9-0時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗

1、第九章第九章時間序列計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法時間序列計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法第一節(jié)第一節(jié) 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)時間序列模型的識別和估計隨機(jī)時間序列模型的識別和估計第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型9.1 9.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型模型二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗四、平穩(wěn)性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程五、單整、趨勢平穩(wěn)

2、與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型回歸模型常見的數(shù)據(jù)類型常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時間序列數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)（time-series data)； 截面數(shù)據(jù)截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data) 平行平行/面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時間時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸

3、分析經(jīng)典回歸分析暗含暗含著一個重要著一個重要假設(shè)假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)“一致一致性性”要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變是非隨機(jī)變量量 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動項與隨機(jī)擾動項 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X, )=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： (2) 第（2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxx

4、uxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第（1）條是OLS估計的需要如果如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（則（2）不成立，回歸估計量不滿足）不成立，回歸估計量不滿足“一致性一致性”，基，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性有很高的相關(guān)性（有較高的R2)： 例如：例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何

5、有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中： 情況往往是實(shí)際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的實(shí)際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸虛假回歸”問題問題 時間序列分析時間序列分析模型方法模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)方

6、法論展起來的全新的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時間序列分析時間序列分析已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中。二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時間序列分析中首先遇到的問題首先遇到的問題是關(guān)于時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性問題。 假定某個時間序列是由某一假定某個時間序列是由某一隨機(jī)過程隨機(jī)過程（stochastic process）生成的，即假定時間序列生成的，即假定時間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機(jī)得到，如果的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是與

7、時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時期間隔只與時期間隔k有關(guān)，有關(guān)，與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時間序列是則稱該隨機(jī)時間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該而該隨機(jī)過程是一隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationary stochastic process）。）。 例例1一個最簡單的隨機(jī)時間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t ， tN(

8、0,2) 例例2另一個簡單的隨機(jī)時間列序被稱為隨機(jī)游走隨機(jī)游走（random walk），該序列由如下隨機(jī)過程生成： Xt=Xt-1+t這里， t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差與時間的方差與時間t t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)

9、序有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。列。 容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 然而，對X取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列Xt是平穩(wěn)的。 后面將會看到后面將會看到: :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實(shí)上，事實(shí)上，隨機(jī)游走過程隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1 1階自回階自回歸歸AR(1)AR(1)過程過程的特例的特例 X Xt t= = X Xt-1t-1+ +t 不難驗證不難驗證

10、:1)| |1|1時，該隨機(jī)過程生成的時間序列是時，該隨機(jī)過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)-1)，因此是非平穩(wěn)的；因此是非平穩(wěn)的； 第二節(jié)中將證明第二節(jié)中將證明:只有當(dāng)只有當(dāng)-1-1 10，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其中為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 也可檢驗對所有也可檢驗對所有k0k0，自相關(guān)系數(shù)都為自相關(guān)系數(shù)都為0 0的聯(lián)合的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下假設(shè)，這可通過如下Q QLBLB統(tǒng)計量進(jìn)行：統(tǒng)計量進(jìn)行： 該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的

11、2分布（m為滯后長度）。 因此:如果計算的如果計算的Q Q值大于顯著性水平值大于顯著性水平為為 的臨界值，則有的臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k0)(k0)同時為同時為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 例例3:3: 序列序列Random1Random1是通過一隨機(jī)過程是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有（隨機(jī)函數(shù)）生成的有1919個樣本的隨機(jī)時個樣本的隨機(jī)時間序列。間序列。 mkkLBknrnnQ12)2( 容易驗證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.62468

12、1012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動，且樣本自相關(guān)附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近波動且逐漸收斂于附近波動且逐漸收斂于0 0。 由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信區(qū)間都將是 可以看出可以看出: :k0k0時，時，r rk k的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，的值確實(shí)落

13、在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受因此可以接受 k k( (k0)k0)為為0 0的假設(shè)的假設(shè)。 同樣地，從從Q QLBLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后統(tǒng)計量的計算值看，滯后1717期期的計算值為的計算值為26.3826.38，未超過，未超過5%5%顯著性水平的臨界值顯著性水平的臨界值27.5827.58，因此，因此, ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k k( (k0)k0)都為都為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 因此，該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。 4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 序列Random2是

14、由一隨機(jī)游走過程 Xt=Xt-1+t 生成的一隨機(jī)游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0， t是由Random1表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看

15、，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。利用利用EviewsEviews計算計算r r和和Q Q利用利用EviewsEviews計算計算r r和和Q Q利用利用EviewsEviews計算計算r r和和Q Q例例4. 檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。 圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可，可初步判斷初步判斷是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它，再次表明它的的非平穩(wěn)非平穩(wěn)性。性。 圖圖 9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年中

16、中國國 G GD DP P 時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP 拒絕：拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。 結(jié)論結(jié)論:19782000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后從滯后18期的期的QLB統(tǒng)計量看：統(tǒng)計量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 例例5.5. 檢驗人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值時間序列的平穩(wěn)性。 圖圖

17、 9.1.6 19811996中中國國居居民民人人均均消消費(fèi)費(fèi)與與人人均均 GDP 時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原圖 樣本自相關(guān)圖 從圖形上看：從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的是非平穩(wěn)的。 從滯后從滯后1414期的期的QLB統(tǒng)計量看：統(tǒng)計量看： CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為57.18，超過了顯著

18、性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的?；貧w方程是無實(shí)際意義的。 不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是間序列是協(xié)整協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是的，而這兩時間序列恰是協(xié)整協(xié)整的。的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計量進(jìn)行統(tǒng)計檢驗則是更為準(zhǔn)確與重要的。 單位根檢驗（單位根檢驗（unit ro

19、ot test）是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。1 1、DFDF檢驗檢驗我們已知道，隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。也就是說，我們對式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個單位根單位根。 （*）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（*）式判斷是否有 =0。 一般地一般地: : 檢驗一個時間序列檢驗一個時間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過檢驗的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模

20、型帶有截距項的一階自回歸模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗其等價變形式檢驗其等價變形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。 在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù) 11或或 =1=1時，時，時間序列是非平穩(wěn)的時間序列是非平穩(wěn)的; ; 對應(yīng)于（*）式，則是 00或或 = =0。 因此，針對式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇

21、假設(shè) H1： 0 上述檢驗可通過上述檢驗可通過OLS法下的法下的t檢驗完成。檢驗完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗無法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計量統(tǒng)計量），即DF分布分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過OLS法估計 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假

22、設(shè)H0： =0，認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計算得到的

23、如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕臨界值的絕對值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進(jìn)一步的問題進(jìn)一步的問題：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗中，實(shí)際上實(shí)際上假定了時間序列是由假定了時間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項的一階自回歸過程具有白噪聲隨機(jī)誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的生成的。 但在實(shí)際檢驗中但在實(shí)際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項并非是白噪聲生成的，或者隨

24、機(jī)誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行法進(jìn)行估計均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項出現(xiàn)自相關(guān)估計均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。 另外另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機(jī)誤差項問題機(jī)誤差項問題。 為了保證DF檢驗中隨機(jī)誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗檢驗。 2 2、ADFADF檢驗檢驗ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：檢驗是通過下面三個模型完成的： 模型模型3 中的中的t是時間變量是

25、時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。 檢驗的假設(shè)都是：針對檢驗的假設(shè)都是：針對H1: 500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832

26、.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603

27、.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38同時估計出上述三個模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則）當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问侥Ｐ瓦m當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏?/p>

28、后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個簡單的檢驗過程：一個簡單的檢驗過程： 例例6. 檢驗19782000年間中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。21101. 150. 10093. 027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26） (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后： 通過拉格朗日乘數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrange multiplier test）對隨機(jī)誤差項的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗： LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布

29、的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從從 的系數(shù)看，的系數(shù)看，t臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)不存在趨勢項的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ托柽M(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ? 。2）經(jīng)試驗，模型2中滯后項取2階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-

30、1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項的t統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒不能拒絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ?。3)經(jīng)試驗，模型1中滯后項取2階： LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國支出法可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩(wěn)的。時間序列是非平穩(wěn)的。 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15

31、） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例例7. 檢驗人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值時間序列的平穩(wěn)性。 1)對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過償試，三個模型的適當(dāng)形式分別為模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.96) 43403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型 3

32、： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31) LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 三個模型中參數(shù)的估計值的t統(tǒng)計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 結(jié)論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 211975. 0875. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 2）對于人均居民消費(fèi)CP

33、C時間序列來說，三個模型的適當(dāng)形式為 模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477) (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 三個模型中參數(shù)CPCt-1

34、的t統(tǒng)計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間不能拒絕該時間序列存在單位根的假設(shè)序列存在單位根的假設(shè)， 因此,可判斷人均居民消費(fèi)序列可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.83 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEview

35、s中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP從從GDPP(-1)的參數(shù)值看，的參數(shù)值看，其其t統(tǒng)計量的值統(tǒng)計量的值大于臨界值大于臨界值（單尾），不（單尾），不能拒絕存在單能拒絕存在單位根的零假設(shè)。位根的零假設(shè)。同時，由于時同時，由于時間項間項T的的t統(tǒng)計統(tǒng)計量也小于量也小于ADF分布表中的臨分布表中的臨界值（雙尾），界值（雙尾），因此不能拒絕因此不能拒絕不存在趨勢項不存在趨勢項的零假設(shè)。需的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)＿M(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ托? 。 ADFADF檢驗在檢驗在E

36、viewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP從從GDPP(-1)的參數(shù)值看，的參數(shù)值看，其其t統(tǒng)計量的值統(tǒng)計量的值大于臨界值大于臨界值（單尾），不（單尾），不能拒絕存在單能拒絕存在單位根的零假設(shè)。位根的零假設(shè)。同時，由于常同時，由于常數(shù)項的數(shù)項的t統(tǒng)計量統(tǒng)計量也小于也小于ADF分分布表中的臨界布表中的臨界值（雙尾），值（雙尾），因此不能拒絕因此不能拒絕不存在趨勢項不存在趨勢項的零假設(shè)。需的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)＿M(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ托?。 ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPG

37、DPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP從從GDPP(-1)的參數(shù)值看，的參數(shù)值看，其其t統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的值大于臨界值大于臨界值（單尾），值（單尾），不能拒絕存不能拒絕存在單位根的在單位根的零假設(shè)。至零假設(shè)。至此，可斷定此，可斷定GDPP時間時間序列是非平序列是非平穩(wěn)的。穩(wěn)的。 ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP從從GDPP(-1)的的參數(shù)值看，其參數(shù)值看，其t統(tǒng)統(tǒng)計量的值大于臨界計量的值大于臨界值（單尾），不能值（單尾），

38、不能拒絕存在單位根的拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由零假設(shè)。同時，由于時間項項于時間項項T的的t統(tǒng)統(tǒng)計量也小于計量也小于AFD分布表中的臨界值分布表中的臨界值（雙尾），因此不（雙尾），因此不能拒絕不存在趨勢能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進(jìn)項的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ鸵徊綑z驗?zāi)Ｐ? 。在在1%置信度下。置信度下。 ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP 如果將置信度從如果將置信度從1%1%降低至降低至10%10%，將拒絕存在單位，將拒絕存在單位根和不存在時間趨勢項的假設(shè)，得到根和不存在時間趨勢項的假設(shè)，得到GDPPGDPP是平是平穩(wěn)序列的結(jié)論，進(jìn)而得到穩(wěn)

39、序列的結(jié)論，進(jìn)而得到GDPPGDPP是是I(1)I(1)序列。序列。ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)GDPPGDPP從從GDPP(-1)的的參數(shù)值看，其統(tǒng)參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值大于臨計量的值大于臨界值（單尾），界值（單尾），不能拒絕存在單不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。位根的零假設(shè)。同時，由于常數(shù)同時，由于常數(shù)項的項的t統(tǒng)計量也小統(tǒng)計量也小于于AFD分布表中分布表中的臨界值（雙的臨界值（雙尾），因此不能尾），因此不能拒絕不存在趨勢拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需項的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ?。ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)

40、GDPPGDPP從從GDPP(-1)的參數(shù)值看，的參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值其統(tǒng)計量的值大于臨界值大于臨界值（單尾），不（單尾），不能拒絕存在單能拒絕存在單位根的零假設(shè)。位根的零假設(shè)。至此，可斷定至此，可斷定GDPP時間時間序列是非平穩(wěn)序列是非平穩(wěn)的。的。 ADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)2 2GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)2 2GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)2 2GDPPGDPPADFADF檢驗在檢驗在EviewsEviews中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn)2 2GDPPGDPP從

41、從2GDPP(-1)的參數(shù)值看，的參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值其統(tǒng)計量的值小于臨界值小于臨界值（單尾），拒（單尾），拒絕存在單位根絕存在單位根的零假設(shè)。至的零假設(shè)。至此，可斷定此，可斷定2GDPP時時間序列是平穩(wěn)間序列是平穩(wěn)的。的。GDPP是是I(2)過程。過程。 五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程過程 隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為 Xt=t 由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。單整單整 一般地，如果一個時間序列經(jīng)過一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是則稱

42、原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標(biāo)的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常如一些價格指數(shù)常常是是2階單整的，以不變價格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為階單整的，以不變價格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的

43、形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠降灿幸恍r間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為穩(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（非單整的（non-integrated）。 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序列序列，記為，記為I(1)。例例8. 中國支出法GDP的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法中國支出法GDP是是1階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑?1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9. 中國人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單階單整的整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑?12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同樣地，CPC也是也是2階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑?12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R