浮點(diǎn)數(shù)表示及運(yùn)算

1、計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理12021年12月12日浮點(diǎn)數(shù)表示及運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)表示及運(yùn)算計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理2一、浮點(diǎn)數(shù)的表示一、浮點(diǎn)數(shù)的表示N=Rem = 2EM = 2e (m)M1M2Mn尾數(shù)值 階值階符尾符91028 = 0.9 10-2721033 = 0.2 1034 任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù) 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成=10E （十進(jìn)制表示）計(jì)算機(jī)中一個(gè)任意進(jìn)制數(shù)計(jì)算機(jī)中一個(gè)任意進(jìn)制數(shù) 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成 m m ：尾數(shù)尾數(shù)，是一個(gè)純小數(shù)。，是一個(gè)純小數(shù)。 e e ：浮點(diǎn)的：浮點(diǎn)的指數(shù)指數(shù), , 是一個(gè)整數(shù)。是一個(gè)整數(shù)。 R R ：基數(shù)基數(shù)，對(duì)于二進(jìn)計(jì)數(shù)值的機(jī)器是一個(gè)常數(shù)，一般規(guī)

2、定，對(duì)于二進(jìn)計(jì)數(shù)值的機(jī)器是一個(gè)常數(shù)，一般規(guī)定 為為2 2，8 8或或16 16 計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理3浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍負(fù)上溢-+負(fù)數(shù)正數(shù)0正上溢負(fù)下溢正下溢nN=2EMn|N| 產(chǎn)生正上溢或者負(fù)上溢產(chǎn)生正上溢或者負(fù)上溢n|N|0 產(chǎn)生正下溢或者負(fù)下溢產(chǎn)生正下溢或者負(fù)下溢尾數(shù)尾數(shù)：用：用定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示精度表示精度階碼階碼：用：用定點(diǎn)整數(shù)定點(diǎn)整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點(diǎn)數(shù)形式表示，指明小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點(diǎn)數(shù)的的表示范圍表示范圍。一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)由一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)

3、數(shù)由階碼階碼和和尾數(shù)尾數(shù)及其及其符號(hào)符號(hào)位組成：位組成：最最大大正正數(shù)數(shù)最最小小正正數(shù)數(shù)最最小小負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)最最大大負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理4n8位定點(diǎn)小數(shù)可表示的范圍n0.0000001 - 0.1111111 n 1/128 - 127/128n設(shè)階碼2位，尾數(shù)4位n可表示2-11*0.0001 - 211*0.1111n 0.0000001 - 111.1n設(shè)階碼3位，尾數(shù)3位n可表示2-111*0.001 - 2111*0.111n 0.0000000001 - 1110000n機(jī)器字長(zhǎng)一定時(shí)，階碼越長(zhǎng)，表示范圍越大，精度越低n浮點(diǎn)數(shù)表示范圍比定點(diǎn)數(shù)大，精度高計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算

4、機(jī)組成原理5一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)有不同的表示：一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)有不同的表示： 0.50.5； 0.050.05 10101 1 ； 0.005 0.005 10102 2 ； 50 50 1010-2-2為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理。為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理。 浮點(diǎn)數(shù)是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的子集合，由一個(gè)純小數(shù)乘上一個(gè)指數(shù)浮點(diǎn)數(shù)是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的子集合，由一個(gè)純小數(shù)乘上一個(gè)指數(shù)值來(lái)組成。值來(lái)組成。二、浮點(diǎn)數(shù)二、浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化規(guī)格化 把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)的操作過(guò)程，叫作浮點(diǎn)數(shù)的的操作過(guò)程，叫作浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化處理規(guī)格化處理，通過(guò)，

5、通過(guò)尾數(shù)移位和修改尾數(shù)移位和修改階碼實(shí)現(xiàn)階碼實(shí)現(xiàn)。 在計(jì)算機(jī)內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，對(duì)非在計(jì)算機(jī)內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，對(duì)非 0 0 值的浮點(diǎn)數(shù)，要求尾數(shù)的絕對(duì)值值的浮點(diǎn)數(shù)，要求尾數(shù)的絕對(duì)值必須必須 = 1/2= 1/2，即尾數(shù)域的最高，即尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為有效位應(yīng)為1,1,稱滿足這種表示要求的浮點(diǎn)數(shù)為稱滿足這種表示要求的浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化表示規(guī)格化表示： 0.10001010100.1000101010計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理6規(guī)格化目的：為了提高數(shù)據(jù)的表示精度為了數(shù)據(jù)表示的唯一性尾數(shù)為R進(jìn)制的規(guī)格化： 絕對(duì)值大于或等于1/R二進(jìn)制原碼的規(guī)格化數(shù)的表現(xiàn)形式： 正數(shù)

6、正數(shù) 0.1xxxxxx負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) 1.0 xxxxxx正數(shù)正數(shù) 0.1xxxxxx負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) 1.1xxxxxx 補(bǔ)碼補(bǔ)碼尾數(shù)的規(guī)格化的尾數(shù)的規(guī)格化的表現(xiàn)形式表現(xiàn)形式：尾數(shù)的最高位與符號(hào)位相反。：尾數(shù)的最高位與符號(hào)位相反。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理7解解：12310=11110112= 0.1111011000227 7移=10000+00111 = 10111 0.1111011000補(bǔ)=0.1111011000 123浮= 1011 1 0 0 11 1101 1000 = BBD8H例例：對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)1231231010作規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的編碼，假定作規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的編碼，假定1 1位符號(hào)位，

7、基位符號(hào)位，基數(shù)為數(shù)為2 2，階碼，階碼5 5位，采用移碼，尾數(shù)位，采用移碼，尾數(shù)1010位，采用補(bǔ)碼。位，采用補(bǔ)碼。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理8S尾數(shù)符號(hào)，0正1負(fù)；M尾數(shù), 純小數(shù)表示, 小數(shù)點(diǎn)放在尾數(shù)域的最前面。采用原碼表示。 E階碼，采用“移碼”表示（移碼可表示階符）; 階符采用隱含方式，即采用移碼方法來(lái)表示正負(fù)指數(shù)。 S E M31 30 23 22 032位位 S E M63 62 52 51 064位位 為便于軟件移植，使用 IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會(huì)）標(biāo)準(zhǔn)IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼；階碼用“移碼”；基為2。 三三 、浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式、浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式IEEE754計(jì)

8、算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理9 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的真值規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的真值 x = (-1-1)s (1.) 2127 e = 127一個(gè)規(guī)格化的一個(gè)規(guī)格化的32位浮點(diǎn)數(shù)位浮點(diǎn)數(shù)的真值為：的真值為： S E M31 30 23 22 03232位浮點(diǎn)數(shù)格式：位浮點(diǎn)數(shù)格式： x = ( 1)s(1.)21023一個(gè)規(guī)格化的一個(gè)規(guī)格化的64位浮點(diǎn)數(shù)位浮點(diǎn)數(shù)的真值為：的真值為： 這里這里e是真值是真值，是是機(jī)器數(shù)機(jī)器數(shù)1.隱藏位技術(shù)隱藏位技術(shù)2.階碼用階碼用“移碼移碼”偏移值偏移值127而不是而不是128Emin=1, Emax=254/2046原碼非0值浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為 1，則在保存浮點(diǎn)數(shù)到內(nèi)

9、存前，通過(guò)尾數(shù)左移, 強(qiáng)行把該位去掉, 用同樣多的位數(shù)能多存一位二進(jìn)制數(shù)，有利于提高數(shù)據(jù)表示精度，稱這種處理方案使用了隱藏位技術(shù)。 當(dāng)然，在取回這樣的浮點(diǎn)數(shù)到運(yùn)算器執(zhí)行運(yùn)算時(shí)，必須先恢復(fù)該隱藏位。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理10例：例：若浮點(diǎn)數(shù) x 的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為(41360000)16，求其32位浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制值。解解： 0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000 數(shù)符：0 階碼：1000,0010 尾數(shù)：011,0110,0000,0000,0000,0000 指數(shù)e階碼1271000001001111111 00000011=(3)10 包括隱藏位

10、1的尾數(shù)： 1.M1.011 0110 0000 0000 0000 00001.011011于是有于是有 x(1)s1.M2e (1.011011)231011.011(11.375)10計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理11例例: 將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來(lái)存儲(chǔ)。解解：首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)： 20.5937510100.10011然后移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在第1，2位之間 10100.100111.01001001124 e4于是得到： e = 127 S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式

11、為 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 (41A4C000)16 計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理12解解：-0.75 = -3/4 = -0.11-0.75 = -3/4 = -0.112 2 = -1.1= -1.12 2-1-1 =(-1) =(-1)1 1(1 + 0.1000 0000 0000 0000 0000(1 + 0.1000 0000 0000 0000 0000 000) 000)2 2-1-1 =(-1) =(-1)1 1(1 + (1 + 0.1000 0000 0000 0000 00000.1000 0000 0000 0

12、000 0000 000 000) )2 2126-127126-127 s s= =1 1，E=126E=12610 10 = 01111110= 011111102 2，F(xiàn)=F=1000 1000 000 000。1 1 011,1111,0 011,1111,0 100,0000,0000,0000,0000,0000100,0000,0000,0000,0000,0000 B F 4 0 0 0 0 0 HB F 4 0 0 0 0 0 H例例：將十進(jìn)制數(shù)：將十進(jìn)制數(shù)-0.75-0.75表示成單精度的表示成單精度的IEEE 754IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)代碼。標(biāo)準(zhǔn)代碼。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)

13、組成原理13單精度浮點(diǎn)數(shù)編碼格式單精度浮點(diǎn)數(shù)編碼格式+0/-0000/1(-1)S (0.f) 2(-126)f (非零)00/1(-1)S (1.f) 2(e-127)f12540/1- 02551+02550sNaN Signaling NaN非零0 xxxx2550/1NaN Not a Number非零1xxxx2550/1表示尾數(shù)階碼符號(hào)位計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理14Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023 =21023(2-2-52) Emin=1, M=0, 1.021-1023 =2-1022 Emax=254, f=1.1111, 1.111

14、12254-127 = 2127(2-2-23) Emin=1, M=0, 1.021-127 = 2-126 最大值最小值格式 可表示正數(shù)范圍可表示正數(shù)范圍 可表示負(fù)數(shù)范圍可表示負(fù)數(shù)范圍 負(fù)上溢出負(fù)上溢出 負(fù)下溢出負(fù)下溢出 正下溢出正下溢出 正上溢出正上溢出 零零 0 0.5 2-128 -0.5 2-128 (1-2-23) 2127 -(1-2-23) 2127 數(shù)軸數(shù)軸 計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理15設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)和和, 它們分別為它們分別為: 浮點(diǎn)加減法運(yùn)算浮點(diǎn)加減法運(yùn)算 其中其中 Ex 和和 Ey 分別為數(shù)和的階碼，分別為數(shù)和的階碼， Mx 和和 My為數(shù)和的尾數(shù)。

15、為數(shù)和的尾數(shù)。 兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加法和減法的運(yùn)算規(guī)則是兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加法和減法的運(yùn)算規(guī)則是: (Mx2ExEyMy)2Ey Ex 0, ExEy 若E 0, ExEy通過(guò)尾數(shù)的移動(dòng)來(lái)改變Ex或Ey，使其相等。 對(duì)階原則 階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對(duì)齊； 對(duì)階過(guò)程小階的尾數(shù)右移，每右移一位,其階碼加1(右規(guī))。(2) 對(duì)階對(duì)階(1) 0 操作數(shù)檢查操作數(shù)檢查 210*(0.11000)+28*(0.00110)大階對(duì)小階大階對(duì)小階 210*(0.11000)-28*(11.000) 11.000+0.00110 ? 小階對(duì)大階小階對(duì)大階 28*(0.00110)-210*(0.00001) 0.00001

16、+0.11000=0.11001計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理18例例: x=2010.1101, y=211(-0.1010), 求x+y=?解解：為便于直觀了解，兩數(shù)均以補(bǔ)碼表示，階碼、尾數(shù)均采用 雙符號(hào)位。 x補(bǔ)=00 01, 00.1101 y補(bǔ)=00 11, 11.0110 E補(bǔ)= Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)= 00 01+11 01 = 11 10 E = -2, 表示Ex比Ey小2, 因此將x的尾數(shù)右移兩位. 右移一位, 得 x補(bǔ)=00 10, 00.0110 再右移一位, 得 x補(bǔ)=00 11, 00.0011 至此, E=0, 對(duì)階完畢.計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理19 尾數(shù)求和方法與定點(diǎn)加

17、減法運(yùn)算完全一樣。 對(duì)階完畢可得: x補(bǔ)=00 11, 00.0011 y補(bǔ)=00 11, 11.0110 對(duì)尾數(shù)求和: 00.0011 + 11.0110 11.1001 即得: x+y補(bǔ)=00 11, 11.1001(3) 尾數(shù)求和運(yùn)算尾數(shù)求和運(yùn)算計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理20(4) 結(jié)果規(guī)格化結(jié)果規(guī)格化 求和之后得到的數(shù)可能不是規(guī)格化了的數(shù), 為了增加有效數(shù)字的位數(shù), 提高運(yùn)算精度,必須將求和的結(jié)果規(guī)格化。 規(guī)格化的定義: ( (二進(jìn)制二進(jìn)制) )121 S對(duì)正數(shù): S=00.1對(duì)負(fù)數(shù): S=11.0采用雙符號(hào)位的補(bǔ)碼：采用原碼： 正數(shù): S=0.1 負(fù)數(shù)： S=1.1 計(jì)算機(jī)組成原理

18、計(jì)算機(jī)組成原理21規(guī)格化規(guī)則規(guī)格化規(guī)則n運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生溢出時(shí)，必須進(jìn)行運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生溢出時(shí)，必須進(jìn)行右歸右歸n如變形補(bǔ)碼結(jié)果出現(xiàn)如變形補(bǔ)碼結(jié)果出現(xiàn) 10.XX 或者或者 01.XXXn如運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)如運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn) 0.0XXX或或 1.1XX 必須必須左歸左歸n左歸時(shí)最低數(shù)據(jù)有效位補(bǔ)左歸時(shí)最低數(shù)據(jù)有效位補(bǔ)0n右歸時(shí)連同符號(hào)位進(jìn)位位一起右移右歸時(shí)連同符號(hào)位進(jìn)位位一起右移n左歸時(shí)，階碼作減法左歸時(shí)，階碼作減法，右歸時(shí)，階碼作加法右歸時(shí)，階碼作加法n00.0XXXX - 00.1XXX0 左規(guī)n11.1XXXX - 11.0XXX0 左規(guī)n01.XXXXX - 00.1XXXX 右規(guī)n10.XXXXX

19、- 11.0XXXX 右規(guī) 規(guī)格化方法規(guī)格化方法計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理22例例：兩浮點(diǎn)數(shù) x=0.1101 210 , y=(0.1011) 201, 求x+y。解解： x補(bǔ)=00 10，00.1101 y補(bǔ)=00 01，00.1011 對(duì)階： E補(bǔ)= Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)=00 10+ 11 11= 00 01 y向x對(duì)齊，將y的尾數(shù)右移一位，階碼加1。 y補(bǔ)=00 10，00.0101 x+y補(bǔ)=00 10，01.0010 右歸：運(yùn)算結(jié)果兩符號(hào)位不同，其絕對(duì)值大于1，右歸。 x+y補(bǔ)= 00 11，00.1001求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組

20、成原理23 在對(duì)階或向右規(guī)格化時(shí), 尾數(shù)要向右移位, 這樣, 被右移的尾數(shù)的低位部分會(huì)被丟掉, 從而造成一定誤差,因此要進(jìn)行舍入處理。 簡(jiǎn)單的舍入方法有兩種： “0舍1入”法 即如果右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，反之則將尾數(shù)的末位加“1”。 “恒置1”法 即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。從概率上來(lái)說(shuō),丟掉的0和1各為1/2。(5) 舍入處理舍入處理計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理24在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中,舍入處理提供了四種可選方法：就近舍入就近舍入 其實(shí)質(zhì)就是通常所說(shuō)的四舍五入。例如,尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,多余位的值超過(guò)規(guī)定的最低有效位值的一半,故最低有

21、效位應(yīng)增1。若多余的5位是01111,則簡(jiǎn)單的截尾即可。對(duì)多余的5位10000這種特殊情況：若最低有效位現(xiàn)為0,則截尾；若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進(jìn)一位使其變?yōu)?0。朝朝0舍入舍入 即朝數(shù)軸原點(diǎn)方向舍入,就是簡(jiǎn)單的截尾。無(wú)論尾數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),截尾都使取值的絕對(duì)值比原值的絕對(duì)值小。這種方法容易導(dǎo)致誤差積累。朝朝舍入舍入 對(duì)正數(shù)來(lái)說(shuō),只要多余位不全為0則向最低有效位進(jìn)1;對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)則是簡(jiǎn)單的截尾。朝朝舍入舍入 處理方法正好與 朝舍入情況相反。對(duì)正數(shù)來(lái)說(shuō),只要多余位不全為0則簡(jiǎn)單截尾;對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),向最低有效位進(jìn)1。 計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理25(6)溢出處理 與定點(diǎn)加減法一樣，浮點(diǎn)加減運(yùn)算最后

22、一步也需判溢出。在浮點(diǎn)規(guī)格化中已指出，當(dāng)尾數(shù)之和(差)出現(xiàn)01或10時(shí)，并不表示溢出，只有將此數(shù)右規(guī)后，再根據(jù)階碼來(lái)判斷浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果是否溢出。 若機(jī)器數(shù)為補(bǔ)碼，尾數(shù)為規(guī)格化形式，并假設(shè)階符取2位，階碼取7位、數(shù)符取2位，尾數(shù)取n位，則它們能表示的補(bǔ)碼在數(shù)軸上的表示范圍如圖所示。正負(fù)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理26 圖中A，B，a，b分別對(duì)應(yīng)最小負(fù)數(shù)、最大正數(shù)、最大負(fù)數(shù)和最小正數(shù)。它們所對(duì)應(yīng)的真值分別是： A最小負(fù)數(shù) 2+127 (-1) B最大正數(shù) 2+127 (1-2-n) a最大負(fù)數(shù) 2-128 (-2-1-2-n) b最小正數(shù) 2-128 2-1正正負(fù)負(fù)最小負(fù)數(shù)最大正數(shù)最大負(fù)數(shù)最小正數(shù)計(jì)

23、算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理27 圖中a,b之間的陰影部分陰影部分，對(duì)應(yīng)階碼小于128的情況，叫做浮點(diǎn)數(shù)的下溢。下溢時(shí)浮點(diǎn)數(shù)值趨于零，故機(jī)器不做溢出處理，僅把它作為機(jī)器零。 圖中的A、B兩側(cè)陰影部分，對(duì)應(yīng)階碼大于127的情況，叫做浮點(diǎn)數(shù)的上溢。此刻，浮點(diǎn)數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運(yùn)算，作溢出中斷處理。一般說(shuō)浮點(diǎn)溢出，均是指上溢。一般說(shuō)浮點(diǎn)溢出，均是指上溢。 可見(jiàn)，浮點(diǎn)機(jī)的溢出與否可由階碼的符號(hào)決定： 階碼j補(bǔ)=01, 為上溢，機(jī)器停止運(yùn)算，做中斷處理； 階碼j補(bǔ)=10, 為下溢，按機(jī)器零處理。正正負(fù)負(fù)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理28例例：若某次加法操作的結(jié)果為 X+Y補(bǔ)=11.010, 00.000

24、0110111則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行向左規(guī)格化操作： 尾數(shù)為： 00.1101110000 ， 階碼減4： 11.010+ 11.100 -4補(bǔ) 10.110 例例：若某次加法操作的結(jié)果為 X+Y補(bǔ)=00.111, 10.1011100111則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行向右規(guī)格化操作： 尾數(shù)為： 11.0101110011 ， 階碼加1： 01.000 階碼超出了它所能表示的最大正數(shù)（+7），表明本次浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生了溢出。 階碼超出了它所能表示的最小負(fù)數(shù)（-8），表明本次浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生了溢出。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理29例例: :兩浮點(diǎn)數(shù)兩浮點(diǎn)數(shù)x x = 2 = 21011010.11010.110110111011

25、，y y = 2 = 2111111(-0.1010(-0.101011001100) )。假設(shè)尾數(shù)在計(jì)算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，。假設(shè)尾數(shù)在計(jì)算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，可存儲(chǔ)可存儲(chǔ)1010位尾數(shù)，位尾數(shù)，2 2位符號(hào)位，階碼以補(bǔ)碼表示，雙符號(hào)位位符號(hào)位，階碼以補(bǔ)碼表示，雙符號(hào)位, ,求求x x+ +y y。解：將解：將x,yx,y轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100步驟步驟1 1：對(duì)階：對(duì)階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ) -Ey補(bǔ)=11000111001 Ex

26、-Ey001011100111110 （000011）000102 0 Ex-Ey0 ExEy 小階對(duì)大階， X階碼加2 X尾數(shù)右移2位計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理30解：將x,y轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100步驟步驟1 1：對(duì)階：對(duì)階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ) Ex-Ey2 0 Ex-Ey0 ExEy 小階對(duì)大階， X階碼加2 X尾數(shù)右移2位 x浮 = 00 111, 00.00110110(11)步驟步驟2 2：尾數(shù)求和：尾數(shù)求和 X+Y浮 = 00

27、 111, 00.00110110(11 ) + 00 111, 11.01010100 = 00 111, 11.10001010(11)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理31步驟步驟2 2：尾數(shù)求和：尾數(shù)求和 X+Y浮 = 00 111, 00.00110110(11) + 00 111, 11.01010100 = 00 111, 11.10001010(11)步驟步驟3 3：計(jì)算結(jié)果規(guī)格化：計(jì)算結(jié)果規(guī)格化 X+Y浮 為非規(guī)格化數(shù)，左歸一位, 階碼減一， 00110, 11.00010101(1)步驟步驟4 4：舍入處理：舍入處理 X+Y浮 = 00 110, 11.00010110 (0舍1

28、如法) X+Y浮 = 00 110, 11.00010101 (截去法) 步驟步驟5 5：溢出判斷：溢出判斷 無(wú)溢出 X+Y浮 = 2110 x (-00.11101011)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理32計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理33例例 設(shè)設(shè)=2010 0.11011011, =2100 (- -0.10101100), 求求+。解：解： 階碼采用雙符號(hào)位階碼采用雙符號(hào)位, 尾數(shù)采用單符號(hào)位尾數(shù)采用單符號(hào)位, 則它們的浮點(diǎn)表則它們的浮點(diǎn)表示分別為示分別為 x浮浮= 00 010, 0.11011011 y浮浮= 00 100, 1.01010100(1) 求階差并對(duì)階求階差并對(duì)階E =

29、Ex- - Ey= Ex補(bǔ)補(bǔ)+ - -Ey補(bǔ)補(bǔ)= 00 010 + 11 100 = 11 110 x浮浮00 100, 0.00110110(11)其中其中(11)表示表示M右移右移2位后移出的最低兩位數(shù)。位后移出的最低兩位數(shù)。即即E為為- -2, x的階碼小的階碼小, 應(yīng)使應(yīng)使 Mx右移兩位右移兩位, Ex加加2,計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理34(2)(2)尾數(shù)求和尾數(shù)求和(4) (4) 舍入處理舍入處理采用采用0舍舍1入法處理入法處理, 則有則有: 1.000101011.00010101+ 1 + 1 1.00010110 1.00010110 0.00110110(0.0011011

30、0(1111) ) + 1.01010100 + 1.01010100 1.10001010( 1.10001010(1111) )(3) (3) 規(guī)格化處理規(guī)格化處理 尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位與最高數(shù)值位為同值，應(yīng)執(zhí)行左規(guī)處理，尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位與最高數(shù)值位為同值，應(yīng)執(zhí)行左規(guī)處理，結(jié)果為結(jié)果為1.00010101(10)1.00010101(10)， 階碼為階碼為00 01100 011。(5) (5) 判斷溢出判斷溢出 階碼符號(hào)位為階碼符號(hào)位為0000，不溢出，故得最終結(jié)果為，不溢出，故得最終結(jié)果為 x + y = 2011 (-0.11101010)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理35 例：兩

31、浮點(diǎn)數(shù)兩浮點(diǎn)數(shù)x = 2010.1101，y = 211(-0.1010)。假設(shè)尾數(shù)在計(jì)。假設(shè)尾數(shù)在計(jì)算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，可存儲(chǔ)算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，可存儲(chǔ)4位尾數(shù)，位尾數(shù)，2位保護(hù)位位保護(hù)位，階碼以原碼表示，求，階碼以原碼表示，求x+y。解解：將將x x, ,y y轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式 x x 浮浮 = 00 01, 00.1101= 00 01, 00.1101 y y 浮浮 = 00 11, 11.0110= 00 11, 11.0110步驟步驟1 1：對(duì)階，階差為：對(duì)階，階差為11-01=1011-01=10，即，即2 2，因此將，因此將x x的尾數(shù)右移兩位，得的尾數(shù)右移兩位

32、，得 x x 浮浮 = 00 11, 00.0011= 00 11, 00.00110101步驟步驟2 2：對(duì)尾數(shù)求和，得：對(duì)尾數(shù)求和，得: : x x+ +y y 浮浮 = 00 11, 11.1001= 00 11, 11.10010101步驟步驟3 3：由于符號(hào)位和第一位數(shù)相等，不是規(guī)格化數(shù)，向左規(guī)格化，得：由于符號(hào)位和第一位數(shù)相等，不是規(guī)格化數(shù)，向左規(guī)格化，得 x x+ +y y 浮浮 = 00 10, 11.0010= 00 10, 11.00101010步驟步驟4 4：截去。：截去。 x x+ +y y 浮浮 = 00 10, 11.0010= 00 10, 11.0010步驟步驟

33、5: 5: 數(shù)據(jù)無(wú)溢出，因此結(jié)果為數(shù)據(jù)無(wú)溢出，因此結(jié)果為x x+ +y y = 2 = 21010(-0.1110)(-0.1110)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理36浮點(diǎn)乘除法運(yùn)算浮點(diǎn)乘除法運(yùn)算1.浮點(diǎn)乘法、除法運(yùn)算規(guī)則 設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)和： 2ExMx 2EyMy浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的規(guī)則是： 2(Ex+ Ey) (Mx My) 即： 乘積的尾數(shù)是相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積; 乘積的階碼是相乘兩數(shù)的階碼之和。浮點(diǎn)除法運(yùn)算的規(guī)則是: 2(ExEy) (MxMy) 即：商的尾數(shù)是相除兩數(shù)的尾數(shù)之商; 商的階碼是相除兩數(shù)的階碼之差。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理372. 2. 浮點(diǎn)乘、除法運(yùn)算步驟浮點(diǎn)乘、除法運(yùn)算步驟

34、浮點(diǎn)數(shù)的乘除運(yùn)算大體分為四步：(1) 0 操作數(shù)檢查；(2) 階碼加/減操作；(3) 尾數(shù)乘/除操作；(4) 結(jié)果規(guī)格化及舍入處理。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理38(2) 浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算 對(duì)階碼的運(yùn)算有1、1、兩階碼求和、兩階碼求差四種, 運(yùn)算時(shí)還必須檢查結(jié)果是否溢出。 在計(jì)算機(jī)中, 階碼通常用補(bǔ)碼或移碼形式表示。移碼的運(yùn)算規(guī)則和判定溢出的方法移碼的定義為 x移 = 2n + - 2n x 2nx移+ y移 = 2n + 2n += 2n +移按此定義, 則有= 2n +(2n +(+)+移 = -2n + x移 + y移計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理39 考慮到移碼和補(bǔ)碼的關(guān)

35、系： 對(duì)同一個(gè)數(shù)值, 其數(shù)值位完全相同, 而符號(hào)位正好完全相反。 y補(bǔ)的定義為 y補(bǔ)= 2n+1 + 則求階碼和用如下方式完成：= 2n+1 + (2n +(+)x移+y補(bǔ)= 2n + 2n+1 +即：+移= x移+y補(bǔ) (mod 2n+1)同理：-移= x移+-y補(bǔ) (mod 2n+1)混合使用移碼和補(bǔ)碼計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理40 使用雙符號(hào)位的階碼加法器, 并規(guī)定移碼的第二個(gè)符號(hào)位, 即最高符號(hào)位恒用 0 參加加減運(yùn)算, 則溢出條件是結(jié)果的最高符號(hào)位為1： 當(dāng)?shù)臀环?hào)位為 0時(shí),（10） 表明結(jié)果上溢, 當(dāng)?shù)臀环?hào)位為1時(shí), （11） 表明結(jié)果下溢。 當(dāng)最高符號(hào)位為0時(shí), 表明沒(méi)有溢

36、出: 低位符號(hào)位為1, （01） 表明結(jié)果為正; 為0, （00） 表明結(jié)果為負(fù)。 階碼運(yùn)算結(jié)果溢出處理計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理41例：= +011,= +110, 求x+y移 和 x-y移, 并判斷是否溢出。解：階碼取3位（不含符號(hào)位），其對(duì)應(yīng)的真值范圍是 -8+7x移= 01 011, y補(bǔ)= 00 110, -y補(bǔ)=11 010 x+y移= x移+ y補(bǔ)=x-y移= x移+ -y補(bǔ)= 01 011+ 00 110 10 001結(jié)果上溢。結(jié)果正確, 為-3。 01 011+ 11 010 00 101計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理42(3) 尾數(shù)處理 浮點(diǎn)加減法對(duì)結(jié)果的規(guī)格化及舍入處理也

37、適用于浮點(diǎn)乘除法。第一種方法是： 無(wú)條件地丟掉正常尾數(shù)最低位之后的全部數(shù)值。 這種辦法被稱為截?cái)嗵幚? 好處是處理簡(jiǎn)單, 缺點(diǎn)是影響結(jié)果 的精度。 第二種辦法是： 運(yùn)算過(guò)程中保留右移中移出的若干高位的值, 最后再按某種規(guī)則用這些位上的值修正尾數(shù)。 這種處理方法被稱為舍入處理。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理43 當(dāng)尾數(shù)用原碼表示時(shí): 最簡(jiǎn)便的方法是，只要尾數(shù)的最低位為1, 或移出的幾位中有為1的數(shù)值位, 就使最低位的值為1。 另一種是0舍1入法, 即當(dāng)丟失的最高位的值為1時(shí), 把這個(gè)1加到最低數(shù)值位上進(jìn)行修正, 否則舍去丟失的的各位的值。這樣處理時(shí),舍入效果對(duì)正數(shù)負(fù)數(shù)相同,入將使數(shù)的絕對(duì)值變大,

38、舍則使數(shù)的絕對(duì)值變小。舍入處理計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理44 當(dāng)尾數(shù)是用補(bǔ)碼表示時(shí): 采用0舍1入法時(shí)，若丟失的位不全為0時(shí)： 對(duì)正數(shù)來(lái)說(shuō)，舍入的結(jié)果與原碼分析相同； 對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，舍入的結(jié)果與原碼分析相反，即“舍”使絕對(duì) 值變大，“入”使絕對(duì)值變?。粸槭乖?、補(bǔ)碼舍入處理后的結(jié)果 相同，對(duì)負(fù)數(shù)可采用如下規(guī)則進(jìn)行舍入處理： 當(dāng)丟失的各位均為0時(shí), 不必舍入； 當(dāng)丟失的最高位為0 , 以下各位不全為0 時(shí), 或者丟失的最高位為1, 以下各位均為0時(shí), 則舍去丟失位上的值； 當(dāng)丟失的最高位為1,以下各位不全為0 時(shí),則執(zhí)行在尾數(shù)最低位入1的修正操作。計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理45例例: 設(shè) x1補(bǔ)

39、= 11.01100000, x2補(bǔ)= 11.01100001, x3補(bǔ)= 11.01101000, x4補(bǔ)= 11.01111001, 求執(zhí)行只保留小數(shù)點(diǎn)后4位有效數(shù)字的舍入操作值。解解：執(zhí)行舍入操作后,其結(jié)果值分別為x1補(bǔ)11.0110 (不舍不入) x2補(bǔ)11.0110 (舍) x3補(bǔ)11.0110 (舍)x4補(bǔ)11.1000 (入)計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理46例例：設(shè)有浮點(diǎn)數(shù)=25 0.0110011, = 23 (-0.1110010), 階碼用4位移碼表示, 尾數(shù) (含符號(hào)位)用8位補(bǔ)碼表示。求浮。要求用補(bǔ)碼完成尾數(shù)乘法運(yùn)算, 運(yùn)算結(jié)果尾數(shù)保留高8位(含符號(hào)位), 并用尾數(shù)低位字長(zhǎng)值處理舍入操作。解解：移碼采用雙符號(hào)位, 尾數(shù)補(bǔ)碼采用單符號(hào)位, 則有Mx補(bǔ)= 0.0110011, My補(bǔ)= 1.0001110, Ex移= 00 011,Ey移 = 01 011, Ey補(bǔ)= 00 011,