(完整word版)3-2-6變速問(wèn)題_題庫(kù)教師版.doc

1、變速問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1、 能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識(shí)理清變速變道問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)2、 能夠利用線(xiàn)段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題。3、 變速變道問(wèn)題的關(guān)鍵是如何處理“變 ”知識(shí)精講變速變道問(wèn)題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問(wèn)題等解題方法。對(duì)于這種分段變速問(wèn)題，利用算術(shù)方法、折線(xiàn)圖法和方程方法解題各有特點(diǎn)。算術(shù)方法對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的把握非常細(xì)致，但必須一步一步來(lái)；折線(xiàn)圖則顯得非常直觀(guān)，每一次相遇點(diǎn)的位置也易于確定；方程的優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)需考慮得非常仔細(xì)，只需要知道變速點(diǎn)就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推理過(guò)程轉(zhuǎn)化成了計(jì)算行程問(wèn)題常用的解題方法有 公式法即根據(jù)常用的行程問(wèn)題的公式進(jìn)行

2、求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件； 圖示法在一些復(fù)雜的行程問(wèn)題中， 為了明確過(guò)程， 常用示意圖作為輔助工具 示意圖包括線(xiàn)段圖和折線(xiàn)圖 圖示法即畫(huà)出行程的大概過(guò)程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)另外在多次相遇、追及問(wèn)題中，畫(huà)圖分析往往也是最有效的解題方法； 比例法行程問(wèn)題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件 (如路程、速度、時(shí)間等 )往往是不確定的，在沒(méi)有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題； 分段法在非勻

3、速即分段變速的行程問(wèn)題中，公式不能直接適用這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問(wèn)題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來(lái)； 方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼饽K一、變速問(wèn)題1【例 1】小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52 米，小強(qiáng)每分走70 米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4 分出發(fā)，且速度不變，小強(qiáng)每分走90 米，則兩人仍在A 處相遇。小紅和小強(qiáng)兩人的家相距多少米？【解析】 因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇的地點(diǎn)不變， 所以小紅兩次從出發(fā)到相遇行走的時(shí)間不變，也就是

4、說(shuō)，小強(qiáng)第二次走的時(shí)間比第一次少4 分鐘。（70×4） ÷（ 90-70）=14 分鐘可知小強(qiáng)第二次走了14分鐘，他第一次走了14 4=18 分鐘；兩人家的距離： （52+70 ）×18=2196（米）【例 2】甲、乙兩人沿400 米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時(shí)從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。相遇后甲比原來(lái)速度增加2 米秒，乙比原來(lái)速度減少2 米秒，結(jié)果都用24 秒同時(shí)回到原地。求甲原來(lái)的速度?！窘馕觥?因?yàn)橄嘤銮昂蠹?，乙的速度和沒(méi)有改變，如果相遇后兩人和跑一圈用24 秒，則相遇前兩人和跑一圈也用 24 秒。以甲為研究對(duì)象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程與以（

5、V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400 米， 24V +24 （ V +2 ）=400 易得 V = 7 1 米 /秒3【例 3】(2008 年日本小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽)上午8點(diǎn)整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，點(diǎn)20分甲與從B8地出發(fā)勻速去A 地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來(lái)的3 倍，乙速度不變；8點(diǎn) 30 分,甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地那么，乙從B 地出發(fā)時(shí)是8 點(diǎn)分【解析】8 點(diǎn) 20 分相遇，此時(shí)甲距離A 地的距離是甲走了20 分鐘的路程， 8 點(diǎn) 30 分時(shí)乙到達(dá)目的地，說(shuō)明乙走這段路程花了10 分鐘，所以乙的速度是甲速度的兩倍，當(dāng)甲把速度提高到原速的3 倍時(shí)，此時(shí)甲的速

6、度是乙速度的 1.5倍，甲從相遇點(diǎn)走到B 點(diǎn)花了 10 分鐘，因此乙原先花了10 1.515（分鐘），所以乙是8 點(diǎn) 5 分出發(fā)的【例 4】（難度等級(jí)） A 、 B 兩地相距7200米，甲、乙分別從A ， B兩地同時(shí)出發(fā)，結(jié)果在距 B 地 2400 米處相遇如果乙的速度提高到原來(lái)的3 倍，那么兩人可提前10 分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【解析】 第一種情況中相遇時(shí)乙走了2400 米，根據(jù)時(shí)間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為 (7200 2400) : 2400 =2 :1 ，所以第一情況中相遇時(shí)甲走了全程的2/3乙的速度提高3 倍后，兩人速度比為2 : 3，根據(jù)時(shí)間一定

7、，路程比等于速度之比，所以第二種情況中相遇時(shí)甲走了全程的33 兩種情況相比， 甲的速度沒(méi)有變化， 只是第二種情況比第一種情況少走10分325鐘，所以甲的速度為6000( 33) 9 150 (米/分 )58【例 5】（難度等級(jí)）甲、乙兩車(chē)分別從A ， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，6 小時(shí)后相遇在C點(diǎn)如果甲車(chē)速度不變，乙車(chē)每小時(shí)多行5 千米，且兩車(chē)還從A， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C 點(diǎn) 12 千米；如果乙車(chē)速度不變，甲車(chē)速度每小時(shí)多行5 千米，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 16 千米甲車(chē)原來(lái)每小時(shí)行多少千米？【解析】 設(shè)乙增加速度后，兩車(chē)在D 處相遇，所用時(shí)間為T(mén) 小時(shí)。甲增加速度后，兩車(chē)

8、在E 處相遇。由于這兩種情況，兩車(chē)的速度和相同，所以所用時(shí)間也相同。于是，甲、乙不增加速度時(shí)，經(jīng)T小時(shí)分別到達(dá)D、E。DE 1216 28（千米）。由于甲或乙增加速度每小時(shí)5 千米，兩車(chē)在D或 E 相遇，所以用每小時(shí)5 千米的速度， T 小時(shí) 走過(guò)28 千米，從而T 28÷5 28 小時(shí) ,甲52用 6 28 2 （小時(shí)），走過(guò)12 千米，所以甲原來(lái)每小時(shí)行12÷2 30（千米）555【鞏固】（難度等級(jí)） 甲、乙二人分別從A 、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，5 小時(shí)后相遇在C 點(diǎn)。如果甲速度不變，乙每小時(shí)多行4 千米，且甲、乙還從A 、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn) D 距

9、 C 點(diǎn) lO 千米；如果乙速度不變，甲每小時(shí)多行3 千米，且甲、乙還從A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn)E 距 C 點(diǎn) 5 千米。問(wèn)：甲原來(lái)的速度是每小時(shí)多少千米？【解析】 當(dāng)乙每小時(shí)多行4 千米時(shí)， 5 小時(shí)可以多行20 千米，所以當(dāng)兩人相遇后繼續(xù)向前走到5 小時(shí)，甲可以走到C 點(diǎn)，乙可以走到C 點(diǎn)前面20 千米。而相遇點(diǎn)D 距 C 點(diǎn) lO 千米，因此兩人各走了10 千米，所以甲乙二人此時(shí)速度相等，即原來(lái)甲比乙每小時(shí)多行4 千米。同理可得，甲每小時(shí)多行3 千米時(shí)，乙走5 千米的時(shí)間甲可以走10 千米，即甲的速度是乙的2 倍。(4+3) ÷(2-1)+4=11( 千米 /

10、 小時(shí) )，所以甲原來(lái)的速度是每小時(shí)11 千米?！纠?6】A 、 B 兩地間有一座橋(橋的長(zhǎng)度忽略不計(jì))，甲、乙二人分別從兩地同時(shí)出發(fā)，3 小時(shí)后在橋上相遇如果甲加快速度，每小時(shí)多走2 千米，而乙提前0.5 小時(shí)出發(fā)，則仍能恰在橋上相遇如果甲延遲 0.5 小時(shí)出發(fā)，乙每小時(shí)少走 2 千米，還會(huì)在橋上相遇則 A 、 B 兩地相距多少千米？【解析】 因?yàn)槊看蜗嘤龅牡攸c(diǎn)都在橋上，所以在這三種情況中，甲每次走的路程都是一樣的，同樣乙每次走的路程也是一樣的在第二種情況中，乙速度不變，所以乙到橋上的時(shí)間還是3 小時(shí)，他提前了0.5 小時(shí)，那么甲到橋上的時(shí)間是3 -0.5 =2.5 小時(shí)甲每小時(shí)多走2 千米

11、， 2.5 小時(shí)就多走 2×2.5= 5 千米，這5 千米就是甲原來(lái)3- 2.5 =0.5 小時(shí)走的，所以甲的速度是5 ÷0.5= 10 千米 / 時(shí)在第三種情況中，甲速度不變，所以甲到橋上的時(shí)間還是3 小時(shí)，他延遲了0.5 小時(shí)，那么乙到橋上的時(shí)間是3 0.5 =3.5 小時(shí)乙每小時(shí)少走2 千米， 3.5小時(shí)就少走2 ×3.5 =7 千米，這 7 千米就是甲原來(lái)3.5 3= 0.5小時(shí)走的，所以乙的速度就是7 ÷0.5 =14 千米 /時(shí)所以A 、 B 兩地的距離為（ 10 14） ×3 =72 千米【例 7】一列火車(chē)出發(fā)1小時(shí)后因故停車(chē)0.

12、5 小時(shí)，然后以原速的3/4 前進(jìn)， 最終到達(dá)目的地晚1.5 小時(shí)若出發(fā)1 小時(shí)后又前進(jìn) 90公里再因故停車(chē)0.5 小時(shí)， 然后同樣以原速的3/4 前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚1 小時(shí)，那么整個(gè)路程為多少公里？【解析】 出發(fā) 1 小時(shí)后因故停車(chē) 0.5 小時(shí)，然后以原速的3 前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚1.5小時(shí)，所以后4面以原速的 3 前進(jìn)的時(shí)間比原定時(shí)間多用1.5 0.51小時(shí)，而速度為原來(lái)的3 ，所用時(shí)間為原44來(lái)的 4 ，所以后面的一段路程原定時(shí)間為1 ( 41)3 小時(shí)，原定全程為4 小時(shí)；出發(fā)1 小時(shí)333 前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚 1后又前進(jìn) 90公里再因故停車(chē) 0.5小時(shí)，然后同樣以原速的小

13、時(shí)，4類(lèi)似分析可知又前進(jìn)90 公里后的那段路程原定時(shí)間為(10.5) ( 41)1.5小時(shí)所以原速度3901.54 240行駛 90 公里需要1.5 小時(shí)，而原定全程為4 小時(shí)，所以整個(gè)路程為公里【例 8】王叔叔開(kāi)車(chē)從北京到上海，從開(kāi)始出發(fā)， 車(chē)速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)；返回時(shí)，按原計(jì)劃的速度行駛280 千米后，將車(chē)速提高1/6，于是提前1 小時(shí)40 分到達(dá)北京北京、上海兩市間的路程是多少千米？3【解析】 從開(kāi)始出發(fā)，車(chē)速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，即車(chē)速為原計(jì)劃的10/9，則所用時(shí)間為原計(jì)劃的 1÷10/9=9/10 ，即比原計(jì)劃少用1/10 的時(shí)間

14、，所以一個(gè)半小時(shí)等于原計(jì)劃時(shí)間的1/10，原計(jì)劃時(shí)間為： 1.5 ÷1/10=15( 小時(shí) )；按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后，將車(chē)速提高 1/6，即此后車(chē)速為原來(lái)的 7/6，則此后所用時(shí)間為原計(jì)劃的 1÷7/6=6/7 ，即此后比原計(jì)劃少用 1/7 的時(shí)間，所以 1 小時(shí) 40 分等于按原計(jì)劃的速度行駛280 千米后余下時(shí)間的1/7，則按原計(jì)劃的速度行駛280 千米后余下的時(shí)間為：5/3 ÷1/7=35/3( 小時(shí) )，所以，原計(jì)劃的速度為：84(千米 /時(shí) )，北京、上海兩市間的路程為：84 ×15= 1260( 千米 )【例 9】上午8 點(diǎn)整，

15、甲從A 地出發(fā)勻速去B 地， 8 點(diǎn) 20 分甲與從B 地出發(fā)勻速去A 地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來(lái)的3 倍，乙速度不變；8 點(diǎn) 30 分，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地那么，乙從B 地出發(fā)時(shí)是8 點(diǎn)幾分【解析】甲、乙相遇時(shí)甲走了20 分鐘，之后甲的速度提高到原來(lái)的3 倍，又走了10 分鐘到達(dá)目的地，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，如果甲沒(méi)提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30 分鐘，所以前后兩段路程的比為20 : 30 =2 : 3 ，由于甲走20 分鐘的路程乙要走10 分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15 分鐘，也就是說(shuō)與甲相遇時(shí)乙已出發(fā)了15 分鐘，所以乙從

16、B 地出發(fā)時(shí)是 8點(diǎn)5分【例 10】 （難度等級(jí)）甲、乙兩人同時(shí)從山腳開(kāi)始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后1 小時(shí)，甲與乙在離山頂600 米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時(shí)？【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到達(dá)山頂時(shí)， 甲走過(guò)的路程應(yīng)該是一個(gè)單程的1×1.5+1/2=2倍，就是說(shuō)甲下山的速度是乙上山速度的2 倍。兩人相遇時(shí)走了1 小時(shí)，這時(shí)甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了1 小時(shí)，所以甲下山要用1/2 小時(shí)。甲一共走了1+1/2=1.5（小時(shí)）【例 11】小華以每小時(shí)

17、8/3 千米的速度登山，走到途中A 點(diǎn)后，他將速度改為每小時(shí)2 千米，在接下來(lái)的 1 小時(shí)中，他走到山頂，又立即下山，并走到A 點(diǎn)上方500 米的地方如果他下山的速度是每小時(shí)4 千米，下山比上山少用了52.5 分鐘那么，他往返共走了多少千米？【解析】 11 千米【例 12】 （難度等級(jí)）甲、乙兩車(chē)從A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，5 小時(shí)相遇；如果乙車(chē)提前1 小時(shí)出發(fā)， 則差13 千米到中點(diǎn)時(shí)與甲車(chē)相遇，如果甲車(chē)提前1 小時(shí)出發(fā)， 則過(guò)中點(diǎn)37千米后與乙車(chē)相遇，那么甲車(chē)與乙車(chē)的速度差等于多少千米/小時(shí)？【解析】 第一次行程甲、乙兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，所以?xún)绍?chē)走的時(shí)間相同；第二次乙車(chē)提前1 小時(shí)出發(fā)，

18、所以這次乙車(chē)比甲車(chē)多走了1 小時(shí)；第三次甲車(chē)提前1 小時(shí)出發(fā)， 所以這次甲車(chē)比乙車(chē)多走了1 小時(shí)那么如果把第二次和第三次這兩次行程相加，那么甲車(chē)和乙車(chē)所走的時(shí)間就相同了，而所走的路程為2 個(gè)全程由于兩人合走一個(gè)全程要5 小時(shí)，所以合走兩個(gè)全程要10 小時(shí)由于第二次在乙車(chē)在差13 千米到中點(diǎn)與甲車(chē)相遇，所以此次甲車(chē)走了全程的一半加上13 千米；第三次在過(guò)中點(diǎn)37 千米后與乙車(chē)相遇，所以此次甲車(chē)走了全程的一半加上37 千米；這兩次合起來(lái)甲車(chē)走了一個(gè)全程加上13 37 =50 千米，所以乙車(chē)走了一個(gè)全程少50 千米，甲車(chē)比乙車(chē)多走50×2 =100 千米而這是在10 小時(shí)內(nèi)完成的，所以甲車(chē)

19、與乙車(chē)的速度差為100 ÷10 =10 千米 /時(shí)4【例 13】 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行10000 米長(zhǎng)跑比賽，兩人從同一起跑線(xiàn)同時(shí)起跑，甲每分鐘跑400 米，乙每分鐘跑360 米，當(dāng)甲比乙領(lǐng)先整整一圈時(shí)，兩人同時(shí)加速，乙的速度比原來(lái)快1，甲每分鐘比原來(lái)多跑18米，并且都以這樣的速度保持到終點(diǎn)問(wèn)：甲、乙4兩人誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)？【解析】 從 起跑到甲比乙領(lǐng)先一圈，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為40040036010 (分鐘 )甲到達(dá)終點(diǎn)還需要跑100004001040074(分鐘)，乙還需要跑18 1420910000360103601274，所以乙先到達(dá)終點(diǎn)114 ( 分鐘 )，

20、由于 2499209【例 14】 環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為1800 米，甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)相背而行(甲速大于乙速)， 12分鐘后相遇如果每人每分鐘多走25 米，則相遇點(diǎn)與前次相差33 米，求原來(lái)二人的速度【解析】 甲、乙原來(lái)的速度和為：180012150 (米 /分)，如果每人每分鐘多走25 米，現(xiàn)在的速度之和為：150 25 2 200 (米 /分 )，現(xiàn)在相遇需要的時(shí)間為： 1800 200 9 (分鐘 )題目中說(shuō)相遇點(diǎn)與前次相差 33 米，但并不知道兩者的位置關(guān)系，所以需要先確定兩次相遇點(diǎn)的位置關(guān)系由于以原來(lái)的速度走一圈，甲比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程12 ；提速后走一圈，甲

21、比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程9 ；故提速后走一圈與以原來(lái)速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即為兩次相遇點(diǎn)的距離33 米所以現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲以原速度走12 分鐘走到某一處，現(xiàn)在甲以比原速度提高25 米 / 分的速度走 9 分鐘，走到距離前一處還有33 米的地方， 求甲的速度 所以，甲原來(lái)的速度為：(3325 9) (129)86 (米 /分 )，乙原來(lái)的速度為： 150 8664 (米 /分 )【例 15】 王剛騎自行車(chē)從家到學(xué)校去，平常只用20 分鐘。因途中有 2 千米正在修路，只好推車(chē)步行，步行速度只有騎

22、車(chē)速度的1 ，結(jié)果這天用了36 分鐘才到學(xué)校。從王剛家到學(xué)校有多少千米？3【解析】 途中有 2 千米在修路， 導(dǎo)致了王剛上學(xué)時(shí)間比平時(shí)多用36 2016 分鐘，由于在別的路段上還是騎車(chē)，所以多用的時(shí)間都是耗費(fèi)在修路的2 千米上由于步行速度是汽車(chē)速度的1 ，所以步行 23千米所用的時(shí)間是騎車(chē)2 千米所用時(shí)間的3 倍，多用了2 倍，這個(gè)多出來(lái)的時(shí)間就是16 分鐘，所以騎車(chē) 2 千米需要 16 2 8 分鐘由于 8分鐘可以騎 2千米，而王剛平時(shí)騎車(chē)20 分鐘可以到學(xué)校，所以王剛家與學(xué)校的距離為2 (208) 5 千米【例 16】 甲、乙兩車(chē)分別從A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行出發(fā)時(shí)，甲，乙的速度之

23、比是5:4 ，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加 20%這樣當(dāng)甲到達(dá) B 地時(shí)，乙離開(kāi) A 地還有 10千米那么 A 、 B 兩地相距多少千米？【解析】出發(fā)時(shí)，兩車(chē)的速度之比為5:4，所以相遇以后兩輛車(chē)的速度之比為5 1 20%:4 120%5: 6 ，而相遇前甲、乙兩車(chē)的行程路程之比為5: 4 ，所以相遇后兩輛車(chē)還需要行駛的路程之比為4 :5 ，所以甲還需要行駛?cè)柯烦痰? ，當(dāng)甲行駛這段路程的同時(shí)，95乙行駛了全程的45 6848119，距離 A地還有 115，所以 A 、 B 兩地相距 104501594545千米【例 17】 甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 兩地甲先從A

24、 地出發(fā)， 6 分鐘后乙也從 A 地出發(fā)，并在距A 地 600米的 C地追上甲乙到B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息 1分鐘后加快速度向 A 地返回，并在C 地追上乙問(wèn)：甲比乙提前多少分鐘回到A 地？【解析】 由于甲比乙早出發(fā)6 分鐘，乙在走了600 米時(shí)追上甲，可見(jiàn)乙走600 米比甲要少用 6 分鐘，那么對(duì)于剩下的 400 米，乙比甲要少用4004分鐘到達(dá) B 地那么6 4 (分鐘 )，也就是說(shuō)乙比甲早600乙從 B 地出發(fā)比甲早 4 15 (分鐘 )，走到 C 地被甲追上，相當(dāng)于甲走400米比乙少用5 分鐘，那么對(duì)于剩下的600 米，甲比乙要少用6007.5 分鐘回到 A 地

25、5 7.5 (分鐘 )所以甲比乙提前400【例 18】 一輛大貨車(chē)與一輛小轎車(chē)同時(shí)從甲地開(kāi)往乙地，小轎車(chē)到達(dá)乙地后立即返回，返回時(shí)速度提高50% 。出發(fā) 2 小時(shí)后， 小轎車(chē)與大貨車(chē)第一次相遇， 當(dāng)大貨車(chē)到達(dá)乙地時(shí)， 小轎車(chē)剛好走到甲、乙兩地的中點(diǎn)。小轎車(chē)在甲、乙兩地往返一次需要多少時(shí)間？【解析】 此題的關(guān)鍵是分析清楚題目中所提到的小轎車(chē)返回時(shí)速度提高50% 所帶來(lái)的變化， 所以可以先假設(shè)小轎車(chē)返回時(shí)速度不發(fā)生變化會(huì)是什么樣，然后再進(jìn)行對(duì)比分析如果小轎車(chē)返回時(shí)速度不提高，那么大貨車(chē)到達(dá)乙地時(shí)，小轎車(chē)又走了甲、乙兩地距離的1(1 50%)1 ，所以，從甲地到23乙地小轎車(chē)與大貨車(chē)的速度比為：(1

26、1) :14 : 3 ，小轎車(chē)到達(dá)乙地時(shí)，大貨車(chē)走了全程的3，34還差 1小轎車(chē)從乙地返回甲地時(shí)，與大貨車(chē)的速度比為4 (150%) :32:1 ，小轎車(chē)從乙地返4回到與大貨車(chē)相遇時(shí)，大貨車(chē)又走了全程的1111 ，即相遇時(shí)大貨車(chē)共走了全程的421231525121239小412，那么大貨車(chē)從甲地到乙地需要6小時(shí)，小轎車(chē)從甲地到乙地需要45655時(shí)，小轎車(chē)往返一次需要9950%)3 小時(shí)5(15【例 19】 甲、乙兩地間平路占1 ，由甲地去往乙地，上山路千米數(shù)是下山路千米數(shù)的2 ，一輛汽車(chē)從甲53地到乙地共行了10小時(shí)， 已知這輛車(chē)行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快20% ，照

27、這樣計(jì)算，汽車(chē)從乙地回到甲地要行多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】 根據(jù)題意，可以把甲、乙兩地之間的距離看作25，這樣兩地間的平路為5，從甲地去往乙地，上山路為 2028，下山路為 20312 ；再假設(shè)這輛車(chē)在平路上的速度為5，則上山時(shí)的3322速度為 4，下山時(shí)的速度為 6，于是，由甲地去乙地所用的總時(shí)間為：845512 6 5；從乙地回到甲地時(shí)，汽車(chē)上山、下山的速度不變，但是原來(lái)的上山路變成了此時(shí)的下山路，原來(lái)的下山路變成了此時(shí)的上山路，所以回來(lái)時(shí)所用的總時(shí)間為：124558651 由于從甲36地到乙地共行了10 小時(shí)，所以從乙地回來(lái)時(shí)需要12105510 小時(shí)33【例 20】 甲、乙二人在同一條圓形跑道

28、上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲的速度的2 甲跑3第二圈的速度比第一圈提高了1 ，乙跑第二圈的速度提高了1 ，已知沿跑道看從甲、乙兩人第35二次相遇點(diǎn)到第一次相遇點(diǎn)的最短路程是190 米，問(wèn)這條跑道長(zhǎng)多少米？【解析】 從起跑由于跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲的速度的2 ，所以第一次相遇的地方在距起點(diǎn)2( 或者3)355處由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈時(shí)，乙跑了2 圈，此時(shí)乙距出發(fā)3點(diǎn)還有1 圈，根據(jù)題意， 此時(shí)甲要回頭加速跑， 即此時(shí)甲與乙方向相同，速度為乙的 1122333倍所以乙跑完剩

29、下的1 圈時(shí)甲又跑了2 圈，此時(shí)甲距出發(fā)點(diǎn)還有1 圈，而乙又要回頭跑，所以333此時(shí)兩人相向而行，速度比為11215 :3 ，所以?xún)扇说诙蜗嘤鳇c(diǎn)距離出發(fā)點(diǎn)3:1531331 ，兩次相遇點(diǎn)間隔2121 ，注意到 1211921 ，所以最短距離為19 圈，所358584040404040以跑道長(zhǎng)19019米40040【例 21】 甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時(shí)從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去相遇后甲比原來(lái)速度增加4 米秒，乙比原來(lái)速度減少4 米秒，結(jié)果都用25 秒同時(shí)回到原地求甲原來(lái)的速度【解析】 因?yàn)橄嘤銮昂蠹住⒁业乃俣群蜎](méi)有改變，如果相遇后兩人合跑一圈用25 秒，則相遇前兩人合

30、跑一圈也用25 秒( 法甲 跑了25 秒的路程與以 V甲4的速度跑了25 秒的路程之和等于400 米，1)甲以原速 V甲甲4400，解得V6米 /秒甲25V25 V( 法 2) 由跑同樣一段路程所用的時(shí)間一樣，得到V甲4 V乙 ，即二者速度差為 4；而二者速度和為V甲V乙40016 ，這是個(gè)典型的和差問(wèn)題可得V甲 為： 1642 6 米/秒25【鞏固】從 A 村到 B 村必須經(jīng)過(guò) C 村，其中 A 村至 C 村為上坡路， C 村至 B 村為下坡路，A村至 B村的總路程為20 千米某人騎自行車(chē)從A 村到 B 村用了 2 小時(shí)，再?gòu)?B 村返回 A 村又用了1小時(shí) 45分已知自行車(chē)上、 下坡時(shí)的速

31、度分別保持不變，而且下坡時(shí)的速度是上坡時(shí)速度的2倍求 A、C 之間的路程及自行車(chē)上坡時(shí)的速度【解析】 設(shè) A 、C 之間的路程為x 千米，自行車(chē)上坡速度為每小時(shí)y 千米，則 C 、 B 之間的路程為(20x)7x20xy2 y2千米，自行車(chē)下坡速度為每小時(shí)，兩式相加，得：2y 千米依題意得：20xx1 3y2 y42020213 ，解得 y 8；代入得 x12 故 A 、 C 之間的路程為 12千米，自行車(chē)上坡時(shí)的y2 y4速度為每小時(shí)8 千米【例 22】 （ 2008 年 “奧數(shù)網(wǎng)杯 ”六年級(jí)）歡歡和貝貝是同班同學(xué)，并且住在同一棟樓里早晨7: 40 ，歡歡從家出發(fā)騎車(chē)去學(xué)校，7: 46 追上

32、了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學(xué)校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度提高到原來(lái)的2 倍，回家換好校服，再趕往學(xué)校；歡歡8:00 趕到學(xué)校時(shí)，貝貝也恰好到學(xué)校如果歡歡在家換校服用去6 分鐘且調(diào)頭時(shí)間不計(jì)，那么貝貝從家里出發(fā)時(shí)是點(diǎn)分【解析】 歡歡從出發(fā)到追上貝貝用了6 分鐘，那么她調(diào)頭后速度提高到原來(lái)的2 倍，回到家所用的時(shí)間為3 分鐘，換衣服用時(shí)6 分鐘，所以她再?gòu)募依锍霭l(fā)到到達(dá)學(xué)校用了206365 分鐘，故她以原速度到達(dá)學(xué)校需要10 分鐘，最開(kāi)始她追上貝貝用了6 分鐘，還剩下4 分鐘的路程，而這4 分鐘的路程貝貝走了14 分鐘，所以歡歡的6 分鐘路程貝貝要走146421分鐘，也就是

33、說(shuō)歡歡追上貝貝時(shí)貝貝已走了21 分鐘，所以貝貝是7 點(diǎn) 25 分出發(fā)的【例 23】 甲、乙兩人都要從A 地到 B 地去，甲騎自行車(chē)，乙步行，速度為每分鐘60 米 乙比甲早出發(fā)20 分鐘，甲在距A 地 1920 米的 C 處追上乙，兩人繼續(xù)向前，甲發(fā)現(xiàn)自己忘帶東西，于是將速度提高到原來(lái)的1.5 倍，馬上返回A 地去取，并在距離C 處 720 米的 D 處遇上乙 甲到達(dá) A 地后在 A地停留了5 分鐘，再以停留前的速度騎往B 地，結(jié)果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B 地 A 、 B兩地之間的距離是米【解析】 乙 從 A 地到 C 處所用時(shí)間為19206032 分鐘，甲用的時(shí)間為322012 分鐘，甲的速度為1

34、92012160 米 /分鐘，速度提高后為1601.5240 米 /分鐘甲從D 處回到 A 地并停留 5 分鐘，共用時(shí)間1920720240516分鐘，此時(shí)乙又走了 60 16960米，兩人的距離為1920 720 960 3600 米，此時(shí)相當(dāng)于追及問(wèn)題， 追及時(shí)間為 3600 240 6020 分鐘，所以 A 、B 兩地之間的距離為 240 20 4800 米【例 24】 小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路小芳上學(xué)走這兩條路所用的時(shí)間一樣多 已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 設(shè)小芳上學(xué)路上所用時(shí)間為2 ，

35、那么走一半平路所需時(shí)間是1 由于下坡路與一半平路的長(zhǎng)度相同，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，走下坡路所需時(shí)間是1 1.65 ，因此，走上坡路需8要的時(shí)間是 2513 ，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時(shí)間的反比，為1:1 38:11 ，888所以，上坡速度是平路速度的8 倍118【例 25】 （ 2003 年 “祖沖之杯 ”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）某校在400 米環(huán)形跑道上進(jìn)行1 萬(wàn)米比賽，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)起跑后，乙的速度始終保持不變，開(kāi)始時(shí)甲比乙慢，在第15 分鐘時(shí)甲加快速度，并保持這個(gè)速度不變，在第18 分鐘時(shí)甲追上乙并且開(kāi)始超過(guò)乙。在第23 分鐘時(shí)甲再次追上乙，而在 23 分 50

36、秒時(shí)甲到達(dá)終點(diǎn)。那么，乙跑完全程所用的時(shí)間是多少分鐘？【解析】 本題中乙的速度始終保持不變，甲則有提速的情況，但是甲提速后速度就保持不變，所以可以從甲提速后的情況著手進(jìn)行考慮根據(jù)題意可知，甲加速后，每過(guò)23 18 5 （分鐘）比乙多跑一圈，即每分鐘比乙多跑4005 80 （米）由于第 18 分鐘時(shí)甲、乙處于同一位置，則在23分50秒時(shí)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙距終點(diǎn)的距離就是此時(shí)甲、乙之間的距離，即乙距離終點(diǎn)還有80 23 50181400 （米），即乙在 23 分 50秒內(nèi)跑了100001400米，由于乙的速度始終保6033持不變，所以乙每分鐘跑140050400 （米）所以，乙跑完全程需要10000

37、40025 （分鐘）1000032360【例 26】 （ 2003 年迎春杯）甲、乙兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑道勻速跑步如果出發(fā)時(shí)乙的速度是甲的 2.5 倍，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，甲的速度立即提高25% ，而乙的速度立即減少20% ，并且乙第一次追上甲的地點(diǎn)與第二次追上甲的地點(diǎn)相距100 米，那么這條環(huán)形跑道的周長(zhǎng)是米ACB【解析】 如圖，設(shè)跑道周長(zhǎng)為1，出發(fā)時(shí)甲速為2，則乙速為 5假設(shè)甲、乙從A 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺苡?于出發(fā)時(shí)兩者的速度比為 2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此時(shí)甲跑了1 (52)22 ，乙跑了 5 ；此時(shí)雙方速度發(fā)生變化，甲的速度變?yōu)?(125%) 2.5 ，乙

38、的速33度變?yōu)?5(120%)4 ，此時(shí)兩者的速度比為2.5: 4 5:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，則此次甲跑了 1(85)55 ，這個(gè) 5 就是甲從第一次相遇點(diǎn)跑到第二次相遇點(diǎn)的路程從33環(huán)形跑道上來(lái)看，第一次相遇點(diǎn)跑到第二次相遇點(diǎn)之間的距離，既可能是512 個(gè)周長(zhǎng)，又可33能是 251 個(gè)周長(zhǎng)33那么，這條環(huán)形跑道的周長(zhǎng)可能為1002150 米或 10013300 米3【例 27】 如圖所示， 甲、乙兩人從長(zhǎng)為400 米的圓形跑道的A 點(diǎn)背向出發(fā)跑步。 跑道右半部分 (粗線(xiàn)部分）道路比較泥濘，所以?xún)扇说乃俣榷紝p慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8 米，而在泥濘道路上兩人的速

39、度均為每秒4 米。兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第99 次迎面相遇的地方距A 點(diǎn)還有米。9A【解析】本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時(shí)間分別相同，那么兩人所用的總時(shí)間也就相同，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到A 點(diǎn)，即兩人在 A 點(diǎn)迎面相遇，然后再?gòu)?A點(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相遇，再回到出發(fā)點(diǎn)

40、是第四次相遇可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是A 點(diǎn)本題要求的是第99 次迎面相遇的地點(diǎn)與A 點(diǎn)的距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與A 點(diǎn)的距離對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了2008 4 100 米，此時(shí)兩人相距 100 米，且之間全是泥濘道路，此時(shí)兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇時(shí)乙跑了10050 150 米，這就是第一次相遇點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離，也是第99 次迎面相遇的地點(diǎn)與A 點(diǎn)的距離【例 28】 （ 2009 年第七屆 “走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí)）丁丁和樂(lè)樂(lè)各拿了一輛

41、玩具甲蟲(chóng)在400 米跑道上進(jìn)行比賽，丁丁的玩具甲蟲(chóng)每分鐘跑30米，樂(lè)樂(lè)的玩具甲蟲(chóng)每分鐘跑20 米，但樂(lè)樂(lè)帶了一個(gè)神秘遙控器，按第一次會(huì)使丁丁的玩具甲蟲(chóng)以原來(lái)速度的10%倒退 1 分鐘，按第二次會(huì)使丁丁的玩具甲蟲(chóng)以原來(lái)速度的20% 倒退 1 分鐘，以此類(lèi)推，按第 N 次，使丁丁的玩具甲蟲(chóng)以原來(lái)的速度的N10% 倒退1 分鐘，然后再按原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)，如果樂(lè)樂(lè)在比賽中最后獲勝，他最少按次遙控器。【解析】 樂(lè)樂(lè)的玩具甲蟲(chóng)跑完全程需要4002020 分鐘，丁丁的玩具甲蟲(chóng)跑完全程需要4003040 分3鐘，樂(lè)樂(lè)要想取勝，就必須使丁丁的玩具甲蟲(chóng)因倒退所耽誤的總時(shí)間超過(guò)2040203分鐘樂(lè)3樂(lè)第一次按遙控

42、器后，丁丁耽誤的時(shí)間為倒退的1 分鐘及跑完這1 分鐘倒退路程所花費(fèi)的時(shí)間，為 110%11.1 分鐘；樂(lè)樂(lè)第二次按遙控器后，丁丁耽誤的時(shí)間為 120% 11.2 分鐘；樂(lè)樂(lè) 第 n 次 按 遙 控 器 后 ， 丁 丁 耽 誤 的 時(shí) 間 為 1n10%1 10.1n分鐘所以相當(dāng)于要使1.11.21.3L大于206 2，由于1.11.21.3 1.4 1.56.5 62， 而3331.11.21.31.41.51.68.126 次遙控器6 ，所以樂(lè)樂(lè)要想取勝，至少要按3【例 29】 唐老鴨和米老鼠進(jìn)行5000 米賽跑 米老鼠的速度是每分鐘125 米，唐老鴨的速度是每分鐘100米 唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用都能使米老鼠進(jìn)入“麻痹 ”狀態(tài)1分鐘， 1 分鐘后米老鼠就會(huì)恢復(fù)正常，遙控器需要1 分鐘恢復(fù)能量才能再使用米老鼠對(duì) “麻痹 ”狀態(tài)也在逐漸適應(yīng)，第1 次進(jìn)入 “麻痹 ”狀態(tài)時(shí)，米老鼠會(huì)完全停止，米老鼠第2 次進(jìn)入 “麻痹 ”狀態(tài)時(shí)，就會(huì)有原速度5% 的速度，而第3 次就有原速度10% 的速度，第 20 次進(jìn)入 “麻痹 ”狀態(tài)時(shí)已有原速度95% 的速度了，這以后米老鼠就再也不會(huì)被唐老鴨的遙控器所控制了唐老鴨與米老鼠同時(shí)出發(fā)，如果唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米老鼠跑了多少米的時(shí)候第一次使用遙控器 ?10【解析】 5000 125 4