第114855號第二章21-24期末總復(fù)習(xí)

1、(一一) 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個底角相等。：等腰三角形的兩個底角相等。(2)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。底邊上的高互相重合。2.判定判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。形。等邊三角形等邊三角形: 1 , 三個角都相等的三角形是等邊三角形。三個角都相等的三角形是等邊三角形。 2 , 有一個角等于有一個角等于60的等腰三角形是等邊的等腰三角形

2、是等邊三角形。三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半(一一)v等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用（1）計算角的度數(shù)）計算角的度數(shù)（2）證明線段或角相等）證明線段或角相等v以等腰三角形為條件時的常用輔助線以等腰三角形為條件時的常用輔助線:v如圖：若如圖：若AB=ACv作作ADBC于于D，必有結(jié)論，必有結(jié)論:1=2，BD=DCv若若BD=DC，連結(jié)，連結(jié)AD，必有結(jié)論：，必有結(jié)論：1=2，ADBCv作作AD平分平分BAC必有結(jié)論：必有結(jié)論：ADBC，BD=DCv作輔

3、助線時，一定要作滿足其中一個性質(zhì)作輔助線時，一定要作滿足其中一個性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個性質(zhì)，不能的輔助線，然后證出其它兩個性質(zhì)，不能這樣作：作這樣作：作ADBC，使，使1=2.ABCD1 2v例例1 已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。分析：我們首先在草稿上畫好一個示意圖，然后對照此圖寫出已知和求作并構(gòu)思整個作圖過程已知：線段已知：線段a、h求作：求作：ABC，使，使AB=AC=a，高，高AD=h作法：作法：1、作、作PQMN，垂足為，垂足為D2、在、在DM上截取上截取DA=h3、以點、以點A為圓心，以為圓心，以a為半徑作弧，交為半徑作弧，交PQ

4、于點于點B、C4、連結(jié)、連結(jié)AB、AC則則ABC為所求的三角形。為所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例例2 2：上午：上午10 10 時，一條船從時，一條船從A A處出發(fā)以處出發(fā)以2020海里每小時的速度向正北航行，中海里每小時的速度向正北航行，中午午1212時到達(dá)時到達(dá)B B處，從處，從A A、B B望燈塔望燈塔C C，測，測得得NAC=40NAC=40， NBC=80NBC=80求從求從B B處處到燈塔到燈塔C C的距離的距離解：解：NBC=A+CNBC=A+CC=80C=80- 40- 40= 40= 40 BA=BC BA=BC（等角對等邊）（等角對等邊）AB=20AB=2

5、0（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B處到達(dá)燈塔處到達(dá)燈塔C40C40海里海里ABN80804040C例例3.如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC，BDAC于于D，CEAB于于E，BD與與CE相交于相交于M點。求證：點。求證：BM=CM。v證明：證明：AB=ACvABC=ACB（等邊對等角）（等邊對等角）vBDAC于于D，CEAB于于EvBEC=CDB=90v1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形（直角三角形兩個銳角互余）兩個銳角互余）v1=2（等角的余角相等）（等角的余角相等）vBM=CM（等角對等邊）（等角對等邊）ABCD12EM說明：

6、本題易習(xí)慣性地用說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強等腰三角形的性當(dāng)多加強等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。在在ABCABC中中,ABC=ACB,ABC=ACB，BOBO平分平分ABCABC CO CO平分平分ACB,ACB,過過O O點作點作EF,EF,使使EFBC,EFBC,且且EBO=30AOB CEF 例例5.已知：如圖，已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC.請說明請說明AC= BD的理由的理由.ABCD21在，則說明理由。把它找出來；若不存必然關(guān)系？若存在，則之間的和，是否存在

7、與底邊所夾的角為，一腰上的高線設(shè)等腰三角形頂角為例6 2分類思想分類思想從特殊到一般從特殊到一般，求底邊上的高線長。，求底邊上的高線長。，腰長為，腰長為的夾角為的夾角為腰上的高線與另一腰腰上的高線與另一腰變式一：等腰三角形一變式一：等腰三角形一a 30aAD23 aAD21 例例7.已知：如圖，已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E分別在分別在BC和和AC上，且上，且BD=CE，M是是AB的中點的中點.求證：求證：MDE是等腰三角形是等腰三角形.v分析：要證MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用BMD CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)證明：連結(jié)CMC=90，BC=ACA=B=45M

8、是是AB的中點的中點CM平分平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角對等邊）（等角對等邊）在在BDE和和CEM中中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEMMDE還是什么三角形？還是什么三角形？例例8.如圖，在等邊如圖，在等邊ABC中，中，AF=BD=CE，請說明請說明DEF也是等邊三角形的理由也是等邊三角形的理由.v解：ABC是等邊三角形vAC=BC，A=CvCE=BDvBCBC=ACCEvCD=AEv在AEF和CD

9、E中vAEF CDE（SAS）vEF=DEv同理可證EF=DFvEF=DE=DFvDEF是等邊三角形CEAFCACDAEABCDEF說明：證明等邊三角形有三種思路：說明：證明等邊三角形有三種思路：證明三邊相等證明三邊相等證明三角相等證明三角相等證明三角形是有一個角為證明三角形是有一個角為60的等腰三角形。的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。求解。例例9 .如圖如圖2-8-1,中，中，AB=AC，D為為AB上一點，上一點，E為為AC延延長線上一點，且長線上一點，且BD=CE，DE交交BC于于G請說明請說明DG=EG的理由的理由.v思路思路 因為GDB和

10、GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個與GEC全等的三角形。說明說明 本題易明顯得出本題易明顯得出DG和和EG所在的所在的DBG和和ECG不不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作作EFBD，交，交BC的延長線于的延長線于F，證明，證明DBG EFG，同學(xué)們不妨試一試。同學(xué)們不妨試一試。v1. 下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（ ）v（ 1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 線、角平分線重合；線、角平分線重合；v（ 2）等腰三角形兩底角）等腰三角形兩底角 的外角相等；的外角相等； v（ 3）等腰三角形有且只有一

11、條對稱軸；）等腰三角形有且只有一條對稱軸；v（ 4）有一個角等于）有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角的等腰三角形是等邊三角形。形。v （A）0個個 （B）1個個 （C）2個個 （D）3個個2.等腰三角形頂角為等腰三角形頂角為36，底角為，底角為_。3.等腰三角形頂角和一個底角之和為等腰三角形頂角和一個底角之和為100，則頂角，則頂角度數(shù)為度數(shù)為_。4.等腰三角形兩個角之比為等腰三角形兩個角之比為4:1，則頂角為，則頂角為_，底角為，底角為_。5.等腰三角形兩邊長為等腰三角形兩邊長為4、6，這個三角形周長為，這個三角形周長為_。6.已知已知ABC中中AB=AC，AB垂直平分線交垂直平分線交A

12、C于于E，交交AB于于D，連結(jié)，連結(jié)BE，若，若A=50，EBC=_。7.ABC中，中，AB=AC，ADBC于于D，若，若ABC的的周長為周長為50，ABD的周長為的周長為40，則，則AD=_。8.若等腰三角形頂角為若等腰三角形頂角為n度，則腰上的高與底邊的夾度，則腰上的高與底邊的夾角為角為_。9.9.如圖，線段如圖，線段ODOD的一個端點的一個端點O O在直線在直線a a上，以上，以O(shè)DOD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個上，這樣的等腰三角形能畫多少個? ?150a1010、如圖，如圖，D D是正是正ABCABC邊邊ACAC上的中點，上的中點，E E是是BCBC延長線上一點，且延長線上一點，且CE=CDCE=CD，請說明，請說明BD=DEBD=DE的理由的理由. .AB C ED1 12 2解: ABCABC是正三角形是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D D是是ACAC邊上的中點邊上的中點 1= ABC=300（ ）12CE=CD2= E（ ） 2+ E= ACB