高中數(shù)學(xué)重點知識與結(jié)論分類解析二

1、 高中數(shù)學(xué)重點知識與結(jié)論分類解析四、三角函數(shù)1 終邊與 終邊相同（ 的終邊在 終邊所在射線上）  終邊與 終邊共線（ 的終邊在 終邊所在直線上） 終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱  終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱  終邊與 終邊關(guān)于原點對稱  一般地： 終邊與 終邊關(guān)于角 的終邊對稱  與 的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定2弧長公式： ，扇形面積公式： ，1弧度（1rad） 3三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正注意： ，4三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在 軸上（起點在 軸上）”、余弦線“躺在 軸上（起點是原點）”、正切線“站

2、在點 處（起點是 ）”務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，正弦 縱坐標(biāo)、余弦 橫坐標(biāo)、正切 縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商”；務(wù)必記?。簡挝粓A中角終邊的變化與 值的大小變化的關(guān)系 為銳角  5三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；6三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限7三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”! 角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換常值變換主要指“1”的變換：

3、等三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）公式中的符號特征“正余弦三兄妹 的聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)系在一起            ）輔助角公式中輔助角的確定： （其中 角所在的象限由a, b的符號確定， 角

4、的值由 確定）在求最值、化簡時起著重要作用尤其是兩者系數(shù)絕對值之比為 的情形 有實數(shù)解 8三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定如 的周期都是 , 但  的周期為 ， y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)y=cos|x|,  ，y=cos|x|是周期函數(shù)嗎？（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、

5、伸縮及其向量的平移變換（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法（五點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列）和變換法9三角形中的三角函數(shù)：（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為 ，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余銳角三角形 三內(nèi)角都是銳角 三內(nèi)角的余弦值為正值 任兩角和都是鈍角 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方（2）正弦定理： （R為三角形外接圓的半徑）注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解（3）余弦定理： 等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型（4）面積公式： 五、向  量1向量運算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及

6、其坐標(biāo)的特征2幾個概念：零向量、單位向量（與 共線的單位向量是 ，特別： ）、平行（共線）向量（無傳遞性，是因為有 ）、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（ 在 上的投影是 ）3兩非零向量平行（共線）的充要條件     兩個非零向量垂直的充要條件        特別：零向量和任何向量共線 是向量平行的充分不必要條件!4平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 、 ，使a= e1 e25三

7、點 共線  共線；向量 中三終點 共線 存在實數(shù) 使得： 且 6向量的數(shù)量積： ， ，注意： 為銳角  且 不同向；為直角  且 ；為鈍角  且 不反向；是 為鈍角的必要非充分條件向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運用；對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即 ，切記兩向量不能相除（相約）7 注意： 同向或有  

8、0;  ；反向或有     ；不共線  （這些和實數(shù)集中類似）8.中點坐標(biāo)公式 ，  為 的中點中， 過 邊中點； ；   為 的重心；特別 為 的重心為 的垂心；所在直線過 的內(nèi)心（是 的角平分線所在直線）；  的內(nèi)心六、不等式1（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值（2）解分式不等式 的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?，?biāo)根及奇穿過偶彈回）；（3）含有兩個絕對值的不等式如

9、何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）；（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集2利用重要不等式  以及變式 等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b （或a ，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件是積ab或和ab其中之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時）3常用不等式有： （根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用）a、b、c R， （當(dāng)且僅當(dāng) 時，取等號）4比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法5含絕對值不等式的性質(zhì)：同號或有  &

10、#160;  ；異號或有     注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題）6不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題（1）恒成立問題若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價于在區(qū)間 上 若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價于在區(qū)間 上 （2）能成立問題若在區(qū)間 上存在實數(shù) 使不等式 成立,即 在區(qū)間 上能成立, ,則等價于在區(qū)間 上 若在區(qū)間 上存在實數(shù) 使不等式 成立,即 在區(qū)間 上能成立, ,則等價于在區(qū)間 上的 （3）恰成立問題若不等式 在區(qū)間 上恰成立, 則等價于不等式

11、 的解集為 若不等式 在區(qū)間 上恰成立, 則等價于不等式 的解集為 ,七、直線和圓1直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義（ 或 ）及其直線方程的向量式（ （ 為直線的方向向量）應(yīng)用直線方程的點斜式、斜截式設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不存在的情況？2知直線縱截距 ，常設(shè)其方程為 或 ；知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為 （直線斜率k存在時， 為k的倒數(shù)）或 知直線過點 ，常設(shè)其方程為 或 注意：（1）直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式以及各種形式的局限性（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢

12、？）與直線 平行的直線可表示為 ；與直線 垂直的直線可表示為 ；過點 與直線 平行的直線可表示為：；過點 與直線 垂直的直線可表示為：（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0直線兩截距相等 直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等 直線的斜率為 或直線過原點（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合3相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是 ，而其到角是帶有方向的角，范圍是 注：點到直線的距離公式特別：

13、；4線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解5圓的方程：最簡方程 ；標(biāo)準(zhǔn)方程 ；一般式方程  ；參數(shù)方程 為參數(shù)）；直徑式方程  注意：（1）在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是 （2）圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：， ，  6解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)（如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用!”（1）過圓 上一點 圓的切線方程是： ，過圓 上一點 圓的切線方程是： ，過圓 

14、上一點 圓的切線方程是： 如果點 在圓外，那么上述直線方程表示過點 兩切線上兩切點的“切點弦”方程如果點 在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于 （ 為圓心）的直線方程， （ 為圓心 到直線的距離）7曲線 與 的交點坐標(biāo) 方程組 的解；過兩圓 、 交點的圓（公共弦）系為 ，當(dāng)且僅當(dāng)無平方項時， 為兩圓公共弦所在直線方程八、圓錐曲線1圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點（兩相異定點），那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準(zhǔn)線（一定點和不過該點的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半

15、徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用（1）注意：圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；圓錐曲線第二定義是：“點點距為分子、點線距為分母”，橢圓 點點距除以點線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線 點點距除以點線距商是大于1的正數(shù)，拋物線 點點距除以點線距商是等于1圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：                          2圓錐

16、曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢其中 ，橢圓中 、雙曲線中 重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其頂點、焦點、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì)3在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解特別是：直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必“判別式0”，尤其是在應(yīng)用韋達定理解決問題時，必須先有“判別式0”直線與拋物線（相交不一定交于兩點）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四

17、種情況）的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式（ ， ,   ）或“小小直角三角形”如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化4要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等）, 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類基本

18、問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等九、直線、平面、簡單多面體1計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾

19、角計算2計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理， ），或先運用等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等 斜線在平面上射影為角的平分線3空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進行，請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用注意：書寫證明過程需規(guī)范特別聲明：證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化在證明計算過程中常將運用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化 （構(gòu)造） 為特殊幾何體（如三棱錐、正方體、

20、長方體、三棱柱、四棱柱等）中問題，并獲得去解決如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運用空間向量解決問題4直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì)如長方體中：對角線長 ，棱長總和為 ，全（表）面積為 ，（結(jié)合 可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式）， ；如三棱錐中：側(cè)棱長相等（側(cè)棱與底面所成角相等） 頂點在底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對對棱垂直） 頂點在底上射影為底面垂心，斜高長相等（側(cè)面與底面所成相等）且頂點在底上在底面內(nèi) 頂點在底上射影為底面內(nèi)心如正四面體和正方體中： 5求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）法等注意：補形：三棱錐 三棱柱 平行六面體      分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是        6多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體棱柱和棱錐是特殊的多面體正多面體的每個面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種，  即