古典概型（一）

1、練習(xí)：練習(xí)：1.公式公式P(ABB)=P(A)+P(B)成立的前提條件是成立的前提條件是 。2.若事件若事件A與事件與事件B是互為對(duì)立事件，則是互為對(duì)立事件，則P(A)= 。A與與B互斥互斥1- -P(B)例如：在拋擲一枚硬幣觀察哪個(gè)面向上的試驗(yàn)中，例如：在拋擲一枚硬幣觀察哪個(gè)面向上的試驗(yàn)中， “正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上”這兩個(gè)事件就是基本事件；又如，在擲骰子的試驗(yàn)中，這兩個(gè)事件就是基本事件；又如，在擲骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)出現(xiàn)“1點(diǎn)點(diǎn)”、“2點(diǎn)點(diǎn)”、“3點(diǎn)點(diǎn)”、“4點(diǎn)點(diǎn)”、“5點(diǎn)點(diǎn)”、“6點(diǎn)點(diǎn)”這這6個(gè)事件也是基本事件。個(gè)事件也是基本事件。 在一個(gè)試驗(yàn)可能發(fā)生的所有結(jié)果中，那些不

2、能再在一個(gè)試驗(yàn)可能發(fā)生的所有結(jié)果中，那些不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱(chēng)為分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件基本事件。( (其他事件都可其他事件都可由基本事件來(lái)描述由基本事件來(lái)描述) )基本事件的特點(diǎn)：基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；（2）任何事件都可以表示成基本事件的和。）任何事件都可以表示成基本事件的和。例例1.（1）在擲骰子的試驗(yàn)中，事件）在擲骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的的倍倍 數(shù)數(shù)”是哪些基本事件的并事件？是哪些基本事件的并事件？ （2）從字母）從字母a,b,c,d中任意選出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中任意選出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn) 中，有

3、哪些基本事件？中，有哪些基本事件？解解： （1）出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)的倍數(shù) =出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是4 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是6 （2）所求的基本事件有：）所求的基本事件有： A=a,b， B=a,c， C=a,d， D=b,c， E=b,d， F=c,d。 類(lèi)似拋擲硬幣和擲骰子這樣的試驗(yàn)，它們都具有以下類(lèi)似拋擲硬幣和擲骰子這樣的試驗(yàn)，它們都具有以下的共同特點(diǎn)：的共同特點(diǎn)：（1） 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)有限個(gè)；（2） 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等可能性相等。 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模

4、型稱(chēng)為我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型古典概型。思考：思考：在古典概型下，基本事件出現(xiàn)的概率是多少？隨在古典概型下，基本事件出現(xiàn)的概率是多少？隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計(jì)算？機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計(jì)算？答答：（：（1）若該古典概型共有若該古典概型共有n個(gè)基本事件，則每一個(gè)基本事件發(fā)個(gè)基本事件，則每一個(gè)基本事件發(fā) 生的概率都為生的概率都為1/ /n； （2）因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)事件都可看成若干個(gè)基本事件的并事件，）因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)事件都可看成若干個(gè)基本事件的并事件， 而基本事件之間是互斥的關(guān)系，所以若一隨機(jī)事件是而基本事件之間是互斥的關(guān)系，所以若一隨機(jī)事件是m 個(gè)基本事

5、件的并事件，則該事件發(fā)生的概率為個(gè)基本事件的并事件，則該事件發(fā)生的概率為m/ /n.思考：思考：在古典概型下，隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計(jì)算？在古典概型下，隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計(jì)算？例如例如.在擲骰子的試驗(yàn)中，事件在擲骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)的倍數(shù)”發(fā)生發(fā)生 的概率是多少？的概率是多少？解：因?yàn)樵跀S骰子的試驗(yàn)中解：因?yàn)樵跀S骰子的試驗(yàn)中 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)的倍數(shù) =出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是4出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是6 而這而這3個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是1/ /6，所以，所以 P(“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2的倍

6、數(shù)的倍數(shù)”) =P(“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是2”)+ P(“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是4”)+ P(“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是6”) =1/ /2因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)事件都可看成若干個(gè)基本事件的并事件，而基本因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)事件都可看成若干個(gè)基本事件的并事件，而基本事件之間是互斥的關(guān)系，所以若一隨機(jī)事件是事件之間是互斥的關(guān)系，所以若一隨機(jī)事件是m個(gè)基本事件的個(gè)基本事件的并事件，則該事件發(fā)生的概率為并事件，則該事件發(fā)生的概率為m/ /n.（n為基本事件的總數(shù)）為基本事件的總數(shù)）對(duì)于古典概型，任何事件對(duì)于古典概型，任何事件A發(fā)生的概率為：發(fā)生的概率為：( )AP A 包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)例例2. 2. 單選

7、題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A、 B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案, ,如果考如果考 生掌握了考察的內(nèi)容，它可以選擇唯一正確的答生掌握了考察的內(nèi)容，它可以選擇唯一正確的答 案案，假設(shè)考生不會(huì)做，他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案，假設(shè)考生不會(huì)做，他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案， 問(wèn)他答對(duì)的概率是多少？問(wèn)他答對(duì)的概率是多少？解：這是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有解：這是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有4個(gè)：選擇個(gè)：選擇A、選擇選擇B、選擇、選擇C、選擇、選擇D，即基本事件只有，即基本事件只有4個(gè)，考生隨機(jī)的選個(gè)，考生隨機(jī)的選擇一個(gè)答

8、案是選擇擇一個(gè)答案是選擇A、B、C、D的可能性是相等的，由古典概的可能性是相等的，由古典概型的概率計(jì)算公式得：型的概率計(jì)算公式得： P （ “答對(duì)答對(duì)” ）= “答對(duì)答對(duì)”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)所包含的基本事件的個(gè)數(shù) 4 =1/4=0.25 （1）假設(shè)有）假設(shè)有20道單選題，如果有一個(gè)考生答對(duì)了道單選題，如果有一個(gè)考生答對(duì)了17道題，道題， 他是隨機(jī)選擇的可能性大，還是他掌握了一定的知他是隨機(jī)選擇的可能性大，還是他掌握了一定的知 識(shí)的可能性大識(shí)的可能性大？答：他掌握了一定的知識(shí)的可能性較大。答：他掌握了一定的知識(shí)的可能性較大。（2）在標(biāo)準(zhǔn)化的考試中既有單選題又有不定項(xiàng)選擇題，不）在標(biāo)準(zhǔn)化的考試

9、中既有單選題又有不定項(xiàng)選擇題，不 定項(xiàng)選擇題從定項(xiàng)選擇題從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確 答案，同學(xué)們可能有一種感覺(jué)，如果不知道正確答案，答案，同學(xué)們可能有一種感覺(jué)，如果不知道正確答案， 多選題更難猜對(duì)，這是為什么？多選題更難猜對(duì)，這是為什么？思考：思考：我們探討正確答案的所有結(jié)果：我們探討正確答案的所有結(jié)果：如果只要一個(gè)正確答案是對(duì)的，則有如果只要一個(gè)正確答案是對(duì)的，則有4種；種；如果有兩個(gè)答案是正確的，則正確答案可以是（如果有兩個(gè)答案是正確的，則正確答案可以是（A、B）（）（A、C）（）（A、D）（）（B、C）(B、D) (C、D)6種種如果有三個(gè)答案是正確的，

10、則正確答案可以是（如果有三個(gè)答案是正確的，則正確答案可以是（A、B、C） （A、B、D） （A、C、D）（）（B、C、D）4種種所有四個(gè)都正確，則正確答案只有所有四個(gè)都正確，則正確答案只有1種。種。正確答案的所有可能結(jié)果有正確答案的所有可能結(jié)果有464115種，從種，從這這15種答案中任選一種的可能性只有種答案中任選一種的可能性只有1/15，因此更，因此更難猜對(duì)。難猜對(duì)。例例3 同時(shí)擲兩個(gè)骰子同時(shí)擲兩個(gè)骰子,計(jì)算：計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？的結(jié)果有多少種？ （3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是）向上的點(diǎn)數(shù)之

11、和是5的概率是多少？的概率是多少？1點(diǎn)點(diǎn) 2點(diǎn)點(diǎn) 3點(diǎn)點(diǎn) 4點(diǎn)點(diǎn) 5點(diǎn)點(diǎn) 6點(diǎn)點(diǎn)1點(diǎn)點(diǎn)2345672點(diǎn)點(diǎn)3456783點(diǎn)點(diǎn)4567894點(diǎn)點(diǎn)56789105點(diǎn)點(diǎn)678910116點(diǎn)點(diǎn)789101112解解：（1）擲一個(gè)骰子的結(jié)果有）擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種。我們把兩個(gè)標(biāo)上記號(hào)種。我們把兩個(gè)標(biāo)上記號(hào)1、2以以 便區(qū)分，由于便區(qū)分，由于1號(hào)骰子號(hào)骰子 的每一個(gè)結(jié)果都可與的每一個(gè)結(jié)果都可與2號(hào)骰子的號(hào)骰子的 任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果，任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果， 因此同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有因此同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種。種。例例3 同時(shí)擲兩個(gè)骰子同時(shí)擲兩

12、個(gè)骰子,計(jì)算：計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？的結(jié)果有多少種？ （3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？的概率是多少？（2）在上面的所有結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為）在上面的所有結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有的結(jié)果有 （1，4），（），（2，3）（）（3，2）（）（4，1） 其中第一個(gè)數(shù)表示其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示號(hào)骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示2號(hào)號(hào) 骰子的結(jié)果。骰子的結(jié)果。（3）由于所有）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)

13、之和為5的的 結(jié)果（記為事件結(jié)果（記為事件A）有）有4種，因此，種，因此， 由古典概型的概率計(jì)算公式可得由古典概型的概率計(jì)算公式可得 P（A）=4/36=1/9思考：思考：為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不 標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？解：這個(gè)人隨機(jī)試一個(gè)密碼，相當(dāng)做解：這個(gè)人隨機(jī)試一個(gè)密碼，相當(dāng)做1次隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)次隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的基本事件（所有可能的結(jié)果）共有的基本事件（所有可能的結(jié)果）共有10 000種。由于是假種。由于是假設(shè)的隨機(jī)的試密碼，相當(dāng)于試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果試等可能的。設(shè)的隨機(jī)的試密碼，相

14、當(dāng)于試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果試等可能的。所以所以P(“能取到錢(qián)能取到錢(qián)”) “能取到錢(qián)能取到錢(qián)”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)所包含的基本事件的個(gè)數(shù) 10 000 1/100000.0001例例4、假設(shè)儲(chǔ)蓄卡的密碼由、假設(shè)儲(chǔ)蓄卡的密碼由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是數(shù)字可以是0，1，9十個(gè)數(shù)字中的任意十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)。假設(shè)一個(gè)人完全忘記了自己的儲(chǔ)蓄卡密一個(gè)。假設(shè)一個(gè)人完全忘記了自己的儲(chǔ)蓄卡密碼，問(wèn)他在自動(dòng)提款機(jī)上隨機(jī)試一次密碼就能碼，問(wèn)他在自動(dòng)提款機(jī)上隨機(jī)試一次密碼就能取到錢(qián)的概率是多少？取到錢(qián)的概率是多少？答：隨機(jī)試一次密碼就能取到錢(qián)概率是答：隨機(jī)試一次密碼就能取到錢(qián)概率是0.0001。例

15、例5、某種飲料每箱裝、某種飲料每箱裝12聽(tīng)，如果其中有聽(tīng)，如果其中有2聽(tīng)聽(tīng)不合格，問(wèn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取不合格，問(wèn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽(tīng)，檢聽(tīng)，檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率有多大？測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率有多大？解：在解：在12聽(tīng)飲料中隨機(jī)抽取聽(tīng)飲料中隨機(jī)抽取2聽(tīng)，可能發(fā)生的基本事件共有：聽(tīng)，可能發(fā)生的基本事件共有：12 11 266 （種）其中抽出不合格產(chǎn)品有兩種情況：其中抽出不合格產(chǎn)品有兩種情況：1聽(tīng)不合格：合格產(chǎn)品從聽(tīng)不合格：合格產(chǎn)品從10聽(tīng)中選聽(tīng)中選1聽(tīng)，不合格產(chǎn)品從聽(tīng)，不合格產(chǎn)品從2聽(tīng)中選聽(tīng)中選 1聽(tīng)，所以包含的基本事件數(shù)為聽(tīng)，所以包含的基本事件數(shù)為10 x2=202聽(tīng)都不合格：包含的基本事

16、件數(shù)為聽(tīng)都不合格：包含的基本事件數(shù)為1。所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品這個(gè)事件包含的基本事件數(shù)為所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品這個(gè)事件包含的基本事件數(shù)為20121所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率是：所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率是：318.06621答：檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率是答：檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率是0.318。思考：思考： 隨著檢測(cè)聽(tīng)數(shù)的增加，查出不合格產(chǎn)品的概率隨著檢測(cè)聽(tīng)數(shù)的增加，查出不合格產(chǎn)品的概率怎樣變化？為什么質(zhì)檢人員都采用抽查的方法而不采用怎樣變化？為什么質(zhì)檢人員都采用抽查的方法而不采用逐個(gè)檢查的方法？逐個(gè)檢查的方法？檢測(cè)的聽(tīng)數(shù)和不合格產(chǎn)品的概率如下表：檢測(cè)的聽(tīng)數(shù)和不合格產(chǎn)品的概率如下表：檢測(cè)聽(tīng)數(shù)檢測(cè)聽(tīng)數(shù)123456概率概率0.167 0.318 0.455 0.576 0.682 0.773檢測(cè)聽(tīng)數(shù)檢測(cè)聽(tīng)數(shù)789101112概率概率0.848 0.909 0.955 0.98511練習(xí)：課本練習(xí)：課本P1231.解：在解：在20瓶飲料中任意抽取瓶飲料中任意抽取1瓶，共有瓶，共有20種取法，種取法， 取到過(guò)了保質(zhì)期的只有取到過(guò)了保質(zhì)期的只有2種可能，種可能， 所以，取到過(guò)了保質(zhì)期的飲料的概率為：所以，取到過(guò)了保質(zhì)期的飲料的概率為：2/20=0.1答：取到過(guò)了保質(zhì)期的飲料的概率為答：取到過(guò)了保質(zhì)期的飲料的