x高、寬x高得來(lái)的。因此，15x10 x6=（長(zhǎng)x寬x高）x（長(zhǎng)x寬x高），而15x10 x6=900=30X 30。所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 30 立方厘米。練習(xí)五1,一個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是 25 平方厘米、18 平方厘米和 8 平 方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？2,個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是 35 平方厘米、21 平方厘米和 15 平 方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？3, 個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 48 立方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)。這 個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？第十五

50、周長(zhǎng)方體和正方體（三）專題簡(jiǎn)析：解答有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體的拼、切問(wèn)題，除了要切實(shí)掌握長(zhǎng)方體、正方體的特 征，熟悉計(jì)算方法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知 道：把一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分， 新增加的表面積 等于切面面積的兩倍。例題 1 一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長(zhǎng)為 2 厘米的正方體若干 塊，表面積增加多少厘米？分析 把棱長(zhǎng)為 6 厘米的正方體鋸成棱長(zhǎng)為 2 厘米的正方體，可以按下圖中的 線共鋸6 次，每鋸一次就增加兩個(gè) 6X6=36 平方厘米的面，鋸 6 次共增加 36x2X6=432 平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加

51、 432 平方厘米。練習(xí)一1，把 27 塊棱長(zhǎng)是 1 厘米的小正方體堆成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積比原來(lái)所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2,有一個(gè)棱長(zhǎng)是 1 米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8 個(gè)小正方體，表面積增加多少平方米？3，把一個(gè)正方體的六個(gè)面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4 個(gè)同樣的小長(zhǎng)方體，沒(méi)有涂顏色的面積是 60 平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？例題 2 有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了24 平方厘米，這個(gè)正方體木塊原來(lái)的表面積是多少平方厘米？分析 把正方體分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是 24+ 2=12

52、平方厘米，而正方體有 6 個(gè)這樣的面。所以原正方體的表面積是 12X6=72 平方厘 米。練習(xí)二1, 把三個(gè)棱長(zhǎng)都是 2 厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多 少平方厘米？2, 有一個(gè)正方體木塊，長(zhǎng) 4 分米、寬 3 分米、高 6 分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個(gè)長(zhǎng) 方體，表面積最多增加多少平方分米？3, 有三塊完全一樣的長(zhǎng)方體積木，它們的長(zhǎng)是 8 厘米、寬 4 厘米、高 2 厘米， 現(xiàn)把三塊積木拱成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？例題 3 有一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)是 3 分米。如果按下圖把它切成棱長(zhǎng)是 1 分米的小正方 體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過(guò)

53、程中，每切一切，就會(huì)增加兩個(gè) 3X3 平方分米的面，你能用 這種思路來(lái)計(jì)算所求問(wèn)題嗎？練習(xí)三1, 用棱長(zhǎng)是 1 厘米的小正方體擺成一個(gè)稍大一些的正方體，至少需要多少個(gè)小正方體？如果要擺一個(gè)棱長(zhǎng)是 6 厘米的正方體，需要多少個(gè)小正方體？2,有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng) 10 厘米、寬 6 厘米、高 4 厘米，如果把它鋸成棱長(zhǎng)是 1 厘米的小正方體，一共能鋸多少個(gè)？這些小正方體的表面積和是多少？3, 把 24 個(gè)棱長(zhǎng)是 1 厘米的小正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積至 少是多少平方厘米？例題 4 一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開(kāi)，切開(kāi)的小正方體中：(1)三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)?(2) 二個(gè)面涂

54、有紅色的有幾個(gè)？(3) 個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？(4) 六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有幾個(gè)？分析 按題中的要求切，切成的小正方體一共有 3X3X3=27 個(gè)。(1)三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，共有8 個(gè)；(2)二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1X12=12 個(gè)；(3)一個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有1X6=6 個(gè)；(4)六個(gè)面都沒(méi)有涂色的在大正方體的中間，有27( 8+12 + 6) =1 個(gè)。練習(xí)四1, 把一個(gè)棱長(zhǎng)是 5 厘米的正方體的六個(gè)面涂滿紅色，然后切成 1 立方厘米的小 正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個(gè)面都沒(méi)

55、有涂色的各有多少個(gè)？2, 把若干個(gè)體積相同的小正方體堆成一個(gè)大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有 24 個(gè)，那么，這些小正方體一共 有多少個(gè)？3,把 1 立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1 立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有多少個(gè)？例題 5 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三 個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體，這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是多少平方厘米？分析 這個(gè)長(zhǎng)方體原來(lái)的表面積是(6X5 + 6X4+ 5X4)X2=148 平方厘米，每 切割一刀，增加 2 個(gè)面。切成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體

56、要切 2 刀，一共增加 2X2=4 個(gè)面。要求表面積和最大，應(yīng)該增加 4 個(gè) 6X5=30 平方厘米的面。所以，三個(gè)小長(zhǎng) 方體表面積和最大是 148 + 6X5X4=268 平方厘米。練習(xí)五1,有三塊完全一樣的長(zhǎng)方體木塊，每塊長(zhǎng) 8 厘米、寬 5 厘米、高 3 厘米。要把 它們粘成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少 平方厘米？2, 把 8 個(gè)同樣大小的小正方體拼成一個(gè)大正方體，已知每個(gè)小正方體的表面積 是 72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3，把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為 7 厘米、6 厘米、5 厘米的長(zhǎng)方體，截成兩個(gè)長(zhǎng)方 體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？第16周倍數(shù)問(wèn)題（一）專題簡(jiǎn)析：倍數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要內(nèi)容之一，它是指已知幾個(gè)數(shù)的 和或差以及這幾個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。解答倍數(shù)問(wèn)題，必須先確定一個(gè)數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，即1 倍數(shù)，再根據(jù)其它幾個(gè)