例731下面給出的是文獻(xiàn)和文獻(xiàn)[Joh8

1、號(hào)為16 A的濾波器的單位抽樣響應(yīng)，即ACO) = 0. 001 050 167 0 = A(15>,AC2) -0,002 589 756 0 = A(13).A(4) =0,009 666 375 0A(6> = 0. 097 798 170 =舟.A(l) = -0. 005 054 526 0 = A(14)*A(3) = 0,027 641 400 二 A(12)t=-0,090 3&2 230(10)>h(7) = 0.481 028 40 二 h.由該抽樣響應(yīng)求出的 H0(z)，以及由 比心)=日0(7)求出的H,(z)的對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)， 圖7. 3. 3

2、(a)所示，二者幅平方之和的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖7. 3. 3(b)所示，可見它們?cè)?c之內(nèi)不完全等于 0。實(shí)現(xiàn)本例的MATLAB程序是exa070301. m。% exa070301 , for example 7.3.1 and fig 7.3.3;%計(jì)算和顯示利用Johnston優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的濾波器的頻率響應(yīng)% 濾波器序號(hào)：16A%clear;h0=0.001050167,-0.005054526,-0.002589756,0.0276414,-0.009666376,-0.09039223,.0.09779817,0.4810284,0.4810284,0.09779817,-0.0

3、9039223,-0.009666376,.0.0276414,-0.002589756,-0.005054526,0.001050167;Fs=1;h1=qmf(h0,1);H0,w= freqz(h0,1,256,Fs);H1,w= freqz(h1,1,256,Fs);subplot(221)h0=abs(H0);h1=abs(H1);ah0=20*log10(h0+0.000000001);ah1= 20*log10(h1+0.000000001); plot(w,ah0,'k-',w,ah1,'b-');grid on;sumh=h0.*h0+h1.*

4、h1;sum=10*log10(sumh);subplot(222)plot(w,sum);grid; I L _ 040朝圖7. 3. 3序號(hào)為16 A的濾波器的幅頻特性(a) H o( z)和H! 的對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)；(b) H °(z)和H/ z)對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)之和7. 3. 3 IIR標(biāo)準(zhǔn)正交鏡像濾波器組在7. 3. 1節(jié)已指出，如果要去除幅度失真，失真?zhèn)鬟f函數(shù)T(z)就必須是全通系統(tǒng)。由(7. 3. 8)式可知，若T(z)是全通的，則Eo(z),E!(z)必然是IIR的，且它們也都應(yīng)該是全通的。為了探討可去除幅度失真的H0(z), H,z)的構(gòu)造方法，現(xiàn)令1 1 Eo(z) a。

5、(z),E1 z)印那么H°(z)可由(7. 3. 18a)式的兩個(gè)幅度為1的全通分量來構(gòu)造。顯然，定理7. 3. 2是定理7. 3. 1的逆命題。有關(guān)該定理的證明見文獻(xiàn)Vai93。定理7. 3 . 3如果低通濾波器 Ho(z)具有如下特點(diǎn)： 它是一個(gè)橢圓濾波器，其階次N為奇數(shù)； 在通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)滿足1 - 2ip c I H(孑)K 1,0 W 如冬叫 |I H (L) | W 底 * M tu W it J 通帶和阻帶的邊緣頻率及紋波再滿足叫二朮一叫*昴=4(1 那么Ho(z)可按(7 . 3 . 18a)式由兩個(gè)幅度為1的全通函數(shù)來構(gòu)造，并且 H°(z)的極點(diǎn)

6、都在 單位圓內(nèi)的虛軸上。定理7 . 3 . 3實(shí)際上給出了可構(gòu)成IIR QMFB的H°(z)的構(gòu)造方法。其中，條件限定了 H°(z)是橢圓濾波器，并且它的階次N 定是奇數(shù)。要求階次為奇數(shù)的理由已在定理7 . 3 . 1中說明，橢圓濾波器可以用MATLAB中的m文件ellipord和ellip來設(shè)計(jì)。文通帶內(nèi)是等紋波的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的，因此不適合作(7. 3. 18a)式的分解。條件是橢圓濾波器通帶和阻帶紋波的特點(diǎn)，如圖7. 3. 5所示(圖中給出的是幅平方特性)。根據(jù)橢圓濾波器通帶和阻帶紋波的特點(diǎn)以及濾波器功率對(duì)稱的需要，因此有了條件。在定理7. 3. 3的結(jié)論中，極

7、點(diǎn)都在虛軸上是由于H0(z)是橢圓濾波器且滿足功率對(duì)稱所決定的，極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)是系統(tǒng)穩(wěn)定所要求的。現(xiàn)舉例說明可構(gòu)成IIR QMFB的Ho(z)的設(shè)計(jì)方法，并說明 a0(z),adz)的構(gòu)造方法。例7. 3. 2試設(shè)計(jì)一個(gè)階次為奇數(shù)的橢圓濾波器H。，使其可構(gòu)成IIR QMFB，即可去除濾波器組的幅度失真。若叫=0。42兀，6s= 0。02,試求出全通函數(shù)a0(z), a!(z).解 由定理7. 3. 3的條件，可求出-.s= 0.58二，：p= 0.00010001利用MATLAB中的ellipord，可求出階次 N=6，為偶數(shù)。仔細(xì)檢查ellipord可知，該 m文件在求階次時(shí)使用了向上舍入

8、取整的 m文件ceil。若不舍入，在本題所給技術(shù)條件下的階次 N=5.154 7。 為此，稍微增加阻帶紋波，如令 飛=0.023,求出；p=0.000132267及階次N=4 . 998 2,經(jīng) 向上舍入時(shí)，得 N=5。按照調(diào)整后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出的* f 6 113 1 + 0* 3T習(xí)十8丁 +Q 5軸程十0* 3丁罷卡 g 垃3, W”1+ L011 5®+ 0.198 5t_l其通帶和阻帶的衰減分別為吟=20lm( I 2 ) 0. 002 3 (dH)毎=201(缶)工 32* 765 4 (dB)H°(z)的幅頻響應(yīng)和極零圖分別如圖7 . 3 . 6(a)和(b)

9、所示。由圖(b)可以看出，該濾波器的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的虛軸上。圖(c)給出的是H0(z)，H1(z)的對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)，單位是2 * 2dB，由該圖可以看出，二者是關(guān)于= 0.25對(duì)稱的。圖(d)是 H°(e鬥 + H,e鬥 取對(duì)2兀數(shù)后的曲線，單位也是dB，由該圖可以看出，除了在0.25處的值為0 . 001 3 dB夕卜，2兀在整個(gè)頻帶內(nèi)都等于0。將圖7 . 3 . 6(d)和圖7 . 3 . 3(b)相比較可以看出，圖 7 . 3 . 6(d)更好地體現(xiàn)了功率互補(bǔ)的特點(diǎn)。IDoflBP-、_ry<-.'-rM 二hp,-三.:3F5:; r'JiF圖7. 3.

10、 6橢圓濾波器H0(z)的幅頻特性、相頻特性、極零圖及功率互補(bǔ)特性實(shí)現(xiàn)本例的 MATLAB程序是exa070302. m。% exa070302 , for example 7.3.2 and fig 7.3.6;%說明如何設(shè)計(jì)橢圓濾波器及計(jì)算和顯示功率互補(bǔ)IIR濾波器的頻率響應(yīng)%clear;wp=0.42;ws=1-wp;Fs=1;delta2=0.023;delta1=0.5-0.5*sqrt(1-delta2*delta2)rp=-20*log10(1-2*delta1)rs=-20*log10(delta2)n,wn =ellipord(wp,ws,rp,rs)b,a=ellip( n

11、,rp,rs,w n)H0,w=freqz(b,a,256,Fs);absH0=abs(H0);subplot(221)plot(w,absH0);grid;subplot(222) zpla ne(b,a)h0=impz(b,a,125);h仁qmf(hO,1);H1,F= freqz(h1,1,256,Fs); absH1=abs(H1);subplot(223) ah0=20*log10(absH0);ah1= 20*log10(absH1);plot(F,ahO,'k-',F,ah1,'b-');grid on;sumh=absH0.*absH0+abs

12、H1.*absH1;sum=10*log10(sumh);subplot(224)plot(w,sum);grid;z,p,k=tf2zp(b,a)Ho(z)有五個(gè)極點(diǎn)，它們都位于單位圓內(nèi)的虛軸上(由于計(jì)算中的誤差，極點(diǎn)和H°(z)分母多項(xiàng)式中z的奇次幕的系數(shù)不完全為零 )，即4 = 士 pL 5 6 003630 805 7315±j0. 863 328 885 795 957文獻(xiàn)Vai93，文 獻(xiàn)MitO1及文獻(xiàn)Gas85討論了如 何分配H0(z)的極 點(diǎn)以得 到a0(z), a,z)的方法，并稱之為極點(diǎn)間取 (pole-interlacing)法。此處不討論該方法，僅

13、給出五階、七階橢圓濾波器極點(diǎn)分配的方法。2 2 對(duì)五階橢圓濾波器，應(yīng)將極點(diǎn)z2,4分配給a°(z )，將極點(diǎn)43,5分配給adz )。這里下標(biāo)中有兩個(gè)數(shù)字的表示相應(yīng)的兩個(gè)極點(diǎn)互成共軛。對(duì)本例，有.八 _3 +乩 266 259 7461+0. 266 259 746z 2HO, 715 38乜 '.J(6 7<u 0.715 :336F63因此這和本例開始時(shí)求的H0(z)的結(jié)果是一樣的。讀者不難看出，不論是a0(z),a1(z),22還是a°(z ),ai(z )，它們都是幅度為1的全通系統(tǒng)。將ao(z ),ai(z )代入(7. 3. 20)式，有T(z)266 259 746 工'+6“5 336 763_ 2 +0； 266 259 716z 1 1 + 0. 745 336 763r顯然，它是一個(gè)全通系統(tǒng)。對(duì)七階橢圓濾波器，將極點(diǎn)按模由小到大排序， 即有z1, z,5, z3,6z4,7那么應(yīng)將z2,5, z4,7分配給a°(z2)，將耳乙,6分配給ai(z2)。以上討論給出了功率互補(bǔ)IIR濾波器=H0(z)的設(shè)計(jì)方法，給出了將 H0(z)分解為兩個(gè)全通系統(tǒng)的理論依據(jù)。 實(shí)際上，這一分解的主要目的是考慮在濾波器組的實(shí)現(xiàn)中能應(yīng)用全 通系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)上的一些優(yōu)點(diǎn)，即