有理數(shù)知識點(diǎn)整理(共7頁)

1、有理數(shù)考點(diǎn)1、正數(shù)和負(fù)數(shù) 正數(shù)：大于零的數(shù) 負(fù)數(shù)：小于零的數(shù)（在正數(shù)前面加上負(fù)號“”的數(shù)）注意：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)對于正數(shù)和負(fù)數(shù)，不能簡單理解為帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“”號的數(shù)是負(fù)數(shù)考點(diǎn)2、有理數(shù)1、有理數(shù)的分類按定義分： 按性質(zhì)符號分：有理數(shù)注意：1、有理數(shù)只包括正數(shù)和分?jǐn)?shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，如圓周率就不是有理數(shù)了。 2、0是整數(shù)不是分?jǐn)?shù)2、數(shù)軸（重點(diǎn)）定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線數(shù)軸的含義：（1）數(shù)軸是一條直線，可以向兩邊無限延伸（2）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度、這三者缺一不可（3）數(shù)軸一般取右（或向上）為正方向，數(shù)軸的原點(diǎn)的選定，正

2、方向的取向，單位長度大小的確定都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。（4）同一數(shù)軸的單位長度必須一致1、 相反數(shù)（重點(diǎn)）定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（在數(shù)軸上分別位置原點(diǎn)的兩側(cè)，到原點(diǎn)的距離相等的兩個點(diǎn)所表示的數(shù)叫做互為相反數(shù)。）相反數(shù)的表示方法及多重符號的化簡：（1）4、絕對值（難點(diǎn)）絕對值的定義：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值，記為 a，讀作：a的絕對值因為數(shù)的絕對值是表示兩點(diǎn)之間的距離，所以一個數(shù)的絕對值不可能是負(fù)數(shù)。即：任何數(shù)的絕對值都是正數(shù)（0的絕對值是0）絕對值的代數(shù)定義：1）一個正數(shù)的絕對值是它本身 2）一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù) 3）0的絕對值是0 絕對值的計算規(guī)律：

3、（1） 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等（2） 若，則a=b或a=-b；（3） 若5、有理數(shù)的大小比較（1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)（2）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小考點(diǎn)3、有理數(shù)的加減（重難點(diǎn)）1、有理數(shù)加法（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把其絕對值相加；（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零；（4）一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2、有理數(shù)減法有理數(shù)減法法則中，字母a,b表示任意有理數(shù)；0減去任何數(shù)得這個數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)的減法可轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法進(jìn)行計算，不要將減法法則與加法法則中異號兩書相加混淆。計算有理

4、數(shù)的減法時，要把減號變?yōu)榧雍茫褱p數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即必須同時改變兩個符號：意識運(yùn)算符號由“-”變?yōu)椤?”；而是減數(shù)的性質(zhì)符號由正變?yōu)樨?fù)或由負(fù)變?yōu)檎?。考點(diǎn)4 有理數(shù)的乘除、乘方1、 有理數(shù)的乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)；任何數(shù)與零相乘，都得零；幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，積為正。2、有理數(shù)除法兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)零除以任何一個不為零的數(shù)，都得零；除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)（零不能作除數(shù)）3、有理數(shù)的乘方負(fù)數(shù)的偶次冪為正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)數(shù)4、有理數(shù)運(yùn)算律加法的交換律 a+b=b+a； 加法的結(jié)合

5、律 a+(b+c)=(a+b)+c；存在數(shù)0，使 0+a=a+0=a； 對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交換律 ab=ba； 乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c；分配律 a(b+c)=ab+ac； 存在乘法的單位元10，使得對任意有理數(shù)a，1a=a；對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。0a0 文字解釋：一個數(shù)乘0還于0。注意：先乘方、開方，后乘除，最后加減；有括號時，先算括號里面的；同級運(yùn)算按從左至右的順序進(jìn)行，同時注意運(yùn)算律的靈活應(yīng)用。加減是一級運(yùn)算，乘除是二級運(yùn)算，乘方、開方是三級運(yùn)算?？键c(diǎn)5、近

6、似數(shù)、有效數(shù)字與科學(xué)計數(shù)法 近似數(shù)：一個與實際數(shù)比較接近的數(shù)，稱為近似數(shù)。 有效數(shù)字：對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字開始，草最末一個數(shù)字止，都是這個近似數(shù)的有效數(shù)字?？茖W(xué)計數(shù)法：把一個數(shù)記作a×10n形式（其中1 a 10，n為整數(shù)。）實數(shù)一·實數(shù)的組成實數(shù)又可分為正實數(shù)，零，負(fù)實數(shù)2.數(shù)軸：數(shù)軸的三要素原點(diǎn)、正方向和單位長度。數(shù)軸上的點(diǎn)與實數(shù)一一對應(yīng)二·相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1. 相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)回味相反數(shù)。數(shù)a的相反數(shù)是-a。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零. 性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0。2.絕對值：表示點(diǎn)到原點(diǎn)

7、的距離，數(shù)a的絕對值為3.倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。非0實數(shù)a的倒數(shù)為1/a.0沒有倒數(shù)。4.相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0,；絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)（0和正數(shù)）；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1.三、平方根與立方根1.平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)叫做a的平方根。數(shù)a的平方根記作（a>=0）特性：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，零的平方根還是零。負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根還是零。 開平方:求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。2.立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，則稱這個數(shù)為a立方根 。數(shù)a的立方根用表示。任何數(shù)都有立方根，一個

8、正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，零的立方根是零。 開立方：求一個數(shù)的立方根（三次方根）的運(yùn)算，叫做開立方。正確理解：、幾個性質(zhì)：、 、四·實數(shù)的運(yùn)算1. 有理數(shù)的加法法則：a）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；b)異號兩數(shù)相加。絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值. 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。2.有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。3.乘法法則：a）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零b）幾個不為0的有理數(shù)相乘，積得符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時

9、，積為負(fù)，為偶數(shù)，積為正c）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為0，積就為04.有理數(shù)除法法則：a）兩個有理數(shù)相除（除數(shù)不為0）同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何非0實數(shù)都得0。b）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。5.有理數(shù)的乘方:在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)a）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負(fù)數(shù)；0的任何次冪都是0b）a0=1（a不等于0）6.有理數(shù)的運(yùn)算順序：a）同級運(yùn)算，先左后右b）混合運(yùn)算，先算括號內(nèi)的，再乘方、開方，接著算乘除，最后是加減五·實數(shù)大小比較的方法1）數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)2）比差法：若a-b>0則a

10、>b；若a-b<0則a<b；若a-b=0則a=b3）比商法：A.兩個數(shù)均為正數(shù)時，a/b>1則a>b；a/b<1則a<b B.兩個數(shù)均為負(fù)數(shù)時，a/b>1則a<b；a/b<1則a>b C.一正一負(fù)時，正數(shù)>負(fù)數(shù)4）平方法：a、b均為正數(shù)時，若a2>b2，則有a>b；均為負(fù)數(shù)時相反5)倒數(shù)法：兩個實數(shù)，倒數(shù)大的反而小（不論正負(fù)）分式1.分式1.分式的概念（從分?jǐn)?shù)到分式）2.如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。3.分子 分母概念4.分式代表的含義5.分式要有意義：條件2.分式的基本性質(zhì)

11、1.分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。（由分?jǐn)?shù)引入） 其中A，B，C是整式約分最簡分式通分3.分式的運(yùn)算分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積做為積的分母。分式除法法則：分式除分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。(運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡形式)分子、分母是多項式時，先分解因式便于約分。分式的乘方要把分子、分母分別乘方分式的加減：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì) 科學(xué)計數(shù)法3.分式方程分母中含未知數(shù)的方程 分式方程的解的步驟去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最

12、簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分母后值為0。列分式方程基本步驟1.審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。2.設(shè)合理設(shè)未知數(shù)。3.列根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。4.解解出方程（組）。注意檢驗5.答答題。整式考點(diǎn)一、整式的有關(guān)概念 （3分）1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。2、單項式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

13、注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如是6次單項式?？键c(diǎn)二、多項式 （11分）1、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。單項式和多項式統(tǒng)稱整式。用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。 （2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。2、

14、同類項：所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。3、去括號法則括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。括號前是“”，把括號和它前面的“”號一起去掉，括號里各項都變號。4、整式的運(yùn)算法則整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。整式的乘法： 整式的除法：注意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。（2）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號， 同時還要注意單項式的符號。（4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。（6）（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多項式是不能這么計算的。考點(diǎn)三、因式分解 （11分）1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式