高中全程復(fù)習(xí)方略配套圓中比例線段與圓內(nèi)接四邊形圓錐截線ppt課件

1、第三節(jié) 圓中比例線段與圓內(nèi)接四邊形、圓錐截線 三年三年1 1考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :內(nèi)內(nèi) 容容要要 求求A AB BC C相交弦定理，割線定理，切相交弦定理，割線定理，切割線定理割線定理 圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理定理 1.1.圓中比例線段圓中比例線段(1)(1)相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩段的積相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩段的積 _ ._ .(2)(2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積 . .(3)(3)切割線定理：從圓外一

2、點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線， 是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的等比中項(xiàng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的等比中項(xiàng). .相等相等相等相等切線長切線長【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】(1)(1)如圖，如圖，OO內(nèi)兩條相交弦內(nèi)兩條相交弦ABAB、CDCD交于交于M M，知，知ACACCMCMMDMD，MBMB AM AM1 1，那么那么OO的半徑為的半徑為 . .(2)(2)如圖，如圖，OO的弦的弦ABAB、CDCD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P P，PA=4PA=4厘米，厘米，PB=3PB=3厘米，厘米，PC=6PC=6厘米，厘米，EAEA切切OO于點(diǎn)于點(diǎn)A A，AE

3、AE與與CDCD的延伸線交于點(diǎn)的延伸線交于點(diǎn)E E，AE= AE= 厘米，那么厘米，那么PEPE的長為的長為_._.2152【解析】【解析】(1)(1)由相交弦定理得由相交弦定理得CM=DM= = ,CM=DM= = ,又又AC=CM= AC=CM= 得得AC2+CM2=4=AM2,AC2+CM2=4=AM2,故故CC9090，從而從而ADAD為為OO的直徑，且的直徑，且 所以所以O(shè)O的半徑為的半徑為 AM BMg,1082AD .21022(2)(2)由相交弦定理，得由相交弦定理，得PAPB=PDPCPAPB=PDPC，443=PD63=PD6，PD=2(PD=2(厘米厘米).).由切割線定

4、理，得由切割線定理，得AE2=EDECAE2=EDEC， =ED(ED+2+6). =ED(ED+2+6).解得解得ED=2ED=2或或ED=-10(ED=-10(舍去舍去).).PE=2+2=4(PE=2+2=4(厘米厘米).).答案：答案：(1) (2)4(1) (2)4厘米厘米2)5(22102.2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與斷定定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與斷定定理(1)(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對角性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對角 . .(2)(2)斷定定理：假設(shè)四邊形的斷定定理：假設(shè)四邊形的 ，那么此四邊形內(nèi)接于，那么此四邊形內(nèi)接于圓圓. .互補(bǔ)互補(bǔ)對角互補(bǔ)對角互補(bǔ)【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】

5、(1)(1)如圖甲，四邊形如圖甲，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO，那么，那么BODBOD . .(2)(2)如圖乙，四邊形如圖乙，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO，ADBCADBC1212，ABAB3535，PDPD4040，那么過點(diǎn)，那么過點(diǎn)P P的的OO的切線長是的切線長是 . .(3)(3)如圖丙，直線如圖丙，直線ABAB和和ACAC與與OO分別相切于分別相切于B B、C C，P P為圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，P P到到ABAB、ACAC的間隔分別為的間隔分別為4 cm4 cm、6 cm6 cm，那么，那么P P到到BCBC的間隔的間隔為為 【解析】【解析】(1)(1)由圖可知

6、由圖可知A=70A=70, ,從而從而BOD=140BOD=140. .(2)(2)由四邊形由四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO得得PAD=PCB,PDA=PBC,PAD=PCB,PDA=PBC,所所以以PADPADPCBPCB，得，得PDPB=ADBC=12,PDPB=ADBC=12,由由PDPD4040和和ABAB3535得得PB=80,PA=45PB=80,PA=45，從而由切割線定理得過點(diǎn)從而由切割線定理得過點(diǎn)P P的的OO的切線長是的切線長是 =60. =60.(3)(3)連結(jié)連結(jié)DFDF，EFEF，PBPB，PCPC，PDAB,PFBC,PDAB,PFBC,PP、D D、B B

7、、F F四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓,PDF=PBF, ,PDF=PBF, 80 45而而ACAC是是OO的切線的切線,PCE=PBF,PCE=PBF,PDF=PCE.PEAC,PFBC,PDF=PCE.PEAC,PFBC,PP、E E、C C、F F四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓,PFE=PCE,PFE=PCE,PDF=PFE,PDF=PFE,同理同理PFD=PEF,PFD=PEF,PFDPFDPEF, PEF, 從而從而 即點(diǎn)即點(diǎn)P P到到BCBC的間隔為的間隔為 答案：答案：(1)140(1)140 (2)60 (3) (2)60 (3) ,PFPDPEPFPF4 62 6,. 6262 圓中比例線段的運(yùn)用圓中比

8、例線段的運(yùn)用 【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】對相交弦定理、切割線定理、割線定理的了解對相交弦定理、切割線定理、割線定理的了解相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理. .圓冪定圓冪定理本質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，理本質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)與比例線段有關(guān)它們之間有著親密的聯(lián)絡(luò)，主要表其本質(zhì)與比例線段有關(guān)它們之間有著親密的聯(lián)絡(luò)，主要表達(dá)在：達(dá)在：(1)(1)從運(yùn)動(dòng)的觀念看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另從運(yùn)動(dòng)的觀念看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即挪動(dòng)圓內(nèi)兩條相交弦使其交點(diǎn)在圓外

9、的情況；一種情形，即挪動(dòng)圓內(nèi)兩條相交弦使其交點(diǎn)在圓外的情況；(2)(2)從定理的證明方法看，都是由一對類似三角形得到的等從定理的證明方法看，都是由一對類似三角形得到的等積式積式【例【例1 1】如圖，由矩形】如圖，由矩形ABCDABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)D D引一條直線分別交引一條直線分別交BCBC及及ABAB的延伸線的延伸線于于F F、G G，連結(jié)，連結(jié)AFAF并延伸交并延伸交BGFBGF的外的外接圓于接圓于H H，連結(jié)，連結(jié)GHGH、BH.BH.(1)(1)求證：求證：DFADFAHBGHBG；(2)(2)過過A A點(diǎn)引圓的切線點(diǎn)引圓的切線AEAE，E E為切點(diǎn)，為切點(diǎn)， CFFBCFFB1212

10、，求，求ABAB的長；的長；(3)(3)在在(2)(2)的條件下，又知的條件下，又知ADAD6 6，求，求tanHBGtanHBG的值的值. ., 33AE 【解題指南】【解題指南】(1)(1)欲證兩三角形類似，只需證兩組對應(yīng)角相等，欲證兩三角形類似，只需證兩組對應(yīng)角相等，這可從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得之；這可從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得之；(2)(2)根據(jù)條根據(jù)條件易知，利用切割線定理計(jì)算件易知，利用切割線定理計(jì)算ABAB的長；的長；(3)(3)將將tanHBGtanHBG化歸為化歸為直角三角形中的兩邊之比，但因該角不在直角三角形中，故經(jīng)直角三角形中的兩邊之比，但因該角不在

11、直角三角形中，故經(jīng)過作垂線，構(gòu)造直角三角形后，再計(jì)算線段的長而求解過作垂線，構(gòu)造直角三角形后，再計(jì)算線段的長而求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形,ADBC,DAF,ADBC,DAFAFB.AFB.四邊形四邊形BGHFBGHF內(nèi)接于圓內(nèi)接于圓, ,AFBAFBBGH,BGH,DAFDAFBGH.BGH.又又DFADFAHFGHFGHBG,HBG,DFADFAHBG.HBG.(2)(2)由由DCAGDCAG，得，得CFFBCFFBCDBGCDBG1212，那么那么ABAGABAG13.13.AEAE為圓的切線為圓的切線,AE2=AB,AE2=AB

12、AG.AG. AB AB3.3., 33AE (3)(3)由由(2)(2)知知ABAB3 3，AGAG9 9，又又ADAD6, 6, 過過A A作作AQDGAQDG于于Q,Q,由由 得得 由由AD2=DQDGAD2=DQDG得得 所以所以 故故tanHBGtanHBGtanHFGtanHFGtanQFAtanQFA 18. 18. .13DG31DF,133DG11DG AQAD AG22gg,131318AQ ,131312DQ ,1313QF FQAQ【反思【反思感悟】圓中線段的計(jì)算，經(jīng)常需求綜合類似三角形、直感悟】圓中線段的計(jì)算，經(jīng)常需求綜合類似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí)，經(jīng)過代

13、數(shù)化獲解角三角形、圓冪定理等知識(shí)，經(jīng)過代數(shù)化獲解. .加強(qiáng)對圖形的分加強(qiáng)對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問題的關(guān)鍵解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問題的關(guān)鍵 【變式訓(xùn)練】如圖，【變式訓(xùn)練】如圖，P P是平行四邊是平行四邊形形ABCDABCD的邊的邊ABAB的延伸線上一點(diǎn)，的延伸線上一點(diǎn)，DPDP與與ACAC、BCBC分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)E E、F F，EGEG是過是過B B、F F、P P三點(diǎn)圓的切線，三點(diǎn)圓的切線，G G為為切點(diǎn)，求證：切點(diǎn)，求證：EG=DE.EG=DE.【證明】由切割線定理得【證明】由切割線定理得EG2=EFEPEG2=EFEP，由四邊形由四邊形A

14、BCDABCD為平行四邊形可證為平行四邊形可證DEADEAFEC,FEC,DECDECPEA,PEA,從而從而 即即DE2=EFEPDE2=EFEP，于是，于是EG=DE.EG=DE.,EDEPCEAEFEDE 圓內(nèi)接四邊形的斷定及運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的斷定及運(yùn)用【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】四點(diǎn)共圓的斷定方法四點(diǎn)共圓的斷定方法斷定四點(diǎn)共圓，主要借助四邊形的對角互補(bǔ)或外角與內(nèi)對角的斷定四點(diǎn)共圓，主要借助四邊形的對角互補(bǔ)或外角與內(nèi)對角的關(guān)系進(jìn)展證明關(guān)系進(jìn)展證明. .【例【例2 2】(2021(2021新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷) )如圖，如圖，D D、E E分別為分別為ABCABC的邊的邊ABAB，ACAC

15、上的點(diǎn)，且不上的點(diǎn)，且不與與ABCABC的頂點(diǎn)重合的頂點(diǎn)重合. .知知AE=m,AC=n,AD,AE=m,AC=n,AD,ABAB的長是關(guān)于的長是關(guān)于x x的方程的方程x2-14x+mn=0 x2-14x+mn=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根. .(1)(1)證明：證明：C C、B B、D D、E E四點(diǎn)共圓；四點(diǎn)共圓；(2)(2)假設(shè)假設(shè)A=90A=90，且，且m=4,n=6m=4,n=6，求，求C C、B B、D D、E E所在圓的半徑所在圓的半徑. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)根據(jù)四點(diǎn)共圓的條件證之；根據(jù)四點(diǎn)共圓的條件證之；(2)(2)根據(jù)條件計(jì)算根據(jù)條件計(jì)算ADAD，ABAB的長后的長后

16、, ,類比三角形外接圓圓心確實(shí)定方法類比三角形外接圓圓心確實(shí)定方法, ,分別作分別作CECE和和DBDB的垂直平分線的垂直平分線, ,其交點(diǎn)即為圓心其交點(diǎn)即為圓心, ,再利用勾股定理求其半徑再利用勾股定理求其半徑. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)連結(jié)連結(jié)DEDE，根據(jù)題，根據(jù)題意，在意，在ADEADE和和ACBACB中，中，ADADAB=AB=mn=AEmn=AEAC,AC,即即 又又DAE=CAB,DAE=CAB,ADEADEACB,ACB,ADE=ACB,ADE=ACB,BDE+ACB=BDE+ADE=180BDE+ACB=BDE+ADE=180, ,CC、B B、D D、E E四

17、點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓. . .ABAEACAD(2)(2)當(dāng)當(dāng)m=4,n=6m=4,n=6時(shí)，時(shí)，AE=4,AC=6,AE=4,AC=6,而方程而方程x2-14x+mn=0 x2-14x+mn=0的兩根為的兩根為x1=2,x2=12.x1=2,x2=12.故故AD=2AD=2，AB=12,AB=12,取取CECE的中點(diǎn)的中點(diǎn)G,DBG,DB的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，分別過分別過G,FG,F作作ACAC，ABAB的垂線，的垂線，兩垂線相交于兩垂線相交于H H點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn)，連結(jié)DH.DH.由于由于C C、B B、D D、E E四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，所以所以C C、B B、D D、E E四點(diǎn)所在圓的圓心為四點(diǎn)所在圓

18、的圓心為H H，半徑為，半徑為DH. DH. 由于由于A=90A=90，故，故GHAB,HFACGHAB,HFAC，四邊形四邊形AFHGAFHG為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以HF=AG=5HF=AG=5，DF= (12-2)=5DF= (12-2)=5，所以所以 故故C C、B B、D D、E E四點(diǎn)所在圓的半徑為四點(diǎn)所在圓的半徑為 21. 25DH . 25【反思【反思感悟】感悟】1.1.此題中此題中, ,四邊形四邊形BCEDBCED外接圓的圓心不是外接圓的圓心不是BCBC的的中點(diǎn)中點(diǎn), ,應(yīng)是各邊中垂線的交點(diǎn)應(yīng)是各邊中垂線的交點(diǎn), ,但因相交兩直線只需一個(gè)公共點(diǎn)但因相交兩直線只需一個(gè)

19、公共點(diǎn), ,故只需作出兩邊的垂直平分線即可確定其位置故只需作出兩邊的垂直平分線即可確定其位置. .2.2.從此題的證明過程可知從此題的證明過程可知, ,四點(diǎn)共圓的斷定方法除了四點(diǎn)共圓的斷定方法除了“對角互對角互補(bǔ)這一條件外補(bǔ)這一條件外, ,還可從還可從“外角等于內(nèi)對角、外角等于內(nèi)對角、“同底同側(cè)且同底同側(cè)且同底所對的角相等的三角形以及割線定理、相交弦定理的逆同底所對的角相等的三角形以及割線定理、相交弦定理的逆命題等條件來判別得之命題等條件來判別得之. .即有以下結(jié)論：即有以下結(jié)論：(1)(1)同底同側(cè)且同底所對的角相等的三角形，各頂點(diǎn)共圓同底同側(cè)且同底所對的角相等的三角形，各頂點(diǎn)共圓(2)(2

20、)假設(shè)四邊形假設(shè)四邊形ABCDABCD的對角線相交于的對角線相交于P P，且，且PAPC=PBPDPAPC=PBPD，那，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(3)(3)假設(shè)四邊形假設(shè)四邊形ABCD ABCD 的一組對邊的一組對邊ABAB、DCDC的延伸線相交于的延伸線相交于P P，且，且PAPBPAPBPCPDPCPD，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓【變式訓(xùn)練】如圖，知【變式訓(xùn)練】如圖，知ABCABC的的兩條角平分線兩條角平分線ADAD和和CECE相交于相交于H H，BB6060，F(xiàn) F在在ACAC上，且上，且AE=AFAE=AF(1)(1)證明：證明：B B，D D，H H，

21、E E四點(diǎn)共圓；四點(diǎn)共圓；(2)(2)證明：證明：CECE平分平分DEFDEF【證明】【證明】 (1) (1)在在ABCABC中，中，B=60B=60，BAC+BCA=120BAC+BCA=120ADAD，CECE是是ABCABC的角平分線，的角平分線，HAC+HCA=60HAC+HCA=60，AHC=120AHC=120 EHD=AHC=120EHD=AHC=120EBD+EHD=180EBD+EHD=180，BB，D D，H H，E E四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓(2)(2)連結(jié)連結(jié)BHBH，那么，那么BHBH為為ABCABC的平分線，得的平分線，得HBD=30HBD=30由由(1)(1)知知B B，

22、D D，H H，E E四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，CED=HBD=30CED=HBD=30又又AHE=EBD=60AHE=EBD=60，由知可得，由知可得EFADEFAD，可得可得CEF=30CEF=30CECE平分平分DEFDEF 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及運(yùn)用【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的運(yùn)用及本卷須知圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的運(yùn)用及本卷須知(1)(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理, ,可以直接得到圓內(nèi)接四邊形可以直接得到圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角. .它們是圓中探求角相等或它們是圓中探求角相等或互

23、補(bǔ)關(guān)系時(shí)的常用定理，同時(shí)也是轉(zhuǎn)移角的常用方法互補(bǔ)關(guān)系時(shí)的常用定理，同時(shí)也是轉(zhuǎn)移角的常用方法(2)(2)運(yùn)用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)留意察看圖形、分析圖形，不要弄錯(cuò)四運(yùn)用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)留意察看圖形、分析圖形，不要弄錯(cuò)四邊形的外角和它的內(nèi)對角的相互對應(yīng)位置邊形的外角和它的內(nèi)對角的相互對應(yīng)位置. .【例【例3 3】知：如下圖，在等腰三角形】知：如下圖，在等腰三角形ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEDE平分平分ADBADB交交ABAB于于E E，過，過A A、D D、E E的圓交的圓交BDBD于于N.N.求證：求證：BNBN2AE.2AE.【解題指南】要證【解題指南】要證B

24、NBN2AE2AE，由知有，由知有ABABACAC2AD2AD，如能有如能有 成立，那么問題得證，這樣問題轉(zhuǎn)化為證成立，那么問題得證，這樣問題轉(zhuǎn)化為證四條線段成比例，又四條線段成比例，又AEAENENE，所以只需證，所以只需證BNBN、NENE、ABAB、ADAD確定確定的兩個(gè)三角形類似，即證的兩個(gè)三角形類似，即證BNEBNEBAD. BAD. 2ADABAEBN【規(guī)范解答】連結(jié)【規(guī)范解答】連結(jié)EN,EN,四邊形四邊形AENDAEND是圓內(nèi)接四邊形是圓內(nèi)接四邊形, ,BNEBNEA.A.又又EBNEBNABD,ABD,BNEBNEBAD, BAD, AB=AC,AC=2AD,AB=AC,AC=2AD,AB=2ADAB=2AD，BN=2EN.BN=2EN.又又ADEADENDE,NDE,AE=EN,BNAE=EN,BN2AE.2AE.ADABENBNAE EN,【反思【反思感悟】感悟】“圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理使圓中的角的家圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理使圓中的角的家族中添加了新的成員族中添加了新的成員, ,即在即在“圓心角、圓周角、弦切角的根圓心角、圓周角、弦切角的根底上添加了四邊形的底上添加了四邊形的“外角、內(nèi)對角外角、內(nèi)對角, ,從而在證明類似圖形從而在證明類似圖形的條件中的條件中, ,添加了化歸的方法添加了化歸的方法, ,產(chǎn)生了更多的變化產(chǎn)生了更多的變化. .【變式訓(xùn)練】知