上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、2016 年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案一、填空題（本題滿分 6060 分，前 4 4 小題每小題 7 7 分，后 4 4 小題每小題 8 8 分）1.1._ 已知函數(shù)f x ax2bx c（a 0，a,b,c均為常數(shù)），函數(shù)f1x的圖象 與函數(shù)f x的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)f2x的圖象與函數(shù)fix的圖象關(guān) 于直線y 1對稱，則函數(shù)f2x的解析式為 .答案：f2x ax2bx c 2.解在函數(shù)y f x的表達(dá)式中用x代替x，得f1xax2bx c，在函數(shù)y f1x的表達(dá)式中用2 y代替y，得f2xax2bx c 2.2.2.復(fù)數(shù)z滿足z 1，w 3z2-2在復(fù)平面上對應(yīng)的動點W所表示曲線的普z

2、通方程是2答案：x2匕1.25解設(shè)z a bi,w x yi，則a2b21，2從而x a2 b2,y 10ab，于是x2生2 222 2a b 4a b1.3.3.關(guān)于x的方程arctan2xarctan2x一的解是6答案：x Iog2.3解 因為tan arctan2xtan arctan2x2x2x1，所以arctan2xarctan2x2解得arcta n2x,arcta n2x，貝U 2x. 3,x log2、.3.364.4. 紅、藍(lán)、綠、白四顆骰子，每顆骰子的六個面上的數(shù)字為123,4,5,6，則 同時擲這四顆骰子使得四顆骰子向上的數(shù)的乘積等于36，共有 種可能.答案：4848.解

3、 四顆骰子乘積等于 3636，共有四種情形：(1) 兩個 1 1，兩個 6 6，這種情形共C：6種可能；(2) 兩個 2 2,兩個 3 3,這種情形共C：6種可能；(3) 兩個 3 3, 一個 1 1, 一個 4 4,這種情形共C：C；12種可能；(4) ,1,2,3,6各一個，這種情形共A424種可能.綜上，共有6 6 12 24 48種可能.15.5. 已知函數(shù)f x cos x , g x 2xa a 0，若存在0,1，使f N g X2成立，則實數(shù)a的取值范圍為 _.答案；2,o u o,2.1616 間小三角形的房間，甲、乙兩人被隨機(jī)地分別安置在不同 的小三角形房間，那么他們在不相鄰

4、（指沒有公共邊）房間的概率是（用分?jǐn)?shù)表示）.解法一如圖 1 1,將小三角形房間分為三類：與第一類（紅色）房間相鄰的 房子恰有一間，與第二類（綠色）房間相鄰的房間恰有兩間， 與第三類（白 色）房間相鄰的房間恰有三間，從而滿足條件的安置方法共有鄰邊，故所求概率為的大小是解易知x 0,1時，f X1,1 .只需求a的取值范圍，使得g x能取到1,1中的值.(1)0時，g x單調(diào)遞增，因為g Xi，故只需g01，解得(2(2)0時，g x單調(diào)遞減，因為g x1，故只需g01,解得a 0.6.6.如圖，有3162616 37164 204種.從而所求概率為 誤 益解法二我們從反面考慮問題,如圖 2 2，

5、每一對相鄰房間對應(yīng)著一條黃色的7.7.在空間，四個不共線的向量OA.OB.OC.OD， 它們兩兩的夾角都是，則1 arccos.3解 如圖，ABCD為正四面體，角 即為AOD，設(shè)E,M分別為BC和AD的 中點，貝V AE DE,OA OD，則中心O在EM上，從而O ADE的垂心，所以，1 arccos.38.8.已知0,b 0,a3b31，則a b的取值范圍為答案：1,34.2解注意到0 aba b，及4我們有丄a b 1 a b，所以1 a b34.4二、解答題（本題滿分 6060 分，每小題 1515 分）9.9.如圖，已知五邊形ABQD1E1內(nèi)接于邊長為 1 1 的正五邊形ABCDE.求

6、證： 五邊形AB1C1D1E1中至少有一條邊的長度不小于cos 5證 設(shè)EA AA,AB, BB1,BQ,CC1,C1D,DD1,D1E,EE1的長分別為 印&匕,。,C2,d1,d2,e!,2,則由平均數(shù)原理，a1a2,b1d,C1C2,d1d2,e e?中必有一個大于1，不妨設(shè)a1a21，貝9a21 a10.此時所以，A1E1cos.命題得證.5答案:10.10.設(shè)p,q和r是素數(shù)，且p|qr 1,q | rp 1,r | pq 1，求pqr的所有可能的值.an為單調(diào)數(shù)列，即an為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.由題設(shè)可得pqr | qr 1 rppq 1，因為所以，pqr | pq qr r

7、p 1.于是pq qr rp 1丄1丄pqrp q r1pqr為正整數(shù).記k 1 1，注意至U p, q, r 2p q r pqr則k 3從而k1.由對稱性，不妨設(shè)pqr.若p3，則k1 111，矛盾，故p 2.p qr若q3，則q5，k1 21，矛盾.25若q2，則k11111，也矛盾.故q 32 2r4r最后,由111 1丄5,得r5.23r6r11.11.已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系an 1知“N*，求所有a1的值，使解由an 1n 1尹孑得,心1亍3，令bn 3an，則從而bn6正負(fù)交替，從而an正負(fù)交替，an不為單調(diào)數(shù)列.線段BC上一點(包括端點).直線AD與厶BPC的外接圓交于E,F兩點,其中EA ED .(1)設(shè)BD| x，試將EA DF|表示為關(guān)于x的函數(shù)f x;(2) 求f x的最小值.解(1 1)設(shè)u EA ,v AD ,w DF，貝U f x u w.在厶ABD中，由余弦定理，得在厶PBC的外接圓中運(yùn)用相交弦定理，得兩式相減，得v u w x25x 45,故(2 2)設(shè)t x25x 25 0，貝9當(dāng)且僅當(dāng)t 20時等號成立，此時tx25x 25 2 5,解得x 5 5.若a12，注意到251，則當(dāng)n 1