測量平差(河海大學(xué))

1、Surveying Adjustment 誤差理論與 測量平差第六章 附有參數(shù)的條件平差第二章 精度指標(biāo)與誤差傳播第三章 平差最小二乘模型與最小二乘原理第四章 條件平差第五章 間接平差第一章 緒論第七章 附有限制條件的間接平差第八章 概括平差函數(shù)模型退出第九章 誤差橢圓專業(yè)基礎(chǔ)主要課程：測量學(xué)（5）、測量平差基礎(chǔ)（5）、控制測量學(xué)（5）、攝影測量學(xué)（4）、測繪數(shù)據(jù)計算機(jī)處理（3）專業(yè)課：GPS（4）、GIS（3）、工程測量（4）、數(shù)字制圖（3）、近代平差（2）等v 大地測量與測量工程v 攝影測量與遙感v 地圖制圖與地理信息系統(tǒng)工程 數(shù)學(xué)政治英語測量平差l前修課程：高數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)

2、計l課程分兩個學(xué)期進(jìn)行： 第二學(xué)年上學(xué)期：3學(xué)分 第三學(xué)年下學(xué)期：2學(xué)分l后續(xù)課程：測繪數(shù)據(jù)的計算機(jī)處理、控制測量、近代平差l講授為主，例題、習(xí)題相結(jié)合。l內(nèi)容：本學(xué)期主要講前五章的內(nèi)容。l參考書目： 測量平差原理，於宗儔等，測繪出版社 誤差理論與測量數(shù)據(jù)處理，測量平差教研室，測繪出版社。第一節(jié) 觀測誤差第二節(jié) 補(bǔ)充知識停止返回第一節(jié)：概述 1、測量平差的研究對象誤差 任何量測不可避免地含有誤差 v閉合、附合水準(zhǔn)路線v閉合、附合導(dǎo)線v距離測量v角度測量.停止返回l由于誤差的存在，使測量數(shù)據(jù)之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的任務(wù)就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。180)(180)(實際

3、理論停止返回l測量儀器：i角誤差、2c誤差l觀測者：人的分辨力限制l外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等三者綜合起來為觀測條件停止返回l系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。停止返回系統(tǒng)誤差的存在必然影響觀測結(jié)果。削弱方法：采用一定的觀測程序、改正、附加參數(shù)l偶然誤差/隨機(jī)誤差：在相同的觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，從單個誤差上看沒有任何規(guī)律，但從大量誤差上看有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。 不可避免，測量平差研究的內(nèi)容l粗差：錯誤停止返回停止返回測量平差的任務(wù)：對一

4、系列帶有觀測誤差的觀測值，運(yùn)用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。評定測量成果的質(zhì)量停止返回測量平差產(chǎn)生的歷史最小二乘法產(chǎn)生的背景18世紀(jì)末，如何從多于未知參數(shù)的觀測值集合求出未知數(shù)的最佳估值？最小二乘的產(chǎn)生1794年，C.F.GUASS，從概率統(tǒng)計角度，提出了最小二乘1806年，A.M. Legendre，從代數(shù)角度，提出了最小二乘。決定彗星軌道的新方法1809年， C.F.GUASS，天體運(yùn)動的理論停止返回測量平差產(chǎn)生的歷史最小二乘法原理的兩次證明形成測量平差的最基本模型1912年，A.A.Markov， 對最小二乘原理進(jìn)行證明，形成數(shù)學(xué)模型：12020)(, 0li

5、m)(PQAXLEnEAXLn最小二乘解：PLAPAAXTT1)(測量平差理論的擴(kuò)展一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣（1）由nm個數(shù)有次序地排列成m行n列的表叫矩陣通常用一個大寫字母表示，如：mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211停止返回(2)若m=n，即行數(shù)與列數(shù)相同，稱A為方陣。元素a11、a22ann 稱為對角元素。(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對于 的方陣，除對角元素外，其它元素全為零，稱為對角矩陣。如：nn)(00000022112211nnmnnmaaadiagaaaA(5)對于 對角陣，若a11=a22=ann =1，稱為單位陣，

6、一般用E、I表示。停止返回（6）若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。停止返回矩陣的基本運(yùn)算：BA （1）若具有相同行列數(shù)的兩矩陣各對應(yīng)元素相同，則：（2）具有相同行列數(shù)的兩矩陣A、B相加減，其行列數(shù)與A、B相同，其元素等于A、B對應(yīng)元素之和、差。且具有可交換性與可結(jié)合性。（3）設(shè)A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,則A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數(shù)為m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回l對于任意矩陣Cmn:mnmmnnnmcccccccccC212222111211將其行列互換，得到一個nm階矩陣，稱為C的轉(zhuǎn)置。用：nmnnnnmn

7、TcccccccccC212221212111停止返回TTCDDC則：,) 1 (AATT)(2(TTTBABA)(3(TTkAkA)(4(TTTABAB)(5(（6）若AAT則A為對稱矩陣。停止返回l給定一個n階方陣 A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：1 ABlA矩陣存在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣停止返回111)(1 (ABABAA11)(2(II1)(3(TTAA)()(4(11矩陣。對稱矩陣的逆仍為對稱)5()11,1(),()6(2211122111nnnnaaadiagaaadiagA矩陣且：對角

8、矩陣的逆仍為對角停止返回（1）伴隨矩陣法： 設(shè)Aij為A的第i行j列元素aij的代數(shù)余子式，則由n*n個代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。*1212221212111*1,AAAAAAAAAAAAAnnnnnn停止返回11525812182113212411131則：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211100010001212222111211nnnnnnaaaaaaaaa（2）初等變換法：nnnnnnbbbbbbbbb212222111211100010001經(jīng)初等變換：nnnnnnnnbbbbbbbbbA2122221112111停止

9、返回l隨機(jī)變量l誤差分布曲線l概率密度曲線l數(shù)學(xué)期望l方差停止返回第一節(jié) 概述第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性第三節(jié) 衡量精度的指標(biāo)第四節(jié) 協(xié)方差傳播律停止返回第五節(jié) 協(xié)方差傳播律在測量上的應(yīng)用第六節(jié) 協(xié)方差傳播律第七節(jié) 權(quán)與定權(quán)的常用方法第八節(jié) 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性觀測值：對該量觀測所得的值，一般用觀測值：對該量觀測所得的值，一般用Li表示表示 。真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數(shù)值，一般用小的數(shù)值，一般用 表示。表示。L一、幾個概念一、幾個概念真誤差：觀測值與真值之差，真誤差：觀測值與真值之差， 一般用一般用 i= -

10、Li 表表示。示。L第一節(jié) 概述停止返回觀測向量：若進(jìn)行n次觀測，觀測值：L1、L2Ln可表示為：nnLLLL211 ,停止返回nnLLLL211 ,nnnLLLLLL21211 ,l例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計。 誤差區(qū)間+個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920

11、.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495 停止返回l例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計。誤差區(qū)

12、間+個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501停止返回(K/n)/d00.40.

13、60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:停止返回面積= (K/n)/d* d= K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+.=1 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回提示：觀測值定了其分布也就確定了，因此一組觀測值對應(yīng)相同的分布。不同的觀測序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。22221)(ef1、在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對

14、值不會超過一定的界限；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；3、絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；4、當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，其算術(shù)平均值趨近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然誤差的特性：停止返回第三節(jié) 衡量精度的指標(biāo)精度：所謂精度是指精度：所謂精度是指偶然誤差偶然誤差分布的密集離散程度。分布的密集離散程度。一組觀測值對應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測值一組觀測值對應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：提示：一組觀測值具有相同的分布，但偶然一組觀測值具有相同的分布，但偶然誤

15、差各不相同。誤差各不相同。 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 頻數(shù)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回可見：左圖誤差分布曲線較高可見：左圖誤差分布曲線較高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右圖誤差分布曲線較低右圖誤差分布曲線較低 且平緩，精度低且平緩，精度低一、方差一、方差/中誤差中誤差 f()00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4閉合差 1122面積為122221)(ef第三節(jié)第三節(jié) 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)停止

16、返回dfEDnn)()()(lim222方差：方差：中誤差：nnlim2提示：提示： 越小，誤差曲越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。n2方差的估值：n二、平均誤差二、平均誤差停止返回 ndfEnlim)()(在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望。學(xué)期望。與中誤差的關(guān)系：與中誤差的關(guān)系：54n三、或然誤差三、或然誤差 f()0閉合差1150%停止返回%50)(p32四、極限誤差四、極限誤差32 或限%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68

17、)(ppp四、相對誤差四、相對誤差中誤差與觀測值之比，一般用中誤差與觀測值之比，一般用1/M表示。表示。一、協(xié)方差)()(YEYXEXEXY對于變量對于變量X，Y，其協(xié)方差為：，其協(xié)方差為：停止返回)()(XEXYEYEYXYXXY0XYYX表示表示X、Y間互不相關(guān)，對于正態(tài)分布間互不相關(guān)，對于正態(tài)分布而言，相互獨立。而言，相互獨立。0XYYX表示表示X、Y間相關(guān)間相關(guān)nnyxxyyxyxnxylim對于向量對于向量X=X1，X2，XnT，將其元素間的，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：方差、協(xié)方差陣表示為：停止返回22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩陣表示為：矩陣表

18、示為：2212222111221nnnnnXXD方差協(xié)方差陣方差協(xié)方差陣)()(TXXXEXXEXED特點特點：I 對稱對稱 II 正定正定 III 各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng)各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng) 對角元對角元 相等時，為等精度觀測。相等時，為等精度觀測。2212222111221nnnnnXXD若：111)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTXYDYEYXEXED)()(若若DXY=0，則，則X、Y表示為相互獨立的觀測量。表示為相互獨立的觀測量。已知：01 , 11 , 1211 ,.,KXKZDXXXXnnXXTnnTXXZZKKDD那么：停止返回證

19、明：證明：設(shè)：設(shè)：XnTnnXEXXXX,.,)(,.,21211 ,TXXXXXXED)(TZZZZZZED)(那么：那么：停止返回TXXTTXXTTXXTXXTZZZZKKDKXXKEKXXKEKKXKKXEZZED)()()()( 例1: 設(shè) ，已知 ， 求 的方差 。21221132xxyxxyDXX3114Fyy12F2例2:若要在兩已知點間布設(shè)一條附和水準(zhǔn)路線,已知每公里觀測中誤差等于5.0mm,欲使平差后線路中點高程中誤差不大于10mm,問該路線長度最多可達(dá)幾公里? 停止返回已知：,.,211 ,XXTnnDXXXX 0221120222212121012121111tntntt

20、tnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZTXXZZKKDD1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTFZTXXZFDFKDD)(停止返回停止返回例3：在一個三角形中，同精度獨立觀測得到三個內(nèi)角L1、L2、L3，其中誤差為，將閉合差平均分配后各角的協(xié)方差陣。例4：設(shè)有函數(shù)，1 ,11 ,11 ,rrtnnttYFXFZ已知XYYYXXDDD求ZYZXZZDDD四 、非線性函數(shù)的情況設(shè)有觀測值設(shè)有觀測值X的非線性函數(shù)：的非線性函數(shù)：),()(21nXXXfXfZ已知：XXTnnDXXXX,.,211 ,ZZD求：TnnXXXX,.,0001 ,

21、021停止返回將Z按臺勞級數(shù)在X0處展開：二次以上項）()()()()()()(),(00022020110100021nnnnXXXfXXXfXXXfXXXfZniinnniXXfXXfXXfXXfXXXfZ1000202101000)()()()(),(21),),(0020121nnXfXfXfkkkK（）（）（niiniXXfXXXfk1000000)(),(21001 ,21kKXkXkkkZnnTXXZZKKDD例例4、根據(jù)極坐標(biāo)法測設(shè)、根據(jù)極坐標(biāo)法測設(shè)P點的坐標(biāo)，設(shè)已知點的坐標(biāo)，設(shè)已知點無誤差，測角中誤差為點無誤差，測角中誤差為m ，邊長中誤差，邊長中誤差ms，試推導(dǎo)試推導(dǎo)P點的

22、點位中誤差。點的點位中誤差。ABPmssmump停止返回l根據(jù)實際情況確定觀測值與函數(shù),寫出具體表達(dá)式l寫出觀測量的協(xié)方差陣l對函數(shù)進(jìn)行線性化l協(xié)方差傳播停止返回a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1協(xié)方差傳播在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度停止返回作業(yè)1、在高級水準(zhǔn)點A、（高程為真值）間布設(shè)水準(zhǔn)路 線，如下圖，路線長分別為 ，設(shè)每公里觀測高差的中誤差為 ，試求： （1）將閉合差按距離分配之后的p1、p2點間高差的中誤差；（2）分配閉合差后P1點的高程中誤差。kmSkmSkmS2,3,4321mmm0 . 11AP1P2B作業(yè)2、在相同條件下，觀測兩個角

23、度A=150000，B=750000，設(shè)對A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3，問觀測9個測回的精度為多少？停止返回第七節(jié) 權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義22002:,),.,2 , 1(iiiipniL，則定義如選定任一常數(shù)它們的方差為設(shè)稱為觀測值Li的權(quán)。權(quán)與方差成反比。2222122022202120211:1:1:nnnppp生變化。而變化，但權(quán)比不會發(fā)權(quán)的大小隨一20)(，即對應(yīng)一組權(quán)。選定了二20)(（三）權(quán)是衡量精度的相對指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個問題只選一個0。（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。二、單位權(quán)中誤差測值。的觀測值稱為單位權(quán)觀等于稱為單位權(quán)中誤差

24、，權(quán)10三、常用的定權(quán)方法三、常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán)、水準(zhǔn)測量的權(quán)iiscp iiNcp 或2、邊角定權(quán)、邊角定權(quán)停止返回221iissPP2622)10(issbai第八節(jié) 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣2020220222111:,jiiijjjjjiiiiijjijipQpQpQLL令協(xié)方差為它們的方差為設(shè)的協(xié)因數(shù)。為iiiLQ的協(xié)因數(shù)。為jjjLQ或相關(guān)權(quán)倒數(shù)。的協(xié)因數(shù)關(guān)于為jiijLLQijjijjjiiiQQQ20202202變換形式為：nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221不難得出：QXX為協(xié)因數(shù)陣X

25、XXXQD20特點特點：I 對稱，對角元素為權(quán)倒數(shù)對稱，對角元素為權(quán)倒數(shù) II 正定正定 III 各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng)各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng) 為等精度觀測，單位陣。為等精度觀測，單位陣。nnnnnnXXQQQQQQQQQQ212222111211二、權(quán)二、權(quán)陣陣EQPQPLLLLLLLL1第一節(jié) 測量平差概述第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型第三節(jié) 參數(shù)估計與最小二乘原理停止返回一、必要觀測、多余觀測確定平面三角形的形狀觀測三個內(nèi)角的任意兩個即可,稱其必要元素個數(shù)為2，必要元素有 種選擇確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個元素中必須有選擇地觀測三個內(nèi)角與三條邊的三個元素

26、，因此，其必要元素個數(shù)為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。停止返回23C3323131323CCCCC必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要元素個數(shù)為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等確定如圖四點的相對高度關(guān)系A(chǔ)DCBh1h6h5h2h4h3必要觀測: 能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測 一般用t表示。停止返回特點: 給定幾何模型，必要觀測及類型即定，與觀測無關(guān)。 必要觀測之間沒有任何函數(shù)關(guān)系，即相互獨立。 確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)多余觀測: 觀測值的個數(shù)n與必要觀測個數(shù)t之差 一般用r表示，r=n-t。確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)為t, 那么

27、再多進(jìn)行一個觀測就相關(guān)了，即形成函數(shù)關(guān)系，也稱為觀測多余了。觀測值: 為了確定幾何模型中各元素的大小進(jìn)行的實際 觀測，稱為觀測值，觀測值的個數(shù)一般用n表示。nt,，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差。二、測量平差必要觀測可以唯一確定模型，其相互獨立?？梢娙粲卸嘤嘤^測必然可用這t個元素表示，即形成r個條件。123tnrtn180ADCBh1h6h5h2h4h3336tnrtn0621hhh0432hhh0546hhh停止返回實際上：1800621hhh0432hhh0546hhh180第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型一、條件平差法條件平差法0WA以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。即為條件平差的

28、函數(shù)模型。 條件平差的自由度即為多余觀測數(shù)r，即條件方程個數(shù)。二、間接平差法間接平差法 選擇幾何模型中t個獨立變量為平差參數(shù)，每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，成為間接平差法。lBx 停止返回)(1 ,1 ,nrLFF )(1 ,1 ,tnXFL 三、三、 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法 設(shè)在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要觀測數(shù)，則可列出r=n-t個條件方程，現(xiàn)有增設(shè)了u個獨立量作為參數(shù)，而0ut個參數(shù)，其中包含t個獨立參數(shù)，則多選的s=u-t個參數(shù)必是t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個參數(shù)之間存在著s個函數(shù)關(guān)系，它們是用來約束參數(shù)之

29、間應(yīng)滿足的關(guān)系。在選定ut個參數(shù)進(jìn)行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數(shù)方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。lBx 0 xWCx停止返回)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX五、五、 平差的隨機(jī)模型平差的隨機(jī)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型停止返回函數(shù)模型函數(shù)模型隨機(jī)模型：隨機(jī)模型：12020PQD第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化條件方程的綜合形式為：條件方程的綜合形式為：),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF 為了線性化，取X的近似值：0X取 的初值： LLxXX0LL將F按臺勞級數(shù)在X0，L處展開，并略去二次以及以上項：停止返回xXFLFXLFxXLFFXLXL00,0

30、),(),(0,212221212111,XLnnnnnncLFLFLFLFLFLFnLFLFLFLFA0,212221212111,XLunnnuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBBxAXLFxXLFF),(),(0一、條件平差法條件平差法0WA)(LFW 二、間接平差法間接平差法lBx BxXFLL)(0LXFl)(0三、三、 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法0WBxA四、四、 附有限制條件的間接平差法附有限制條件的間接平差法lBx 0 xWCx)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX第四節(jié) 參數(shù)估計與最小二乘原理 為了求得唯一解，對最終估計值應(yīng)該提出某種

31、要求，考慮平差所處理的是隨機(jī)觀測值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計觀點去尋求，即參數(shù)估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質(zhì)，從而可對平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。 一、一、 參數(shù)估計及其最優(yōu)性質(zhì)參數(shù)估計及其最優(yōu)性質(zhì)對于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：0WA條件的個數(shù)r=n-t n，即方程的個數(shù)少，求解的參數(shù)多，方程多解。其它模型同。數(shù)理統(tǒng)計中所述的估計量最優(yōu)性質(zhì)，主要是估計量應(yīng)具有無偏性、一致性和有效性的要求?？梢宰C明，這種估計為最小二乘估計。停止返回例：勻速運(yùn)動的質(zhì)點在時刻的位置y表示為：y0y0y實際上：則：得測定其位置，在與為了求, , 2121nnyyy)

32、2, 1( ,niyii寫成矩陣：寫成矩陣：nnnXByyyY212121,111,YXB間接平差函數(shù)模型間接平差函數(shù)模型oyiiyiivmin)(22iiiyvynvvvV21令：min)()(YXBYXBVVTT則：二、二、 最小二乘原理最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，應(yīng)使各個觀測點觀測值偏差的平方和達(dá)到最小。測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準(zhǔn)則的估值相同。 設(shè)觀測向量為L，L為n維隨機(jī)正態(tài)向量，其數(shù)學(xué)期望與方差分別為：nLLE21)(22112222111221nnnnLLDD停止返回)()(exp)2(11212/12

33、/LTLnLDLDG其似然函數(shù)為：以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E（）=0得：)()(exp)2(11212/12/XBLDXBLDGTn按最大似然估計的要求，應(yīng)選取能使lnG取得極大值時的 作為X的估計量。X)()(21)2ln(ln12/12/XBLDXBLDGTn停止返回由于上式右邊的第二項前是負(fù)號，所以只有當(dāng)該項取得極小值時，lnG才能取得極大值，換言之， 的估計量應(yīng)滿足如下條件：X最小)()(1XBLDXBLT為常數(shù)，則：，由于2012020PQDDLL最小)()(XBLPXBLT有：的估值，則是設(shè),LXBVV最小PVVT即最小二乘原則。停止返回第 四 章 條件 平 差第一節(jié)

34、 條件平差原理第二節(jié) 條件方程第三節(jié) 精度評定第四節(jié) 水準(zhǔn)網(wǎng)平差示例停止返回第一節(jié) 條件平差原理一、基礎(chǔ)方程和它的解011rnnrWVA最小PVVT按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)：min)(2WVAKPVVTTTrbarkkkK1停止返回)(LFW 0WA12020PQD數(shù)學(xué)模型求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：KQAKAPVKAPVAKPVdVdTTTTT1022011rnnrTWVAKQAVWNWAQAKWKAQAaaTrrrT111)(0)(上式也稱為法方程式停止返回二、條件平差的計算步驟停止返回1. 根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。 2.

35、根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權(quán)組成法方程式，法方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。 3. 解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。 4. 將K值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值5. 為了檢查平差計算的正確性，常用平差值 重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。 VLLL1L3L2L平差值。按條件平差求三內(nèi)角的觀測，得：對圖中三個內(nèi)角進(jìn)行例,048359,909078,0221421121 oooLLL的距離如下：高差觀測值與水準(zhǔn)路線高差點的高程，觀測了四段為了確定為：為已知水準(zhǔn)點，其高成：圖中例DCmHmHBABA,013.10,013.12,2BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3C點

36、高程的平差值。和求DCkmSmhkmSmhkmSmhkmSmh5 . 1,520. 1,2,512. 21,516. 1,2,004. 114332211程的平差值。采用條件平差求各點高，高差與測站數(shù)如圖示，點水準(zhǔn)路線上有三個固定點的高成為線，已知作業(yè)：一條閉合水準(zhǔn)路321,330.16mAh1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二節(jié) 條件方程一、水準(zhǔn)網(wǎng)tnrCqpqpt多余的獨立起算數(shù)據(jù)網(wǎng)點數(shù)1列條件的原則：1、閉合水準(zhǔn)路線2、附合水準(zhǔn)路線包含的線路數(shù)最少為原則停止返回h1h7h5h6h3h4h2h8AODCB

37、BAFGEDCh1h6h7h2h5h4h34373317tnrCt06520)(4570)(7610)(321hhhHHhhhHHhhhHHhhhBDABAC448415tnrCt0584042306310756hhhhhhhhhhhh停止返回二、測角網(wǎng)tnrCqpqpt多余的獨立起算數(shù)據(jù)網(wǎng)點數(shù)424個必要的起算數(shù)據(jù)為：一個已知點（2個坐標(biāo)）一個方位（1個）一個尺度（1個兩已知點（4個坐標(biāo)）停止返回列條件的原則：將復(fù)雜圖形分解成典型圖形。條件類型：圖形條件、圓周條件 、極條件、固定方位條件、固定邊長條件、固定坐標(biāo)條件三角形大地四邊形中心多邊形扇形停止返回123243*2rt448444*2rt

38、2810181047*2krt15611645*2krtAFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第三節(jié) 精度評定一、計算單位權(quán)中誤差rPVVT0二、協(xié)因數(shù)陣 停止返回第四節(jié) 水準(zhǔn)網(wǎng)平差示例例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按條件平差求各點的高稱平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h

39、6h7P1P2P3B停止返回解：1、列條件方程4373115tnrCt042076305430521hhhhhhhhhhh0342067630854307521vvvvvvvvvvv停止返回0001010110010000111000010011A3687W2、定權(quán)取C=1，則：6 . 24 . 14 . 27 . 23 . 27 . 11 . 11PQ3、形成法方程0368743211 . 407 . 27 . 103 . 63 . 207 . 23 . 24 . 74 . 27 . 104 . 22 . 5kkkk停止返回4、解算法方程TTK4568.14414.04028.12226.0

40、5、計算改正數(shù))(2 .16 .09 .31 .02 .49 .22 .0mmVT6、計算平差值)(5962.02374.06531.00119.13588.00119.23588.1mLT7、計算高程平差值mLHHAP3748.311mLHHAP0279.722mLHHBP6121.673停止返回作業(yè)1：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002 53.4042 63.4524 AoooBC123456P1P2P3如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C已知水準(zhǔn)點，P1、P3、P3為待定點，已知水準(zhǔn)點的高程、各

41、水準(zhǔn)路線的長度及觀測高差列入下表 試用條件平差法求P1、P3、P3點高程的平差值 。第一節(jié) 間接平差原理第二節(jié) 誤差方程第三節(jié) 精度評定第四節(jié) 平差示例第 五 章 停止返回第一節(jié) 間接平差原理一、基礎(chǔ)方程和它的解lBxV最小PVVT按函數(shù)極值的求法，極值函數(shù)：min)()(lBxPlBxPVVTT求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：002PVBPBVTT停止返回0)(PlBxPBBTT代入誤差方程：即為法方程式PlBPBBxTT1)(停止返回二、間接平差法平差步驟1、選擇t個獨立的未知參數(shù)2、將每個觀測值表示成未知參數(shù)的函數(shù)，形成誤差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、計算改正數(shù)6、精度評定一、確定

42、待定參數(shù)的個數(shù)一、確定待定參數(shù)的個數(shù)水準(zhǔn)網(wǎng)qpt1測角網(wǎng)qpt42測邊網(wǎng)邊角網(wǎng)qpt32第二節(jié) 誤差方程停止返回GPS網(wǎng)33 Pt采用GPS尺度與方位73 Pt不采用GPS尺度與方位二、參數(shù)的選取二、參數(shù)的選取高程控制網(wǎng)：待定點的高程平面控制網(wǎng)：待定點的二維坐標(biāo)三維控制網(wǎng)：待定點的三維坐標(biāo)停止返回三、誤差方程的組成三、誤差方程的組成1、水準(zhǔn)路線的誤差方程、水準(zhǔn)路線的誤差方程ijXiXjhij)(00ijijijijXXhxxV當(dāng)i點已知時：)(0ijijjijXXhxV當(dāng)j點已知時：)(0ijijiijXXhxV停止返回2、方向的誤差方程N(yùn)零方向jkljkLjlLjXjYkXkYjZjZ定向角

43、未知數(shù)jXjYkXkY設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：即：零方向的方位角jk的方位角為：)(jkjkjkjjkXXYYarctgLZ停止返回)(jjjkjkjkZfZXXYYarctgL為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化。對上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY處進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，略去二次以及二次以上項：00000)(jZXXYYarctgxYfxXfyYfxXfzVLjkjkkkkkjjjjjjkjk停止返回22)(1)() 1)(jkjkjkjkjXXYYXXYYXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2停止返回22)(1)()(jkjkjkjkkXXYYXXY

44、YXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2停止返回2)(1)(1jkjkjkjXXYYXXYf22)()()(jkjkjkYYXXXXjkjkjkjkSSXcos2停止返回2)(1)(1jkjkjkkXXYYXXYf22)()()(jkjkjkYYXXXXjkjkjkjkSSXcos2停止返回00000)(000000jZXXYYarctgxYfxXfyYfxXfzVLjkjkkYXkkYXkjYXjjjjjkjk0000000000000)(cossincossinjjkjkjkjkZXXYYarctgxSxSySxSzVLjkjkkjkkjkjjkjjkj

45、jkjk0000000000000)(cossincossinjjkjkjkjkZXXYYarctgLxSxSySxSzVjkjkjkkjkkjkjjkjjkjjk停止返回當(dāng)j點已知時：000000000)(cossinjjkjkZXXYYarctgLxSxSzVjkjkjkkjkkjkjjk停止返回000000000)(cossinjjkjkZXXYYarctgLySxSzVjkjkjkjjkjjkjjk當(dāng)k點已知時：停止返回2、距離的誤差方程jkjkSjXjYkXkYjXjYkXkY設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：jk的距離為：22)()(jkjkjkYYXXS停止返回為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化

46、。對上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY處進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，略去二次以及二次以上項：200200)()(jkjkkkkkjjjjjkjkYYXXxYfxXfyYfxXfVS停止返回jkjkjkjkjkjSXYYXXXXXfcos)()(2)(222停止返回jkjkjkjkjkjSYYYXXYYYfsin)()(2)(222jkjkjkjkjkkSXYYXXXXXfcos)()(2)(222停止返回jkjkjkjkjkkSYYYXXYYYfsin)()(2)(222200200)()(00000000jkjkkYXkkYXkjYXjjYXjjkjkYYXXxYfxXfyYfxXfVS

47、停止返回2002000000)()(sincossincosjkjkkkjjjkjkYYXXyxyxVSjkjkjkjkjkjkjkkkjjjkSYYXXyxyxVjkjkjkjk2002000000)()(sincossincos當(dāng)j點已知時：停止返回jkjkjkkkjkSYYXXyxVjkjk20020000)()(sincos當(dāng)k點已知時：jkjkjkjjjkSYYXXyxVjkjk20020000)()(sincos第三節(jié) 精度評定rPVVT0二、協(xié)因數(shù)陣一、計算單位權(quán)中誤差1111)()()()(PBBPBBPQPBBPBBQPlBPBBxTTTTxxTT停止返回測角網(wǎng)間接平差算例：

48、ABDC123456789121110131415161718P2P1設(shè)有一測角三角網(wǎng)，A、B、C、D為已知點，P1、P2為待定點，同精度觀測了18個角度，按間接平差求平差后P1、P2點的坐標(biāo)及精度。已知數(shù)據(jù)見下表。第四節(jié) 平差示例停止返回點名坐標(biāo)（m）邊長方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.602743938.4C19063.6637818.8610232.16344056.3D17814.6349923.1912168.60955329.1A10156.112164906.5角度編號觀測值角度編號觀測值角度編號觀測值11261

49、424.17220243.013463856.42233946.981300314.214663454.73300546.79275359.315664608.241172246.210655500.816295835.55312650.011670249.4171200831.16311022.612470211.418295255.4停止返回解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14設(shè)P1、P2點的坐標(biāo)作為未知參數(shù)X1、Y1、X2、Y2，根據(jù)前方交會可以求出P1、P2的近似坐標(biāo)：mYmXmYmX97.3733461.1318897.3733461.131880202010

50、1根據(jù)角度的誤差方程：00000000000000000cossincossin)coscos()sinsin(jikjikijiijikjkkjkjjijkjjijkjikLLySxSxSxSySSxSSVjijijkjkjijkjijk停止返回1.37.106.92.135.80.43.39.22.19.15.81.36.25.09.01.36.02.0221100.000.050.115.300.000.099.444.300.000.049.329.030.145.249.329.089.060.260.233.219.217.089.062.289.062.221.216.047.3

51、33.032.146.258.229.289.062.230.120.300.000.000.065.500.000.030.145.200.000.030.120.300.000.047.333.000.000.077.453.300.000.000.000.050.115.300.000.032.146.200.000.018.016.5181716151413121110987654321yxyxVVVVVVVVVVVVVVVVVVVBxl停止返回定權(quán)，P為單位陣，形成法方程為：07.3011.12081.17852.43221163.6621.2042.896.621.2009.969

52、5.645.1142.895.651.7011.2296.645.1111.2261.94yxyx5348.02069.13208.21030.007.3011.12081.17852.430169.00041.00023.00025.00041.00117.00024.00023.00032.00024.00161.00044.00025.00023.00044.00121.007.3011.12081.17852.4363.6621.2042.896.621.2009.9695.645.1142.895.651.7011.2296.645.1111.2261.9422111yxyx98.4

53、439049.1557820.3733560.1318810/5348.02069.13208.21030.003.4439161.1557897.3733461.131882211YXYX停止返回精度評定：3 . 11428.220rPVVTdmx14. 00121. 03 . 11dmy16. 00161. 03 . 11dmx14. 00117. 03 . 12dmy17. 00169. 03 . 12dmp21. 016. 014. 0221dmp22. 017. 014. 0222停止返回例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按間接平差

54、求各點的高程平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列誤差方程n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4703202101hHXhHXhHXBAA設(shè)P1、P2點的高程為未知參數(shù)21XX求相應(yīng)的近似值列誤差方程：022xv011xv8316xxv7215xxv037xv413xv324xvh2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B寫成矩陣的形式：027

55、34001001010110100010100013217654321xxxvvvvvvv定權(quán)，取C=138.071.042.037.043.059.091.042.105.459.009.1071.0038.142.071.042.047.2321xxx100.1860.2258.01432.11055.03465.01055.07739.01619.03465.01619.05320.0321xxx6121. 60279. 73748. 6321XXX1 .16 .09 .31 .03 .49 .23 .07654321vvvvvvvmmrPVVT2 . 2475.190mmmmmmXXX

56、35. 21432. 19 . 17739. 06 . 15320. 0000321例：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8 5-0.5774.2 6-0.7862.5 BoooAC165423P1P2P3如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C已知水準(zhǔn)點，P1、P3、P3為待定點，已知水準(zhǔn)點的高程、各水準(zhǔn)路線的長度及觀測高差列入下表 試用間接平差法求P1、P3、P3點高程的平差值估算精度 。解：1、列誤差方程n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3設(shè)P1、P2、P3點的高程為

57、未知參數(shù)321XXX求相應(yīng)的近似值列誤差方程：BoooAC165423P1P2P3440.36652.1788.34101hHXA973.35714.0259.35302hHXB248.37577.0825.37503hHXC220320490101100110010011001321654321xxxvvvvvv定權(quán)，取C=1012.1700.2488.689.026.040.026.087.032.040.032.094.0321xxxwxNPlBxPBBTT220320490101100110010011001321654321xxxvvvvvv40. 000. 023. 000. 00

58、0. 026. 000. 000. 000. 029. 000. 000. 000. 000. 032. 000. 000. 000. 000. 000. 022. 0稱對PmmWNxxx1.176.199.712.1700.2488.69472.10136.11736.10136.18416.10582.11736.10582.19235.11321mxxxXXXXXX2309.376626.354321.360171. 00196. 00079. 0248.37973.35440.36321000132132mmvvvvvv8 .121 .177 .46 .195 .219 .765432

59、1mmrPVVT67. 4354.650mmmmmmXXX51. 69472. 134. 68416. 148. 69235. 1000321mhhhhhh7988.05941.02383.17336.04395.06441.11000/8 .121 .177 .46 .195 .219 .7786.0577.0243.1714.0418.0652.1654321第一節(jié) 基礎(chǔ)方程和它的解第二節(jié) 精度評定第 六 章 附有參數(shù)的條件平差停止返回 一、測量平差方法回顧（1）條件平差法條件平差法011cnncWVA觀測數(shù)為觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)，多余觀測數(shù)r=n-t，條件

60、方程個數(shù)條件方程個數(shù)c。停止返回KQAVTWAQAKWKAQATT1)(0在最小二乘原則下有：在最小二乘原則下有：rPVVT20VLL（2）間接平差法間接平差法111nttnnlxBV觀測數(shù)為觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)，多余觀測數(shù)r=n-t，設(shè)設(shè)t個相互獨立的未知參數(shù)，則條件個數(shù)個相互獨立的未知參數(shù)，則條件個數(shù)c=n+t-t=n,即即n個誤差方程：個誤差方程：在最小二乘原則下有：在最小二乘原則下有：rPVVT200)(PlBxPBBTTPlBPBBxTT1)(1)(PBBQTxx（3） 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法 設(shè)在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要