復(fù)變函數(shù)第四版43PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)第四版復(fù)變函數(shù)第四版432問(wèn)題問(wèn)題: : 任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以?xún)?nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓周圓周. 0rz , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于第1頁(yè)/共33頁(yè)3由柯西積分公式由柯西積分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的內(nèi)部的內(nèi)部在在點(diǎn)點(diǎn)上上取在圓周取在圓周因?yàn)榉e分變量因?yàn)榉e分變量KzK . 1 00 zzz 所以所以

2、0001111zzzzz 則則第2頁(yè)/共33頁(yè)4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第3頁(yè)/共33頁(yè)5由高階導(dǎo)數(shù)公式由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫(xiě)成上式又可寫(xiě)成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf第4頁(yè)/共33頁(yè)6, )( 內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)表

3、示內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), , 10, qq且且無(wú)關(guān)的量無(wú)關(guān)的量是與積分變量是與積分變量 , )( 上也連續(xù)上也連續(xù)在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 第5頁(yè)/共33頁(yè)7即存在一個(gè)正常數(shù)即存在一個(gè)正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 第6頁(yè)/共33頁(yè)80lim nNqK0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而在從而在K內(nèi)內(nèi) 圓圓周周K的半徑可以任意增大

4、的半徑可以任意增大,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式,)(zf在在0z泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)第7頁(yè)/共33頁(yè)9如果如果0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開(kāi)式在內(nèi)成立的泰勒展開(kāi)式在內(nèi)成立dzz 0因?yàn)榉矟M足因?yàn)榉矟M足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒展開(kāi)定理泰勒展開(kāi)定理)(zf在在0z的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第8頁(yè)/共33頁(yè)10,

5、 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)泰勒介紹泰勒介紹第9頁(yè)/共33頁(yè)11說(shuō)明說(shuō)明:1.復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多時(shí)弱得多; (想一想想一想, 為什么為什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之間的距離之間的距離一個(gè)奇點(diǎn)一個(gè)奇點(diǎn)到最近到最近等于等于則則內(nèi)有奇點(diǎn)

6、內(nèi)有奇點(diǎn)在在如果如果;,0. 30級(jí)數(shù)稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. (為什么為什么?)第10頁(yè)/共33頁(yè)12 )( zf因?yàn)榻馕?，可以保證無(wú)限次可各因?yàn)榻馕?，可以保證無(wú)限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意注意問(wèn)題：?jiǎn)栴}：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)數(shù)，展開(kāi)式是否唯一？展開(kāi)式是否唯一？第11頁(yè)/共33頁(yè)13 : )( 0已已被被展展開(kāi)開(kāi)成成冪

7、冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.第12頁(yè)/共33頁(yè)14常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)第13頁(yè)/共33頁(yè)15例如，例如，. 0 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展

8、開(kāi)式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐驗(yàn)閦e. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)榈?4頁(yè)/共33頁(yè)16仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式在在與與可可得得 zzz第15頁(yè)/共33頁(yè)172. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)

9、合解結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 積積分等分等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn)間接法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .第16頁(yè)/共33頁(yè)18例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在利用間接展開(kāi)法求利用間接展開(kāi)法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi

10、第17頁(yè)/共33頁(yè)19附附: 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18頁(yè)/共33頁(yè)20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第19頁(yè)/共33頁(yè)21

11、例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點(diǎn)上有一奇點(diǎn)在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開(kāi)成可展開(kāi)成 z第20頁(yè)/共33頁(yè)22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),第21頁(yè)/共33頁(yè)23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式處的處的在在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的向

12、左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開(kāi)成內(nèi)可以展開(kāi)成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy第22頁(yè)/共33頁(yè)24zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開(kāi)式兩端沿將展開(kāi)式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 第23頁(yè)/共33頁(yè)25例例3 3. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212

13、 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第24頁(yè)/共33頁(yè)26例例4 4 .0arctan的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)?,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn第25頁(yè)/共33頁(yè)27例例5 5.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 22166

14、4422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第26頁(yè)/共33頁(yè)28例例6 6.1展展為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)將將zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:, 1所以收斂半徑為所以收斂半徑為, 1 內(nèi)內(nèi)進(jìn)進(jìn)行行展展開(kāi)開(kāi)可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為因因?yàn)闉榍笄髮?dǎo)導(dǎo)得得對(duì)對(duì))(zf,1)(zzezfz 第27頁(yè)/共33頁(yè)29, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz第28頁(yè)/共33頁(yè)30 通過(guò)本課的學(xué)習(xí)通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).第29頁(yè)/共33頁(yè)31奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題思考題第30頁(yè)/共33頁(yè)32 奇函