五年級奧數(shù)教程85138

1、平均數(shù)（一）專題簡析：把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等， 求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關系解答一些稍復雜的問題呢？下面的數(shù)量關系必須牢記：平均數(shù)二總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù)例 1 有 4 箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱 42 個，梨、橘子、桃平均每箱 36 個，蘋果和桃平均每箱 37 個。一箱蘋果多少個？分析與解答：（1） 1 箱蘋果+ 1 箱梨+ 1 箱橘子=42X3=136 （個）；（2）1 箱桃+ 1 箱梨+ 1 箱橘子=36X3=108 （個）（3）1 箱蘋果+ 1 箱桃=37X2=72 （個）

2、由（1）（ 2）兩個等式可知：1 箱蘋果比 1 箱桃多 126108=18 （個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1 箱桃 有（74 18）- 2=28 （個），1 箱蘋果有 28+ 18=46 （個）。1 箱蘋果和 1 箱桃共有多少個：37X2=74 （個）1 箱蘋果比 1 箱桃多多少個：42X3 36=18 （個）1 箱蘋果有多少個：28+ 18=46 （個）練習一1, 一次考試，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁 二人平均分 95 分。問：甲、丁各得多少分？2,甲、 乙、 丙、 丁四人稱體重， 乙、丙、丁三人共重120 千克，甲、丙、丁三人共 重126

3、千克，丙、丁二人的平均體重是 40 千克。求四人的平均體重是多少千克？3,甲、乙、丙三個小組的同學去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18 棵，甲、丙兩 組平均每組植樹 17 棵，乙、丙兩組平均每組植樹 19 棵。三個小組各植樹多少棵？例 2 一次數(shù)學測驗，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分； 男生平均每人 90.5 分。求這個班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高 92 - 91.2=0.8 （分），而男生每人比全班平均分低91.2 90.5=0.7 （分）。全體女生高出全班平均分 0.8X21 = 16.8 （分），應補給每 個男生 0.7 分，16.8

4、里包含有 24 個 0.7，即全班有 24 個男生。練習二1, 兩組學生進行跳繩比賽，平均每人跳 152 下。甲組有 6 人，平均每人跳 140 下，乙組平均每人跳 160 下。乙組有多少人？2,有兩塊棉田，平均每畝產量是 92.5 千克，已知一塊地是 5 畝，平均每畝產量是101.5 千克；另一塊田平均每畝產量是 85 千克。這塊田是多少畝？3,把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7 元，乙知甲級糖有 4 千克，平均每千 克8 元；乙級糖有 2 千克，平均每千克多少元？例 3 某 3 個數(shù)的平均數(shù)是 2,如果把其中一個數(shù)改為 4,平均數(shù)就變成了 3。被改 的數(shù)原來是多少？分析：原來三個數(shù)的和

5、是 2X3=6,后來三個數(shù)的和是 3X3=9, 9 比 6 多出了 3,是 因為把那個數(shù)改成了 4。因此，原來的數(shù)應該是 4 3=1。練習三1,已知九個數(shù)的平均數(shù)是 72,去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。 去掉的 數(shù)是多少？2,有五個數(shù)，平均數(shù)是 9。如果把其中的一個數(shù)改為 1,那么這五個數(shù)的平均數(shù)為&這個改動的數(shù)原來是多少？3,甲、乙、丙、丁四位同學，在一次考試中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄 分數(shù)時，把自己的分錯抄成了 87 分，因此，算得四人的平均分是 88 分。求甲在這 次考試中得了多少分？例 4 五一班同學數(shù)學考試平均成績 91.5 分，事后復查發(fā)現(xiàn)計算成績時

6、將一位同學的 98 分誤作 89 分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7 分，五一班有多少名同學？分析：98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成績上升91.7 91.5=0.2 （分）。9 里面包含有幾個 0.2，五一班就有幾名同學。練習四1, 五（1）班有 40 人，期中數(shù)學考試，有 2 名同學去參加體育比賽而缺考，全班平 均分為 92 分。缺考的兩位同學補考均為 100 分，這次五（1）班同學期中考試的平 均分是多少分？2,某班的一次測驗，平均成績是 91.3 分。復查時發(fā)現(xiàn)把張靜的 89 分誤看作 97 分計 算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是 91.1 分

7、。問全班有多少同學？3, 五個數(shù)的平均數(shù)是 18，把其中一個數(shù)改為 6 后，這五個數(shù)的平均數(shù)是 16。這個 改動的數(shù)原來是多少？例 5 把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是 38。前三個數(shù)的平均數(shù)是 27,后三個數(shù) 的平均數(shù)是 48。中間一個數(shù)是多少？分析：先求出五個數(shù)的和：38X5=190,再求出前三個數(shù)的和：27X3=81，后三個數(shù)的和：48X3=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)就 算了兩次，必然比 190 多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。練習五1,甲、乙、丙三人的平均年齡為 22 歲，如果甲、乙的平均年齡是 18 歲，乙、丙的 平均年齡是 25 歲，那么乙的

8、年齡是多少歲？2, 十名參賽者的平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？3,下圖中的O內有五個數(shù) A、B、C、D、E, 內的數(shù)表示與它相連的所有O中的 平均數(shù)。求 C 是多少？平均數(shù)（二）例 1 小明前幾次數(shù)學測驗的平均成績是 84 分，這次要考 100 分，才能把平均成績 提高到86 分。問這是他第幾次測驗？分析與解答：100 分比 86 分多 14 分，這 14 分必須填補到前幾次的平均分 84 分中 去，使其平均分成為 86 分。每次填補 86- 84=2 （分），14 里面有 7 個 2,所以，前

9、面已經(jīng)測驗了 7 次，這是第 8 次測驗。練習一1,老師帶著幾個同學在做花，老師做了 21 朵，同學平均每人做了 5 朵。如果師生 合起來算，正好平均每人做了 7 朵。求有多少個同學在做花？2,一位同學在期中測驗中，除了數(shù)學外，其它幾門功課的平均成績是94 分，如果 數(shù)學算在內，平均每門 95 分。已知他數(shù)學得了 100 分，問這位同學一共考了多少門 功課？3, 兩組同學進行跳繩比賽，平均每人跳 152 次。甲組有 6 人，平均每人跳 140 次， 如果乙組平均每人跳 160 次，那么，乙組有多少人？例 2 小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學、英語、自然五科的平均成績是89分，政治、數(shù)學兩科平

10、均 91.5 分，政治、英語兩科平均 86 分，英語比語文多 10 分。小亮的各科成績是多少分？分析與解答：因為語文、英語兩科平均分 84 分，即語文+英語=168 分，而英語比語 文多10 分，即英語語文=10 分，所以，語文是（16810）+ 2=79 分，英語是 79 + 10=89分。又因為政治、英語兩科平均 86 分，所以政治是 86X2 89=83 分；而政 治、數(shù)學兩科平均分 91.5 分，數(shù)學是 91.5X2 83=100 分；最后根據(jù)五科的平均成 績是 89 分可知，自然分是 89X5（ 79+89 + 83+ 100） =94 分。練習二1,甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是 82

11、,甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是 86,乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是 77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？2, 小華的前幾次數(shù)學測驗的平均成績是 80 分，這一次得了 100 分，正好把這幾次 的平均分提高到 85 分。這一次是他第幾次測驗？3,五個數(shù)排一排，平均數(shù)是 9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是 乙 后四個數(shù)的平均數(shù)是10,那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？例 3 兩地相距 360 千米，一艘汽艇順水行全程需要 10 小時，已知這條河的水流速 度為每小時 6 千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？分析與解答：用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須

12、先求出逆水行全程時所用的時間。因為360 + 10=36（千米）是順水速度，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水 速度是 36 6=30（千米）。而逆水速度=靜水速度-水流速度，所以汽艇的逆水速度 是 30 6=24（千米）。逆水行全程時所用時間是 360-24=15（小時），往返的平均 速度是 360X2+（ 10+ 15） =28.8 （千米）。練習三1, 甲、乙兩個碼頭相距 144 千米，汽船從乙碼頭逆水行駛 8 小時到達甲碼頭，已知 汽船在靜水中每小時行駛 21 千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？2, 艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行 165 千米。已知客輪的

13、靜水速度是每小時 30 千米，水速每小時 3 千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？3，甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小時，返回原地需要 10 小時；乙船逆水航行同 樣的一段水路需要 20 小時，返回原地需要多少小時？例 4 幼兒園小班的 20 個小朋友和大班的 30 個小朋友一起分餅干，小班的小朋友每 人分10 塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2 塊。求一共分掉多少塊餅干？分析與解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30+20）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因為大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2 塊，30 個小朋友一共多 2X30=60（塊） ，

14、 這 60 塊平均分給 20 個小班的小朋友， 每人可得 60 + 20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10+ 3=13 （塊）。一共分掉13X（30+ 20） =650 （塊）。練習四1, 數(shù)學興趣小組里有 4 名女生和 3 名男生，在一次數(shù)學競賽中，女生的平均分是 90 分，男生的平均分比全組的平均分高 2 分，全組的平均分是多少分？2, 兩組同學跳繩，第一組有 25 人，平均每人跳 80 下；第二組有 20 人，平均每人 比兩組同學跳的平均數(shù)多 5 下，兩組同學平均每人跳幾下？3,一個技術工帶 5個普通工人完成了一項任務，每個普通工人各得120 元， 這位技 術工人的收入比

15、他們 6 人的平均收入還多 20 元。問這位技術工得多少元？例 5 王強從 A 地到 B 地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12 千米。剩下的步行，每小時走 4 千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？分析與解答：求行完全程的平均速度，應該用全程除以行全程所用的時間。由于題中沒有告訴我們 A 地到 B 地間的路程，我們可以設全程為 24 千米（也可以設其他 數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時間是12+ 12+ 12+ 4=4 （小時），再用 244 就能得到行全程的平均速度是每小時 6 千米。練習五1, 小明去爬山，上山時每小時行 3 千米，原路返回時每小時行 5 千米。求小明往返

16、 的平均速度。2,運動員進行長跑訓練， 他在前一半路程中每分鐘跑150 米，后一半路程中每分鐘 跑100 米。求他在整個長跑中的平均速度。3,把一份書稿平均分給甲、 乙二人去打，甲每分鐘打30 個字，乙每分鐘打 20 個 字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？第 3 周長方形、正方形的周長同學們都知道，長方形的周長二（長+寬）X2,正方形的周長二邊長X4。長方 形、正方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應用所學 知識巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學們靈活應用已 學知識，掌握轉化的思考方法，把復雜的問題轉化為標準的圖形，以便計算它們的 周長。例 1 有

17、 5 張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長 6 厘米的正方 形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。思路與導航 根據(jù)題意，我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、下平移（如圖 b），轉化成一個大正方形，這個大正方形的周長和原來 5 個小正 方形重疊后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18X4=72 厘米。練習一1, 下圖由 8 個邊長都是 2 厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。2, 下圖由 1 個正方形和 2 個長方形組成，求這個圖形的周長。3, 有 6 塊邊長是 1 厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形 的周長。例 2 一塊長方形木板，沿著它的

18、長度不同的兩條邊各截去 4 厘米，截掉的面積為 192 平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？思路導航 把截掉的 192 平方厘米分成AB、C 三塊（如圖），其中 AB 的面積 是192-4X4=176（平方厘米）。把 A 和 B 移到一起拼成一個寬 4 厘米的長方形，而 此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。 176-4=44 （厘米），現(xiàn)在這塊 木板的周長是 44X2=88 （厘米）。練習二1, 有一個長方形，如果長減少 4 米，寬減少 2 米，面積就比原來減少 44 平方 米，且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。2, 有兩個相同的長方形，長是 8 厘米，寬是 3 厘

19、米，如果按下圖疊放在一起， 這個圖形的周長是多少？3,有一塊長方形廣場， 沿著它不同的兩條邊各劃出2 米做綠化帶，剩下的部分 仍是長方形，且周長為 280 米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？例 3 已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？思路導航 從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（a+ b）x2,三條豎著的線段和是 bx2。所 以，整個圖形的周長是（a + b）x2 + bx2,即 2a+ 4b。練習三1 ，有一張長 40 厘米，寬 30 厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的 正方形后準備做一個長方體紙盒，求

20、被剪后硬紙板的周長。2, 一個長 12 厘米，寬 2 厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示長 方形，求所拼長方形的周長。3, 求下面圖形（圖 2）的周長（單位：厘米）。圖（1）圖（2）例 4 下圖是邊長為 4 厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。思路導航我們把陰影部分周長中左邊的 5 條線段全部平移到左邊，其和正好 是 4 厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。因此，陰影部 分的周長與邊長是 4 厘米的正方形的周長是相等的。練習四1 ，求下面圖形的周長（單位：厘米）。2,在（）里填上“”、“V”或“二”。甲的周長（）乙的周長3, 下圖中的每一小段的長度都相等

21、，求圖形的周長。例 5 如下圖，陰影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的長方形的周 長。分析 根據(jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊長。因為BC=EFCF=DE 所以，AB+ BO CF=ABk FE+ ED=9 6=15 （厘米），這正好是最大長方形周 長的一半。因此，最大長方形的周長是（9+ 6）X2=30 （厘米）。練習五1, 下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來正方形的周長發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）2,下面是一個零件的平面圖， 圖中每條短線段都是5 厘米，零件長 35 厘米， 高30 厘米。這個零件的周長是多少厘米？3, 有兩個相同的長方

22、形，長 7 厘米，寬 3 厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的 周長第 4 周 長方形、正方形的面積專題簡析:長方形的面積二長X寬，正方形的面積二邊長X邊長。掌握并能運用這兩個面積 公式，就能計算它們的面積。但是，在平時的學習過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比 較復雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關概 念，利用“割補”、“平移”、“旋轉”等方法，使復雜的問題轉化為普通的求長 方形、正方形面積的問題，從而正確解答。例 1 已知大正方形比小正方形邊長多 2 厘米，大正方形比小正方形的面積大 40 平 方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？分析 從圖

23、中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的 40 平方厘 米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面積相等。因此，用 40 平方厘米減去陰影部分 的面積，再除以 2 就能得到長方形 A 和 B 的面積，再用 A 或 B 的面積除以 2 就是小 正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了。練習一1,有一塊長方形草地，長 20 米，寬 15 米。在它的四周向外筑一條寬 2 米的小路， 求小路的面積。2，正方形的一組對邊增加 30 厘米，另一組對邊減少 18 厘米，結果得到一個與原正 方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3，把一個長方形的長增加 5

24、分米，寬增加 8 分米后，得到一個面積比原長方形多 181 平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？例 2 一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。分析 因為 AEXCE=6 DEXEB=35 把兩個式子相乘 AEXCEXDEXEB=35X 6, 而CEX EB=14 所以 AEXDE=35 1-V勞 動執(zhí)*-rrF勞 動執(zhí)41十、上表中，將每列上下兩個字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學愛）。求第 460 組是什么？例題 5 8888100 個 8 -7,當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？分析從豎式中可以看出，

25、被除數(shù)除以 7,每次除得的余數(shù)以 1、4、6、5、2、0 不斷 重復出現(xiàn)。我們可以用 100 除以 6,觀察余數(shù)就知道所求問題了。100-6=164余數(shù)是 4 說明當商是整數(shù)時，余數(shù)是 1、4、6、5、2、0 中的第 4 個數(shù)，即 5。 練習五1,4444100 個 4 - 3 當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？2,4444100 個 4 -6 當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？3,11111000 個 1 -7 當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？第 12 周盈虧問題專題簡析：盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果 按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會有不足（虧），

26、求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分 3 塊，多 12 塊；如果每人分 4 塊，少 8 塊。小朋友有多少人？餅干有多少 塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說的標準的盈虧問題。盈虧問題的基本數(shù)量關系是：（盈+虧）+兩次所分之差二人數(shù)；還有一些非標準的盈虧問題，它們被分為四類：1, 兩盈：兩次分配都有多余；2, 兩不足：兩次分配都不夠；3, 盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4, 不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標準的盈虧問題都是由標準的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：1,“兩虧”問題的數(shù)量關系是：兩次虧數(shù)的差+兩次分得的差二參與分配對象總

27、數(shù)；2,“兩盈”問題的數(shù)量關系是：兩次盈數(shù)的差+兩次分得的差二參與分配對象總數(shù)；3,“ 一盈一虧”問題的數(shù)量關系是：盈與虧的和+兩次分得的差二參與分配對象總數(shù)。例 1 某校乒乓球隊有若干名學生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總 數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊 共有多少名學生？分析 （1）由“少一個女生，增加一個男生，則男生為總人數(shù)的一半”可知：女生比男生多 2 人；（2）“少一個男生，增加一個女生”后，女生就比男生多 2 + 2=4 人，這時男 生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有 4X2=8 人。原來女生有 8仁 7 人，男生有 7 2=5 人，

28、共有 7 + 5=12 人。練習一1,學校買來了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10 盒，彩色粉筆增加 8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買 10 盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學校買來兩種粉筆各多少盒？2,操場上有兩堆貨物，如果甲堆增加 80 噸，乙堆增加 25 噸，則兩堆貨物一樣重； 苦甲、乙兩堆各運走 5 噸，剩下的乙堆正好是甲堆的 3 倍。兩堆貨物一共有多少 噸？3，五（1）班的優(yōu)秀學生中，苦增加 2 名男生，減少 1 名女生，則男、女生人數(shù)同 樣多；苦減少 1 名男生，增加 1 名女生，則男生是女生的一半。這些優(yōu)秀學生中 男、女生各多少人？例 2 幼兒園老師拿出蘋果發(fā)給

29、小朋友。如果平均分給小朋友，則少4 個；如果每個小朋友只發(fā)給 4 個，則老師自己也能留下 4 個。有多少個小朋友？共有多少個蘋 果？分析 如果平均分給小朋友，則少 4 個，說明小朋友人數(shù)大于 4;如果每個小朋友只 發(fā)給 4個，則教師也能留下 4 個，說明每人少拿若干個，就少拿 4+ 4=8 個蘋果。因 為小朋友人數(shù)大于 4,所以，一定是每人少拿 1 個，有 8-仁 8 個小朋友，有 8X4 + 4=36 個蘋果。練習二1, 給小朋友分梨，如果每人分 4 個，則多 9 個；如果每人分 5 個，則少 6 個。有多 少個小朋友？有多少個梨？2, 老把一些鉛筆獎給三好學生。每人 5 支則多 4 支，每

30、人 7 支則少 4 支。老師有多 少支鉛筆？獎給多少個三好學生？3,有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6 人；如 果減少一條船，正好每條船上坐 9 人。這個班一共有多少個同學？例 3 幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學生每人 5 個余 10 個； 如果分給小班的學生每人 8 個缺 2 個。已知大班比小班多 3 人，這筐蘋果有多少個？ 分析 如果大班減少 3 人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人 5 個就多 余 3X5+ 10=25個。 由于兩班人數(shù)相等， 小班每人多分 3 個就要多分 （25+2） 個蘋 果， 用 （25 + 2）+（ 8-5）

31、就能得到小班同學的人數(shù)是 9 人，再用 9X8-2 就求出 了這筐蘋果有多少個。練習三1, 一些學生搬一批磚，每人搬 4 塊，其中 5 人要搬兩次；如果每人搬 5 塊，就有兩 人沒有磚可搬。這些學生有多少人？這批磚有多少塊？2, 老師給幼兒園小朋友分糖，每人 3 塊還多 10 塊；如果減少 2 個小朋友再分，每 人 4塊還多 7 塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？3,筑路隊計劃每天筑路 720 米，正好按期筑完。實際每天多筑 80 米，這樣，比原 計劃提前 3 天完成了筑路任務。要筑的路有多長？例 4 幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6 塊；如果只分給中班的小朋友，平

32、均每人可以多分得4 塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？分析 這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6 塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分 4 塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的 6+ 4=1.5 倍。因此， 這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6X1.5=9 塊，一共可分到 6 +9=15 塊餅干。練習四1,老師把一批書借給甲組同學，平均每人借 4 本。如果只借給甲組的女同學，每人 可借6 本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？2，甲、乙兩組同學做紅花，每人做 8 朵，正好送給五年級每個同學一朵。如果把這 些紅花讓甲組同學單獨做，每人要多做 4 朵。如果把

33、這些紅花讓乙組同學單獨做， 每人要做幾朵？3,老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班，每人可得12 塊；如果只分給中班和小班，每人只能分到 4 塊。如果這袋糖只分給中班，每人可分到幾塊？例 5 全班同學去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9 個同學；如果增加一條船，每條船正好坐 6 個同學。這個班有多少個同學？分析 根據(jù)題意可知：每船坐 9 人，就能減少一條船，也就是少 9 個同學；每船坐 6 人，就要增加一條船，也就是多出 6 個同學。因此，每船坐 9 人比每船坐 6 人可多 坐 9 + 6=15人，15 里面包含 5 個（9- 6）,說明有 5 條船。知道了有 5 條船，就可 以求全班人數(shù)

34、：9X（5 1） =36 人。練習五1,老師把一籃蘋果分給小班的同學，如果減少一個同學，每個同學正好分得5 個；如果增加一個同學，正好每人分得 4 個。這籃蘋果一共有多少個？2,五年級同學去劃船， 如果增加一只船，正好每只船上坐7 人；如果減少一只船，正好每只船上價 8 人。五年級共有多少人？3,一個旅游團去旅館住宿，6 人一間，多 2 個房間；若 4 人一間又少 2 個房間。旅 游團共有多少人？第 13 周 長方體和正方體（一）專題簡析在數(shù)學競賽中，有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜的立體圖形問題要注意幾點：1，必須以基本概念和方法為基礎，同時把構成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2,

35、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3, 求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。例題 1 一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是 多少平方厘米？（單位：厘米）分析 （1 ）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的長方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長方體的體積是 10X（6-2）X2=80（立方厘米），整個零件的體積是 80X2=160 （立方厘米）；（2）求這個零件的表面積，看起來比較復雜，其實，朝上的兩個面的面積和正 好與朝下的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積 相等

36、。因此，此零件的表面積就是（10X6+ 10X4+2X2）X2=232 （平方厘米）。想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎？練習一1 ，一個長 5 厘米，寬 1 厘米，高 3 厘米的長方體，被切去一塊后（如圖），剩 下部分的表面積和體積各是多少？2,把一根長 2 米的長方體木料鋸成 1 米長的兩段，表面積增加了 2 平方分米， 求這根木料原來的體積。3, 有一個長 8 厘米，寬 1 厘米，高 3 厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切 掉一個正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？例題 2 有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單

37、位：厘米）分析 （1）先求出長方體的體積，8X5X6=240 （立方厘米），由于挖去了一 個孔，所以體積減少了 2X2X2=8（立方厘米），這個零件的體積是 240-8=232 （立 方厘米）；（2）長方體完整的表面積是（8X5+ 8X6 + 6X5）X2=236 （平方厘米），但 由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個（2X2）平方厘米的面，同時又增加了 凹進去的5 個（2X2）平方厘米的面，因此，這個零件的表面積是236+ 2X2X4=252（平方厘米）。練習二1, 有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2,有一個棱長是 4 厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長

38、是1 厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3, 如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖），那么得到的物體的 體積和表面積各是多少？例題 3 一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積 比原來的長方體的表面積增加了 50 平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？分析一個正方體和一個長方體拼成新的長方體，其表面積比原來的長方體增加了 4 塊正方形的面積，每塊正方形的面積是 50-4=12.5 （平方厘米）。正方體有 6 個這樣的面，所以，原來正方體的表面積是12.5X6=75 （平方厘米）。練習三1, 把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長

39、方體的表面積比原來兩個長方體的表面積的和減少了 46 平方厘米，而長是原來長方體的 2 倍。如 果拼成的長方體的長是 24 厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2, 一根長 80 厘米，寬和高都是 12 厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個 最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3, 把 4 塊棱長都是 2 分米的正方體粘成一個長方體，它們的表面積最多會減少 多少平方分米？例題 4 把 11 塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288 立方厘米，求大長方體的表面積。分析 要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用 a、b、h 分 別表示小長方體的長、寬、高，顯

40、然，a=4h,即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a，磚的體積 是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由 1/6a3=288 可知，a=12, b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長方體的長是 12X2=24 厘米，寬 12 厘米，高是 8+ 3=11 厘米，表面積就不 難求了。練習四1, 一塊小正方體的表面積是 6 平方厘米，那么，由 1000 個這樣的小正方體所 組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2, 一個長方體的體積是 385 立方厘米，且長、寬、高都是質數(shù)，求這個長方體 的表面積。3,有 24 個正方體， 每個正方體的體積都是1 立方厘米，用這些正方體可以拼 成幾

41、種不同的長方體？用圖畫出來。例題 5 一個長方體，前面和上面的面積之和是209 平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？分析 長方體的前面和上面的面積是長x寬+長x高二長x（寬+高），由于此長方體的長、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質數(shù)，所以有209=11x19=11x（17+2）,即長、寬、高分別為 11、17、2 厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容 易了。練習五1,有一個長方體， 它的前面和上面的面積和是88 平方厘米，且長、寬、高都 是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？2,一個長方體的長、 寬、 高是三個連續(xù)偶數(shù)，體積是96 立方厘米

42、，求它的表 面積。3,一個長方體和一個正方體的棱長之長相等，已知長方體長、寬、高分別是6分米、4 分米、25 分米，求正方體體積。第十四周 長方體和正方體（二）專題簡析在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況： 把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物 體浸入水中，物體在水中會占領一部分的體積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：1, 將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；2, 兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；3，物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。例題 1 有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱

43、空著。從里面量，甲水 箱長 40厘米，寬 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱長 30 厘米，寬 24 厘米，深 25 厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘 米？分析 由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個水 箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積 +乙水箱的底面）X水面的高度。這 樣，我們只要先求出原來甲水箱中的體積：40X32X20=25600 （立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40X32+ 30X24=2000 （平方厘米），就能得到后來水面的 咼度。練習一1, 有兩個水池，甲水池長 8 分米、寬 6 分米、水深 3 分

44、米，乙水池空著，它長 6 分米、寬和高都是 4 分米?，F(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個水池中 水面同樣高。問水面高多少？2, 有一個長方體水箱，從面量長 40 厘米、寬 30 厘米、深 35 厘米，箱中水面 高 10厘米。放進一個棱長 20 厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水 面高多少厘米？3, 段鋼材長 15 分米，橫截面面積是 1.2 平方分米。如果把它煅燒成一橫截 面面積是 0.1 平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長。例 2 將表面積分別為 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的三個鐵質正方體 熔成一個大正方體(不計損耗)，求這個大正方體的體積。分析 因

45、為正方體的六個面都相等，而 54=6X9=6X(3X3),所以這個正方體 的棱是3 厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6X(4X4),棱長是 4厘米；150=6X(5X5),棱長是 5 厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積， 這個大正方體的體積就等于它們的體積和。練習二1,有三個正方體鐵塊， 它們的表面積分別是24 平方厘米、54 平方厘米和 294 平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。2, 將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長 方體，已知這個長方體的長是 13 厘米，寬 7 厘米，求它的高。3, 把 8 塊邊長是 1

46、 分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體，這個大正方體的表面 積是多少平方分米？例題 3 有一個長方體容器，從里面量長 5 分米、寬 4 分米、高 6 分米，里面注有 水，水深3 分米。如果把一塊邊長 2 分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分 米？分析 鐵塊的體積是 2X2X2=8(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了 8 立 方分米的空間，因此，水上升的體積也就是 8 立方分米，用這個體積除以底面積(5X4)就能得到水上升的高度了。練習三1, 有一個小金魚缸，長 4 分米、寬 3 分米、水深 2 分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升 0.8 分米。這塊假山石的體積是多少立方分米?2, 有一個

47、正方體容器，邊長是 24 厘米，里面注滿了水。有一根長 50 厘米，橫截面是 12 平方厘米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方 厘米的水？3, 有一塊邊長是 5 厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個長方體容器里的水中。取出 鐵后，水面下降了 0.5 厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？例題 4 有一個長方體容器（如下圖），長 30 厘米、寬 20 厘米、高 10 厘米，里面 的水深6 厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應該是多少厘 米？分析 首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當容器豎起來以后，水流動了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個

48、底面積是20X10=200 平方厘米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習四1, 有兩個長方體水缸，甲缸長 3 分米，寬和高都是 2 分米；乙缸長 4 分米、寬 2 分米，里面的水深 1.5 分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？2, 有一塊邊長 2 分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長方體，這長方體的截 面是一個長 4 厘米、寬 2 厘米的長方形，求它的長。3, 像例題中所說，如果讓長 30 厘米、寬 10 厘米的面朝下，這時的水深又是多 少厘米？例題 5 長方體不同的三個面的面積分別為10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘

49、米？分析 長方體不同的三個面的面積分別是長x寬、長x高、寬x高得來的。因此，15x10 x6=（長x寬x高）x（長x寬x高），而15x10 x6=900=30X 30。所以，這個長方體的體積是 30 立方厘米。練習五1,一個長方體，不同的三個面的面積分別是 25 平方厘米、18 平方厘米和 8 平 方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？2,個長方體，不同的三個面的面積分別是 35 平方厘米、21 平方厘米和 15 平 方厘米，且長、寬、高都是質數(shù)，這個長方體的體積是多少立方厘米？3, 個長方體的體積是 48 立方厘米，并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這 個長方體的表面積是多少平方厘米？第十五

50、周長方體和正方體（三）專題簡析：解答有關長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特 征，熟悉計算方法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知 道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分， 新增加的表面積 等于切面面積的兩倍。例題 1 一個棱長為 6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為 2 厘米的正方體若干 塊，表面積增加多少厘米？分析 把棱長為 6 厘米的正方體鋸成棱長為 2 厘米的正方體，可以按下圖中的 線共鋸6 次，每鋸一次就增加兩個 6X6=36 平方厘米的面，鋸 6 次共增加 36x2X6=432 平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加

51、 432 平方厘米。練習一1，把 27 塊棱長是 1 厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2,有一個棱長是 1 米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8 個小正方體，表面積增加多少平方米？3，把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4 個同樣的小長方體，沒有涂顏色的面積是 60 平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？例題 2 有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24 平方厘米，這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？分析 把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是 24+ 2=12

52、平方厘米，而正方體有 6 個這樣的面。所以原正方體的表面積是 12X6=72 平方厘 米。練習二1, 把三個棱長都是 2 厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多 少平方厘米？2, 有一個正方體木塊，長 4 分米、寬 3 分米、高 6 分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長 方體，表面積最多增加多少平方分米？3, 有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是 8 厘米、寬 4 厘米、高 2 厘米， 現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？例題 3 有一個正方體，棱長是 3 分米。如果按下圖把它切成棱長是 1 分米的小正方 體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過

53、程中，每切一切，就會增加兩個 3X3 平方分米的面，你能用 這種思路來計算所求問題嗎？練習三1, 用棱長是 1 厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是 6 厘米的正方體，需要多少個小正方體？2,有一個長方體，長 10 厘米、寬 6 厘米、高 4 厘米，如果把它鋸成棱長是 1 厘米的小正方體，一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？3, 把 24 個棱長是 1 厘米的小正方體擺成一個長方體，這個長方體的表面積至 少是多少平方厘米？例題 4 一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：(1)三個面涂有紅色的有幾個?(2) 二個面涂

54、有紅色的有幾個？(3) 個面涂有紅色的有幾個？(4) 六個面都沒有涂色的有幾個？分析 按題中的要求切，切成的小正方體一共有 3X3X3=27 個。(1)三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8 個；(2)二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1X12=12 個；(3)一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1X6=6 個；(4)六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27( 8+12 + 6) =1 個。練習四1, 把一個棱長是 5 厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成 1 立方厘米的小 正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒

55、有涂色的各有多少個？2, 把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有 24 個，那么，這些小正方體一共 有多少個？3,把 1 立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1 立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個面都沒有涂色的有多少個？例題 5 一個長方體的長、寬、高分別是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三 個體積相等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？分析 這個長方體原來的表面積是(6X5 + 6X4+ 5X4)X2=148 平方厘米，每 切割一刀，增加 2 個面。切成三個體積相等的小長方體

56、要切 2 刀，一共增加 2X2=4 個面。要求表面積和最大，應該增加 4 個 6X5=30 平方厘米的面。所以，三個小長 方體表面積和最大是 148 + 6X5X4=268 平方厘米。練習五1,有三塊完全一樣的長方體木塊，每塊長 8 厘米、寬 5 厘米、高 3 厘米。要把 它們粘成一個大的長方體，這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少 平方厘米？2, 把 8 個同樣大小的小正方體拼成一個大正方體，已知每個小正方體的表面積 是 72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3，把一個長、寬、高分別為 7 厘米、6 厘米、5 厘米的長方體，截成兩個長方 體，使這兩個長方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？第16周倍數(shù)問題（一）專題簡析：倍數(shù)問題是數(shù)學競賽中的重要內容之一，它是指已知幾個數(shù)的 和或差以及這幾個數(shù)之間的倍數(shù)關系，求這幾個數(shù)的應用題。解答倍數(shù)問題，必須先確定一個數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標準數(shù)，即1 倍數(shù)，再根據(jù)其它幾個