江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)〖答案〗C〖解析〗集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)的集合，集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的集合，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓及函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，圓及函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以有3個(gè)元素，共有個(gè)真子集.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，設(shè)，則，顯然，所以點(diǎn)第一象限，A正確.故選：A.3.某考生參加某高校的綜合評(píng)價(jià)招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分?jǐn)?shù)由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為77，則該名考生的面試平均得分為（）A.79 B.80 C.81 D.82〖答案〗B〖解析〗由題意知，下四分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?所以，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.若單位向量滿足，向量滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，依題意，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，令，由，得C在以為直徑的圓上，該圓的方程為，設(shè)，即，則，所以的最小值為.故選：D.6.設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，，若，則正整數(shù)的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021〖答案〗C〖解析〗由，兩邊取倒數(shù)可得：，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2022．故選：C.7.已知雙曲線，在雙曲線C上任意一點(diǎn)處作雙曲線C的切線（），交C在第一、四象限的漸近線分別于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)雙曲線C在點(diǎn)P處的切線為l，切線l與x軸交于點(diǎn)D，根據(jù)題意點(diǎn)P在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點(diǎn)的切線斜率為，所以在點(diǎn)的切線方程為，令，得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，B解得，所以點(diǎn)，同理可得，又，，所以點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.8.在中，且均為整數(shù)，D為AC中點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗在中，由，得，即，則，由為整數(shù)，得，，，整理得，而，且均為整數(shù)，則，由，解得，由，解得，由正弦定理得，則，由D為AC中點(diǎn)，得，則，所以.故選：D.三、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是梯形B.存在點(diǎn)P，使得平面C.若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D.若直線D1P與平面BEF無公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，連接，，分別是棱，的中點(diǎn)，則，且，又，則，且，因此過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為梯形，A正確；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對(duì)于B,，若存在點(diǎn)，使得平面，則，于是，即，無解，因此不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面平面，則，若點(diǎn)到直線與到直線的距離相等，則，平方整理得，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，C正確；對(duì)D，依題意，平面，因此點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平面平行的平面交正方形所得線段，而，則，令，得；令，得，線段的中點(diǎn)，于是P點(diǎn)軌跡為線段，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.芯片時(shí)常制造在半導(dǎo)體晶元表面上．某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn)．部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)．記A表示事件“某芯片通過智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取M個(gè)，這M個(gè)芯片中恰有m個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.取得最大值時(shí)，M的估計(jì)值為54〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由題意可知：，故A正確；對(duì)于B，由，則，又，于是，即，因此，即，則，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.麥克斯韋妖(Maxwell’sdemon)，是在物理學(xué)中假想的妖，能探測(cè)并控制單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，是第二類永動(dòng)機(jī)的一個(gè)范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量x所有取值為1，2，…，n，且，，定義X信息熵，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，若，則與正相關(guān)C.若，則D.若，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1，2，…，m，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A,若,則,因此正確；對(duì)于,當(dāng)時(shí),令,則即函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以與正相關(guān)，B正確;對(duì)于,則,則,而,于是令則,兩式相減得，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于由于Pi>0(i=1,2,?,2m)則log2因此Pi所以,所以成立,D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為__________．〖答案〗〖解析〗正四棱臺(tái)的對(duì)角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺(tái)的高，在等腰梯形中，，因?yàn)?，則該梯形的高，所以該棱臺(tái)的體積為.13.已知拋物線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)A，拋物線與直線(e為自然常數(shù))在第四象限的交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為________．〖答案〗〖解析〗由，解得或，即點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，解得，即，點(diǎn)到直線的距離，而，所以的面積.14.已知函數(shù)滿足，且，則______．〖答案〗或2021〖解析〗令，則，令，則，解得或.而，故.因此.則，即，因此或當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求b的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取極大值，滿足題意，所以.（2）依題意，在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，因此在上恒成立，而當(dāng)時(shí)，，則，所以b的取值范圍是.16.4月19日是中國(guó)傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國(guó)將這天定為“聯(lián)合國(guó)中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉(cāng)頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進(jìn)聯(lián)合國(guó)六種官方語言平等使用．某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識(shí)競(jìng)賽，每位留學(xué)生隨機(jī)抽取問題并依次作答，其中每個(gè)問題的回答相互獨(dú)立．若答對(duì)一題記2分，答錯(cuò)一題記1分，已知甲留學(xué)生答對(duì)每個(gè)問題的概率為，答錯(cuò)的概率為．（1）甲留學(xué)生隨機(jī)抽取題，記總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機(jī)抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ⅱ）記甲留學(xué)生已答過的題累計(jì)得分恰為分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）依題意可得的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為所以.（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機(jī)抽取道題，總得分恰為分，即道題均答對(duì)了，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.（ⅱ）依題意可得，，，當(dāng)時(shí)，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，又，所以，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)、上式也成立，所以.17.如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點(diǎn)，滿足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線？如果有請(qǐng)求出的值，否則請(qǐng)說明理由；（3）若，求直線與直線所成最大角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋訫是線段上的中點(diǎn)，因此有，因?yàn)槭蔷匦危琋是線段上的中點(diǎn)，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，即，而平面，所以平面，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立，因此不存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設(shè)，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.18.已知雙曲線與曲線有4個(gè)交點(diǎn)（按逆時(shí)針排列）（1）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值；（3）求四邊形面積的最大值．附：若方程有4個(gè)實(shí)根，，，，則，．（1）解：當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，理由如下：此時(shí)，又，，由，故四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，且⊥，為正方形；（2）證明：，將代入，，化簡(jiǎn)得，設(shè)，由“公式”知，，故．（3）解：記，，，．當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，設(shè)，．當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形取等．當(dāng)在外部時(shí)，設(shè)，.綜上，四邊形面積最大值為8．19.稱是的一個(gè)向往集合，當(dāng)且僅當(dāng)其滿足如下兩條性質(zhì)：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，稱包含的最小向往集合稱為的生成向往集合，記為.（1）求滿足的正整數(shù)的值；（2）對(duì)兩個(gè)向往集合，定義集合.（i）證明：仍然是向往集合，并求正整數(shù)，滿足；（ii）證明：如果，則.（1）解：設(shè).注意到，所以，又，所以注意到集合，并且是向往集合，根據(jù)生成向往集合